用Yangian代數解除Rb金屬原子簡并態

張志穎，茍立丹，白端元，周成城，肖洪亮

(1.長春理工大學理學院，長春130022;

2.長春理工大學電子信息工程學院，長春130022)

利用Yang-Baxter方程可研究量子可積問題.當其解為有理解時，它是無周期的，對應于Yangian代數［1-5］.Yangian代數是Hopf代數的一種變形，是比Lie代數更大的無窮維代數，是李代數的子代數，其物理基礎為量子可積的統計模型［6-12］.Yangian代數本質是無窮維代數，由有限個生成元I和J以如下方式生成:

其中:I為總角動量，遵循Lie代數sl(2)對易關系;J(J+，J-，J3)為張量;a和b為任意參數.集合{I，J}形成關于sl(2)的Yangian代數，記為Ysl(2).Ysl(2)遵從如下獨立對易關系:

文獻［13-21］給出了Yangian代數的物理意義及應用，如運用Yangian代數分析可積模型的對稱性及利用Yangian算子作為升降算子實現系統本征態間的躍遷.本文利用Yangian算子，構造出新的算符，該算符可描述不同量子態間的躍遷，將其作用于系統簡并的本征態上，可實現能級劈裂，從而達到解除簡并態的目的.

1 Rb金屬原子在Hamilton系統中的反常簡并及本征態

在濃87Rb蒸汽實驗中，有少量成分形成Rb2，其外層電子形成自旋衰減形式(spin-dimmer)，當外加恒磁場為特定值時，Zeeman效應產生的譜分裂消失.該Hamilton系統可表示為

式(2)當x=±1時出現簡并，H存在2K+1個對應同一個本征值的本征函數，即系統為2K+1重簡并［22-23］.

將Hamilton量寫成一般形式:

其中:L1為軌道角動量;L2為自旋角動量.于是，可定義本征態為

其中 m=j1+1，j1-1，…，-j1，其簡并度為2j1+1.

當λ'=λ-時，波函數為

其中 m=j1，j1-1，…，-(j1+1)，其簡并度為2j1+1.

2 解除系統簡并態

引入由Yangian生成元組成的算符H1=J+J-和H2=J-J+.其中

時，整個體系的Hamilton量變為H=H0+H1和H=H0+H2.

2×式(8)-式(7)-式(9)可得

將m和j1的數值代入式(10)，并由計算機軟件計算可得 u1，u2，R的解.當 j1=1，2，3時，u1，u2，R和u1-u2的值列于表1.

2×式(12)-式(11)-式(13)可得

當 j1=1，2，3 時，u1，u2，R 和 u1-u2的值列于表2.

表1 對 H1=J+J-，當 λ'=λ+時，u1，u2，R 和 u1-u2的值Table 1 Values of u1，u2，R，u1-u2with H1=J+J-and λ'=λ+

2×式(17)-式(16)-式(18)可得

當 j1=1，2，3 時，u1，u2，R'和 u1-u2的值列于表3.

表2 對 H1=J+J-，當 λ'=λ-時，u1，u2，R 和 u1-u2的值Table 2 Values of u1，u2，R，u1-u2with H1=J+J-and λ'=λ-

表3 對 H2=J-J+，當 λ'=λ+時，u1，u2，R'和 u1-u2的值Table 3 Values of u1，u2，R'，u1-u2with H2=J-J+and λ'=λ+

2×式(21)-式(20)-式(22)可得

當 j1=1，2，3 時，u1，u2，R'和 u1-u2的值列于表4.

表4 對 H2=J-J+，當 λ'=λ-時，u1，u2，R'和 u1-u2的值Table 4 Values of u1，u2，R'，u1-u2with H2=J-J+and λ'=λ-

綜上所述，本文以Rb金屬原子為模型，通過分析可知，H0=-gL1·L2+λL32的本征態為2j1+1重簡并.為使簡并的能級發生劈裂，引入了Yangian代數，由Yangian生成元構造了新算符H1=J+J-和H2=J-J+，使其作用于上述模型簡并的本征態上，為保證H0的本征態仍為H1和H2的本征態，可得u1，u2，R和R'的限制條件，從而達到消除簡并的目的.

［1］NIU Kai，XUE Kang，ZHAO Qing，et al.The Role of the l1-Norm in Quantum Information Theory and Two Types of the Yang-Baxter Equation［J］.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical，2011，44(26):265304.

［2］HU Tao-tao，WU Chun-feng，XUE Kang.Berry Phase and Entanglement of 3 Qubits in a New Yang-Baxter System［J］.Journal of Mathematical Physics，2009，50(8):083509.

