pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)

董井成，戴 麗

（1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京210096；2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，南京210031）

目前，關(guān)于有限維半單Hopf代數(shù)的分類研究已取得許多結(jié)果.設(shè)p，q，r是不同的素數(shù).p維、p2維、p3維和pq維半單Hopf代數(shù)已被完全分類［1－4］.特別地，Etingof等［5］用Fusion范疇的方法完成了pq2維和pqr維半單Hopf代數(shù)的分類；董井成等［6－9］給出了p2q2維和pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)和分類.文獻(xiàn)［6］研究了pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)，其中p，q是滿足條件p＞q3的素數(shù)，證明了此類Hopf代數(shù)或者是半可解的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數(shù)；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數(shù).

本文研究pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)，證明了文獻(xiàn)［6］的結(jié)論可被推廣到p＞q2的情形，且本文的證明包含了文獻(xiàn)［6］的情形.本文僅在一個特征為零的代數(shù)閉域k上討論問題.本文所有模和余模都是k上的有限維左模和左余模，?k和dimk簡記為?和dim.Hopf代數(shù)的符號和性質(zhì)參見文獻(xiàn)［10］.

1 預(yù)備知識

假設(shè)T是k上的有限維半單Hopf代數(shù).設(shè)V是一個T－模.定義V的特征標(biāo)x＝xV∈T＊為〈x，h〉＝trV（h），?h∈T.定義x的次數(shù)為deg x＝〈x，1〉＝dimV.平凡T－模的特征標(biāo)是余單位ε.用符號Irrt（T）表示T所有t次不可約特征標(biāo)的集合，即所有t維單模的特征標(biāo).

設(shè)Irr（T）表示T所有互不同構(gòu)的不可約特征標(biāo)的集合，則Irr（T）可以張成T＊的一個子代數(shù)［4］，稱為T的特征標(biāo)代數(shù)，用R（T）表示.對極S可以導(dǎo)出一個反代數(shù)對合＊：

如果R（T）的子代數(shù)S可由T的不可約特征標(biāo)張成，則稱S為R（T）的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù).因此，如果B是Irr（T）的一個子集，則B可以張成R（T）標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)的充分必要條件是：B中任意兩個特征標(biāo)的乘積仍可分解為B中特征標(biāo)的和.由文獻(xiàn)［11］中定理6的對偶情形可知，在R（T）的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)與T的商Hopf代數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系.

T＊的類群元集合G（T＊）通過左乘（或右乘）作用在集合Irrt（T）上.任取x∈Irrt（T），記x在該作用下的穩(wěn)定化子為G［x］.它是G（T＊）的子群，并且階數(shù)不超過（deg x）2.特別地，g∈G［x］的充分必要條件是g在xx＊的分解中，并且重數(shù)為1［11］.因此，可得如下分解式

其中m（y，xx＊）表示y在xx＊分解中的重數(shù).

引理1［12－13］設(shè)x是T 的不可約特征標(biāo)，則：

1）x穩(wěn)定化子G［x］的階數(shù)整除（deg x）2；

2）類群元集合G（T＊）的階數(shù)整除n（deg x）2，其中n是非同構(gòu)的deg x次不可約特征標(biāo)的個數(shù).

如果d1＝1＜d2＜…＜ds是所有單T－模的維數(shù)，ni是非同構(gòu)的di維單T－模的個數(shù)，則稱T具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns）.如果對偶 Hopf代數(shù)T＊具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns），則稱T 具有余代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns）.如果T 具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns），則T 同構(gòu)于一組全矩陣代數(shù)的直積：

設(shè)A是有限維 Hopf代數(shù).對于A的 Hopf子代數(shù)B，如果a1BS（a2）?B或S（a1）Ba2?B，?a∈A，則稱B是正規(guī)的Hopf子代數(shù).如果A不含有真的正規(guī)Hopf子代數(shù)，則稱其為單Hopf代數(shù).易驗證A是單Hopf代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A＊是單的.

