保線性算子q次數值域的線性映射

劉畔畔，張樹功，李慶春

（1.吉林大學 數學研究所，長春130012；2.北華大學 數學與統計學院，吉林 吉林132013）

0 引言及預備知識

關于算子的數值域及廣義數值域的研究目前已取得許多結果.Langer等［1］在研究定義于Hilbert空間上分塊算子矩陣的譜理論過程中，首先引入了二次數值域的概念，但對它和數值域及譜的聯系以及二次數值域的基本性質等未做深入探討；文獻［2］系統地研究了二次數值域與譜的關系，發現算子的二次數值域處于譜與數值域的閉包中；文獻［3－4］將二次數值域推廣到q次數值域，并得到了q次數值域的許多性質.刻畫矩陣集之間保不變量線性算子的問題稱為“線性保持問題”［5－11］，它在量子力學、微分幾何、系統控制、數理統計等領域應用廣泛.例如，當從一個系統過渡到另一個系統時，總是希望能保持某些性質和關系不變，這就要求引入線性保持問題.孫立宏［12］在一定條件下，刻畫了保線性算子二次數值域線性映射的具體表示形式.本文探討哪些線性算子在何種線性映射下保持q次數值域不變，討論保線性算子q次數值域線性映射的一般形式，推廣了文獻［12］的結果.

其中Aij∈B（Hj，Hi），i，j＝1，2，…，q.

定義1 設Γ∈B（H），集合

定義1中，若q＝1，則W1（Γ）恰好是Γ的數值域；若q＝2，則W2（Γ）是文獻［1－3，12］中Γ的二次數值域.為方便，下面假設H為n維Hilbert空間，Hi為ki維子空間，其上算子Aij∈B（Hj，Hi）在某一組基下的矩陣表示仍記為Aij.于是，Γ的矩陣表示仍記為Γ，可以表示為式（1），為說明對應的分塊形式，簡記為Γ（k）.

設Dn，Tn和Mn分別表示n×n復對角矩陣、復上三角矩陣和復矩陣代數.Dn（k），Tn（k）和Mn（k）分別表示q×q階分塊對角、分塊上三角和分塊矩陣類，其對角塊是ki×ki（i＝1，2，…，q）階矩陣，其中k＝（k1，k2，…，kq）T，k1＋k2＋…＋kq＝n.下面認為算子的線性映射即為矩陣類上的線性映射.

若線性映射Φ：Mn→Mn滿足Wq（Γ）＝Wq（Φ（Γ）），?Γ∈Mn，則稱Φ為保線性算子q次數值域的線性映射.本文刻畫線性映射Φ的表示形式.

1 主要結果

設Ci∈Mki（i＝1，2，…，q），定義C1⊕…⊕Cq＝diag（C1，…，Cq）.

引理1 設Ui（i＝1，2，…，q）是ki×ki階酉矩陣，

則

其中U＊i（i＝1，2，…，q）是Ui的共軛轉置.

證明：設λ∈Wq（Γ（k）），則存在xi∈?ki，‖xi‖＝1，i＝1，2，…，q，使得

因為Ui（i＝1，2，…，q）是酉矩陣，設x′i＝Uixi，則‖x′i‖＝1（i＝1，2，…，q）.

引理3［5，9］線性映射L：Mn→Mn是滿射，則滿足

的充要條件是存在酉矩陣U，使得L（A）＝UAU＊或L（A）＝（UAU＊）T，A∈Mn.

定理1 設ki＞1（i＝1，2，…，q），線性映射Φ：Tn（k）→Tn（k）滿足：

且Φii：Mki→Mki（i＝1，2，…，q）是滿射，則對任意的Γ（k）∈Tn（k），

成立的充要條件是存在酉矩陣Ui∈Mki（i＝1，2，…，q），使得

證明：充分性.由定理條件及引理2知式（2）成立，且

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再由Φii（Aii）＝UiAiiU＊i或Φii（Aii）＝（UiAiiU＊i）T及引理3有W（Φii（Aii））＝W（Aii）（i＝1，2，…，q），從而充分性成立.

必要性.由式（2），（5）及必要性假設知

固定Aii＝0（i＝2，3，…，q），則由Φii（0）＝0（i＝2，3，…，q）得

即W（A11）∪｛0｝＝W（Φ11（A11））∪｛0｝.