［3］WANG Gang-cheng，XUE Kang，WU Chun-feng，et al.Entanglement and the Berry Phase in a New Yang-Baxter System［J］.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical，2009，42(12):125207.

［4］HU Tao-tao，WANG Gang-cheng，SUN Chun-fang，et al.Method of Constructing Braid Group Representation and Entanglement in a 9×9 Yang-Baxter System［J］.Reviews in Mathematical Physics，2009，21(9):1081-1091.

［5］SUN Chun-fang，HU Tao-tao，WANG Gang-cheng，et al.Thermal Entanglement in the Two-Qubit Systems Constructed from the Yang-Baxter R-Matrix［J］.International Journal of Quantum Information，2009，7(5):879-889.

［6］Arnaudon D，Molev A，Ragoucy E.On the R-Matrix Realization of Yangians and Their Representations［J］.Annales Henri Poincaré，2006，7(7):1269-1325.

［7］Inozemtsev V I，Inozemtseva N G，Sadovnikov B I.On the Integrals of Motion for an Exactly Solvable Model of Interacting Fermions［J］.Moscow University Physics Bulletin，2008，63(2):83-86.

［8］TIAN Li-jun，ZHANG Hong-biao，JIN Shuo，et al.Y(sl(2))Algebra Application in Extended Hydrogen Atom and Monopolemodels［J］.Commun Theor Phys，2004，41(5):641-644.

［9］SUN Chun-fang，XUE Kang，WANG Gang-cheng，et al.Entanglement and Yangian in a V3Yang-Baxter System［J］.Quantum Inf Process，2012，11(2):385-395.

［10］Stukopin V A.The Quantum Double of the Yangian of the Lie Superalgebra A(m，n)and Computation of the Universal R-Matrix［J］.Journal of Mathematical Sciences，2007，142(2):1989-2006.

［11］Stukopin V A.The Yangian Double of the Lie Superalgebra A(m，n)［J］.Functional Analysis and Its Applications，2006，40(2):155-158.

［12］CAO Xue-xia，ZHANG Liang-yun.Quantization of Dimodule Algebras and Quantum Yang-Baxter Module Algebras［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2010，30(4):725-733.

［14］Stukopin V.Yangians of Classical Lie Superalgebras:Basic Constructions，Quantum Double and Universal R-Matrix［J］.Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine，2004，50(3):1195-1201.

［15］TIAN Li-jun，QIN Li-guo，JIANG Ying，et al.Application of Y(sl(2))Algebra for Entanglement of Two-Qubit System［J］.Commun Theor Phys，2010，53(6):1039-1042.

［16］Gerasimov A，Kharchev S，Lebedev D，et al.On a Class of Representations of the Yangian and Moduli Space of Monopoles［J］.Communications in Mathematical Physics，2005，260(3):511-525.

［17］Lucy G，Alexander M.Representations of Twisted q-Yangians［J］.Selecta Mathematica，2010，16(3):439-499.

［18］GOU Li-dan，ZHU Rui-han.A 9×9 Matrix Representation of Temperley-Lieb Algebra and Corresponding Entanglement［J］.Chin Phys B，2012，21(2):020305.

［19］WANG Gang-cheng，XUE Kang，SUN Chun-fang，et al.Quantum Phase Transition Like Phenomenon in a Two-Qubit Yang-Baxter System［J］.International Journal of Theoretical Physics，2010，49(10):2499-2505.

［20］GOU Li-dan，XUE Kang，WANG Gang-cheng.A 9×9 Matrix Representation of Birman-Wenzl-Murakami Algebra and Berry Phase in Yang-Baxter System［J］.Communications in Theoretical Physics，2011，55(2):263-267.

［21］SUN Chun-fang，WANG Gang-cheng，HU Tao-tao，et al.The Representation of Temperley-Lieb Algebra and Entanglement in a Yang-Baxter System［J］.International of Quantum Information，2009，7(6):1285-1293.

［22］BAI Cheng-ming，GE Mo-lin，XUE Kang.The Happer’s Puzzle Degeneracies and Yangian ［J］.Science in China:Series A，2002，32(4):320-329.(白承銘，葛墨林，薛康.Happer簡并之謎與Yangian代數［J］.中國科學:A輯，2002，32(4):320-329.)

［23］BAI Cheng-ming，GE Mo-lin.Puzzle Degeneracies for87Rb2and Yangian Structures Appearing in Lower Excited States of Rare Gas Atoms［J］.Nuclear Physics Review，2001，18(4):232-237.(白承銘，葛墨林.87Rb2的奇怪簡并與低激發惰性氣體表現的Yangian結構［J］.原子核物理評論，2001，18(4):232-237.)