引理2 設(shè)π：A→是余正規(guī)的商Hopf代數(shù).假設(shè)dim是可以整除dimA的最小素數(shù)，則有

其中Z（A＊）表示A＊的中心.

命題1 設(shè)q是一個素數(shù).如果T有代數(shù)型（1，q2；q，m；…），其中q不能整除m，則T＊有一個維數(shù)≥2q2的Hopf子代數(shù)K，且kG（T＊）是K的一個正規(guī)Hopf子代數(shù).

設(shè)C是T＊包含xq的q2維單子余代數(shù)，則

由文獻(xiàn)［14］中命題3.2.6知，G（T＊）是K∶＝k［C］的正規(guī)Hopf子代數(shù)，其中k［C］表示由C生成的子代數(shù).易驗證K 是T＊包含kG（T＊）的 Hopf子代數(shù).由于K 由C 生成并包含kG（T＊），故dim K≥2q2.

設(shè)π：T→B是Hopf代數(shù)同態(tài)，考慮其余不變子空間：

則由文獻(xiàn)［15］知，余不變子空間Tcoπ是T在左伴隨作用下穩(wěn)定的左余理想子代數(shù)，并且

綜合文獻(xiàn)［14］的1.3節(jié)可得：

引理3 設(shè)π：T→B是Hopf代數(shù)同態(tài)，A是滿足條件A?Tcoπ的T的Hopf子代數(shù).則dimA整除dimTcoπ.

類似于可解群的定義，可給出半可解Hopf代數(shù)的定義.如果存在一條Hopf子代數(shù)的鏈

則稱T為下半可解的，其中對任意的i，Ti＋1是Ti正規(guī)的Hopf子代數(shù)，且所有的商Hopf代數(shù)Ti／TiT＋i＋1都是平凡的.這里平凡的含義是指這些Hopf代數(shù)同構(gòu)于群代數(shù)或?qū)ε嫉娜捍鷶?shù).如果存在一條Hopf商代數(shù)的鏈

由文獻(xiàn)［16］中推論3.3可知，T是上半可解的當(dāng)且僅當(dāng)T＊是下半可解的.此時，T可以通過多次擴(kuò)張由平凡的Hopf代數(shù)構(gòu)造.如果T是上半可解的或下半可解的，則稱其為半可解的.

命題2［8］設(shè)T是pq3維半單Hopf代數(shù)，其中p，q是不同的素數(shù).如果T不是單Hopf代數(shù)，則它是半可解的.

R＃A具有如下性質(zhì)：設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)并帶有Hopf代數(shù)同態(tài)ι：A→T和π：T→A.如果πι：A→A是一個Hopf代數(shù)同構(gòu)，則左余理想子代數(shù)R＝Tcoπ具有A 上自然的Yetter－Drinfeld Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，并且R＃A→T可導(dǎo)出一個Hopf代數(shù)同構(gòu).

用D（T）＝T＊cop??T表示T的Drinfeld偶，作為向量空間D（T）即為T＊cop?T，是一個具有特殊結(jié)構(gòu)的Hopf代數(shù)［10］.由文獻(xiàn)［19］中命題9和命題10可得：

定理1 設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)，則：

2）D（T）＊的每個類群元都具有形式g?η，其中：g∈G（T）；η∈G（T＊）.進(jìn)一步，g?η∈G（D（T）＊）當(dāng)且僅當(dāng)η??g在D（T）的中心內(nèi).

推論1 設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)，G（D（T）＊）是一個非平凡的群.如果G（D（T）＊）包含元素g?η，其中g(shù)和η的階數(shù)不同，則T和T＊均有一個非平凡的中心類群元.特別地，T不是單Hopf代數(shù).

證明：假設(shè)1≠g∈G（T），否則η∈G（T＊）將是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可以假設(shè)ε≠η∈G（T＊）.設(shè)g的階數(shù)是n，則

即ηn??1在D（T）的中心.因此，ηn是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可證明T也含有一個非平凡的中心類群元.