注意到 W2（A11⊕0（n－k1）（n－k1））＝W （A11）∪ ｛0｝＝W （Φ11（A11））∪ ｛0｝， 由 文 獻 ［2］知，W2（A11⊕0（n－k1）（n－k1））至多有兩個連通分支組成，如果0?W（A11），則必有0?W（Φ11（A11））.從而對任意的A11∈Mk1，W（A11）＝W（Φ11（A11））成立.根據引理3，存在酉矩陣U1∈Mk1，使得Φ11（A11）＝U1A11U＊1或Φ11（A11）＝（U1A11U＊1）T.

同理可以證明存在酉矩陣Ui∈Mki（i＝2，3，…，q），使得式（4）成立.

推論1 設1＜ki＜∞（i＝1，2，…，q），線性映射Φ：Dn（k）→Dn（k）滿足

且Φii：Mki→Mki（i＝1，2，…，q）是滿射，則

成立的充要條件是存在酉矩陣Ui∈Mki（i＝1，2，…，q），使得式（4）成立.

定理2 設1＜ki＜∞（i＝1，2，…，q），k1＋k2＋…＋kq＝n.若Φ：Mn（k）→Mn（k）可表示為

其中B（k），C（k）∈Mn（k），且滿足

這里Φii：Mki→Mki（i＝1，2，…，q）是滿射，Aii（i＝1，2，…，q）是對稱矩陣，則對滿足該條件的Γ（k）∈Mn（k），式（3）成立的充要條件是存在酉矩陣Ui∈Mki（i＝1，2，…，q），使得

且Φst（Ast）（s≠t）由Φii（Aii）唯一確定，即

也即B（k）＝diag（U1，…，Uq），C（k）＝B（k）＊.

證明：由引理1可知充分性成立.

下證必要性.取Ast＝0（s，t＝1，2，…，q，s≠t）和Aii＝λI（i＝2，3，…，q），則對任意的A11∈Mk1，由引理2得

故

由式（8）知

注意到k1＞1，k2＞1，由文獻［2］知二次數值域或者是連通集或者有兩個連通分支，從而類似于定理1的證明可以推出W（A11）＝W（Φ11（A11））.

類似地，可以證明W（Aii）＝W（Φii（Aii））對任意的Aii∈Mki（i＝2，3，…，q）成立.

由引理3，存在酉矩陣Ui∈Mki（i＝1，2，…，q），使得式（4）成立.注意Φii（Aii）＝（UiAiiU＊i）T＝（U＊i）TAiiUTi，記Vi＝（U＊i）T，則Vi仍為酉矩陣，且V＊i＝UTi，仍記Vi為Ui，則式（6）成立.

根據定理的條件，可設

經計算得

下面證明B＝diag（U1，…，Uq），C＝diag（U＊1，…，U＊q）.由于已證明Φii（Aii）＝UiAiiU＊i（i＝1，2，…，q），則由

取除Aii外的所有Ajk＝0（j，k＝1，2，…，q）及Aii的任意性，可得Bii＝Ui，Cii＝U＊i，i＝1，2，…，q.

對式（9），當i＝1時，若取除A12外所有的Aij＝0（i，j＝1，2，…，q）可得B11A12C21＝0，則由B11＝U1為酉矩陣知Ak1k2C21＝0，又由A12的任意性得C21＝0.若取除A13外所有的Aij＝0（i，j＝1，2，…，q）可得C31＝0.依此類推，可得到矩陣C的第1列除C11外均為0.同理可得到矩陣B的第1行除B11外均為0.

類似地，當i＝2，3，…，q時，對式（9）中的Aij取特殊值，則可得矩陣C的其他q－1列除C的對角元外均為0，以及矩陣B的其他q－1行除B的對角元外均為0，從而B＝diag（U1，…，Uq），C＝diag（U＊1，…，U＊q）.即式（7）成立.

定理3 若線性映射Φ（Γ（k））＝Γ（k）T，則式（3）成立.

證明：設λ0∈Wq（Γ（k）T），則存在xi∈?ki，‖xi‖＝1，i＝1，2，…，q，使得

注意到

于是可得

從而

即λ0∈Wq（Γ（k）），所以Wq（Φ（Γ（k）））?Wq（Γ（k））.

類似可證Wq（Γ（k））?Wq（Φ（Γ（k）））.

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