2 主要結(jié)果

考慮分解式（2），易見當(dāng)q2＜p＜q3時，單T－模的維數(shù)只能是1，q，q2或p，而當(dāng)p＞q3時，單T－模的維數(shù)只能是1，q，q2或q3.因此，可得：

其中a，b，c均為非負(fù)整數(shù).

由 Nichols－Zoeller定理［12］知，G（T＊）的階整除dimT.

引理4 如果q2＜p＜q3，則G（T＊）的階數(shù)不可能是q和pq；如果p＞q3，則G（T＊）的階數(shù)不可能是p，q和pq.

1）T不是單Hopf代數(shù)；

設(shè)x是一個p次不可約特征標(biāo).顯然，G［x］≠｛ε｝，否則由式（1）知，xx＊的分解將會導(dǎo)出矛盾p2＝1＋mp，其中m 是某個正整數(shù).即G［x］＝G（T＊）.進(jìn)一步，由文獻(xiàn)［14］中引理2.1.4知，G［x＊］＝G（T＊）.因此，設(shè)C是包含x的T＊的單子余代數(shù)，則由文獻(xiàn)［14］中注3.2.7知，C／C（kG（T＊））＋是一個余交換的余代數(shù).再由文獻(xiàn)［14］中推論3.3.2知，余代數(shù)T＊／T＊（kG（T＊））＋是余交換的.

命題3 設(shè)T具有代數(shù)型（1，q2；q，m；…）且q不整除m，則：

1）如果T具有余代數(shù)型（1，q2；q，n；…）且q不整除n，則T或者不是單的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的非平凡自對偶半單Hopf代數(shù)；

3）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數(shù).

證明：由命題1，T＊有一個維數(shù)≥2q2的Hopf子代數(shù)K，且K包含kG（T＊）作為其正規(guī)Hopf子代數(shù).根據(jù) Nichols－Zoeller定理［12］dim K 整除dimT＊，故dim K＝pq3，pq2或q3.

如果dim K＝pq3，則K＝T＊.由于kG（T＊）在T＊中是正規(guī)的，故T＊不是單Hopf代數(shù)，從而T不是單Hopf代數(shù).如果dim K＝pq2，則由文獻(xiàn)［21］中主要結(jié)論知T＊也不是單Hopf代數(shù).如果dim K＝q3，則K 具有余代數(shù)型（1，q2；q，q－1）.

下面考慮由包含關(guān)系K?T＊導(dǎo)出的Hopf代數(shù)同態(tài)π：T→K＊.由dim Tcoπ＝p，如果存在1≠g∈G（T）滿足g∈Tcoπ，則群代數(shù)k〈g〉包含在Tcoπ中，其中〈g〉表示由g生成的循環(huán)群.這是因為Tcoπ是T的子代數(shù)，其中元素的乘積具有封閉性.由于dimk〈g〉不整除dim Tcoπ，故與引理3矛盾.因此，作為T的左余理想，有分解：

其中Ui，Vj和Wk分別是T的q維，q2維和q3維不可約左余理想.當(dāng)q2＜p＜q3時式（5）中的Wk不存在.

1）如果T具有給定的余代數(shù)型，則T或者不是單Hopf代數(shù)，或者有一個q3維的Hopf子代數(shù)A，且A 具有余代數(shù)型（1，q2；q，q－1）.

一方面，根據(jù)A和Tcoπ分解成不可約左余理想直和的分解式，有

其中n是非負(fù)整數(shù).另一方面，由文獻(xiàn)［14］中引理1.3.4知，

因此，n＝0，A∩Tcoπ＝k1.從而π：A→ K＊是一個 Hopf代數(shù)同構(gòu).由 Radford投射定理［18］，T?Tcoπ＃A是一個Radford雙積.由同構(gòu)及A和K的余代數(shù)型知，A是非平凡的.因此，A是自對偶的，并且是文獻(xiàn)［3］中構(gòu)造的某個半單Hopf代數(shù).

2）通過分析易得kG（T）∩Tcoπ＝k1.因此，作為Hopf代數(shù)，kG（T）同構(gòu)于K＊.于是，由Radford投射定理［18］知，T?R＃kG（T）是一個Radford雙積.

3）如果p≠1（mod q），則分解式（5）不可能成立，因而T不是單Hopf代數(shù).

1）T或者不是單Hopf代數(shù)，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的半單Hopf代數(shù)；

2）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數(shù).

綜上，本文在p＞q2的假設(shè)下考察了G（T＊）的每個可能階數(shù).因此結(jié)合命題2，可得本文的主要結(jié)果：

定理2 設(shè)T是一個pq3維半單Hopf代數(shù)，其中p，q是滿足條件p＞q2的素數(shù)，則T或者是半可解的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數(shù)；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數(shù).

［1］Etingof P，Gelaki S.Semisimple Hopf Algebras of Dimension pq Are Trivial［J］.Journal of Algebra，1998，210（2）：664－669.

［2］Masuoka A.The pnTheorem for Semisimple Hopf Algebras ［J］.Proceeding of the American Mathematical Society，1996，124（3）：735－737.

［3］Masuoka A.Self－dual Hopf Algebras of Dimension p3Obtained by Extension ［J］.Journal of Algebra，1995，178（3）：791－806.

［4］ZHU Yong－chang.Hopf Algebras of Prime Dimension［J］.International Mathematical Research Notices，1994，1994（1）：53－59.

［5］Etingof P，Nikshych D，Ostrik V.Weakly Group－Theoretical and Solvable Fusion Categories［J］.Advance in Mathematics，2011，226（1）：176－505.

［6］DONG Jing－cheng.Structure Theorems for Semisimple Hopf Algebras of Dimension pq3［J］.Communications in Algebra，2012，40（12）：4673－4678.

［7］DONG Jing－cheng，DAI Li.Further Results on Semisimple Hopf Algebras of Dimension p2q2［J］.Revista de la Unión Matemática Argentina，2012，53（2）：97－112.

［8］DONG Jing－cheng，WANG Shuan－h(huán)ong.On Semisimple Hopf Algebras of Dimension 2q3［J］.Journal of Algebra，2013，375（1）：97－108.

［9］DONG Jing－cheng.Structure of Semisimple Hopf Algebras of Dimension p2q2［J］.Communications in Algebra，2012，40（3）：795－806.

［10］Montgomery S.Hopf Algebras and Their Actions on Rings［M］.Providence：American Mathematical Society，1993.

［11］Nichols W D，Richmond M B.The Grothendieck Group of a Hopf Algebra［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，1996，106（3）：297－306.

［12］Nichols W D，Zoelle M B.A Hopf Algebra Freeness Theorem ［J］.American Journal of Mathematics，1989，111（2）：381－385.

［13］Padres P M.On Semisimple Hopf Algebras of Dimension pq2［J］.Journal of Algebra，1999，221（1）：242－278.

［14］Natale S.Semisolvability of Semisimple Hopf Algebras of Low Dimension ［M］.Providence：American Mathematical Society，2007.

［15］Schneider H J.Normal Basis and Transitivity of Crossed Products for Hopf Algebras［J］.Journal of Algebra，1992，152（2）：289－312.

［16］Montgomery S，Whiterspoon S J.Irreducible Representations of Crossed Products ［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，1998，129（3）：315－326.

［17］Sommerh?user Y.Yetter－Drinfeld Hopf Algebras over Groups of Prime Order ［M］.Lectures Notes in Mathematics，1789.Berlin：Springer－Verlag，2002.

［18］Radford D.The Structure of Hopf Algebras with a Projection［J］.Journal of Algebra，1985，92（2）：322－347.

［19］Radford D.Minimal Quasitriangular Hopf Algebras［J］.Journal of Algebra，1993，157（2）：285－315.

［20］Kaplansky I.Bialgebras［M］.Chicago：University of Chicago Press，1975.

［21］Kobayashi T，Masuoka A.A Result Extended from Groups to Hopf Algebras［J］.Tsukuba J Math，1997，21（1）：55－58.