新型線性函數(shù)光子晶體的光子二極管

張斯淇，吳向堯，劉曉靜，巴 諾，王 婧，李 宏，馬 季，董 赫，陳萬金，尹新國，郭義慶

(1.吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平136000;2.淮北師范大學(xué)物理學(xué)院，安徽淮北235000;3.中國科學(xué)院高能物理研究所，北京100049)

自Yablonovitch［1］和John［2］提出光子晶體概念以來，光子晶體的光學(xué)傳輸特性研究已引起人們廣泛關(guān)注［3-10］.一維光子晶體結(jié)構(gòu)簡單，易于制備，并具有全方向的三維能隙結(jié)構(gòu)［11］，因此用一維光子晶體材料可制備出二、三維光子晶體材料制作的器件.

文獻［12］首次提出了函數(shù)光子晶體的概念，即介質(zhì)折射率是空間位置的函數(shù)，但要求折射率在兩端點處相等，因此是一種特殊函數(shù)光子晶體.本文在此基礎(chǔ)上，提出一般函數(shù)光子晶體，即折射率是空間位置的任意函數(shù).在線性折射率函數(shù)的一維函數(shù)光子晶體中，研究其透射率和不同周期數(shù)及光學(xué)厚度對電場強度的影響.

1 光在一般函數(shù)光子晶體中的運動方程

一般函數(shù)光子晶體介質(zhì)層的折射率是一個隨空間位置變化的周期函數(shù)，設(shè) n(z)，n(x，z)，n(x，y，z)分別表示一維、二維和三維函數(shù)光子晶體的折射率.

光在一維函數(shù)型介質(zhì)中的傳播路徑如圖1所示.由圖1可見，其運動軌跡在xz平面上為曲線.當(dāng)入射光入射至介質(zhì)分界面A點時，曲線AB和BC分別表示光在介質(zhì)中的入射路徑和反射路徑.

圖1 光在一維函數(shù)型介質(zhì)中的傳播路徑Fig.1 Motion path of light in the medium of one-dimensional function

光的運動方程可由費馬原理求得

在二維傳播空間中，線元ds為

將方程(3)轉(zhuǎn)換為

由于A，B兩個端點的變化為零，即δz(A)=δz(B)=0，因此對于任意變量dz，方程(4)可轉(zhuǎn)換為

簡化方程(5)可得

方程(6)即為光在一維函數(shù)型介質(zhì)中的運動方程.

2 光在一維一般函數(shù)光子晶體中的傳輸矩陣

設(shè)空間有一介質(zhì)層B，其折射率分布函數(shù)為n(z)，厚度為b.若電場E的偏振與入射面垂直(TE波)，則由電場和磁場的邊值關(guān)系可知，介質(zhì)交界面切向方向上的電場強度和磁場強度連續(xù)，如圖2所示，其中E0和H0為在界面Ⅰ上側(cè)的場矢量，EⅠ和HⅠ為在分界面Ⅰ下側(cè)的場矢量，EⅡ和HⅡ為在界面Ⅱ下側(cè)的場矢量.在界面Ⅰ附近電場分量包括入射光波Ei1、透射光波Et1、反射光波Er1和從界面Ⅱ反射到界面Ⅰ的光波

圖2 光在任意介質(zhì)層中的傳播Fig.2 Light transmission in an arbitrary middle medium

由電場和磁場的邊值關(guān)系可知，對于界面Ⅰ兩側(cè)的電場強度和磁場強度在切向方向上的分量是連續(xù)的，即

界面Ⅱ兩側(cè)的電場強度和磁場強度在切向方向上的分量可表示為

其中電場強度Et1和Ei2分別為

其中:xA和xB分別為x在A，B兩點的坐標(biāo)分量;b為介質(zhì)厚度.

將方程(6)兩邊積分

可得

其中 k0=cot.

將方程(12)兩邊積分可得坐標(biāo)分量xB為

將方程(9)，(13)代入方程(10)中，并利用折射定律

可得

其中

n0為空氣折射率，和分別為界面Ⅰ和Ⅱ的入射角.同理可得

其中:

3 一維一般函數(shù)光子晶體的結(jié)構(gòu)及其電場分布

由于光子晶體包含2種不同折射率介質(zhì)，因此其折射率在2個介質(zhì)的分界面處不連續(xù).本文設(shè)計一維一般函數(shù)光子晶體結(jié)構(gòu)如圖3所示.在第一個半周期介質(zhì)B中，其折射率分布函數(shù)為nb(z)，在第二個半周期介質(zhì)A中，其折射率分布函數(shù)為na(z)，介質(zhì)厚度分別為b和a.方程(18)為半個周期介質(zhì)B的傳輸矩陣，則另半個周期介質(zhì)層A的傳輸矩陣為

其中:

因此一個周期的傳輸矩陣為

當(dāng)nb(z)或na(z)為常數(shù)時，矩陣(25)即與常規(guī)光子晶體M矩陣相同，即常規(guī)光子晶體是一般函數(shù)光子晶體的特例.從而一般函數(shù)型光子晶體的特征方程為

其中N為周期數(shù).

由方程(26)可得透射系數(shù)t為

透射率為

光在一般函數(shù)光子晶體中的場強分布如圖4所示.由一維函數(shù)光子晶體的傳輸矩陣可得光在光子晶體中的電場分布為

由方程(29)可得

其中n0=1.由Et=E0i·t可得

比值為

方程(32)即為一維函數(shù)光子晶體的電場分布公式.

圖3 光在一般函數(shù)光子晶體中2個周期內(nèi)的傳播路徑Fig.3 Two-period transmission of light in the general function PCs

圖4 光在一般函數(shù)光子晶體中的場強分布Fig.4 Light positive incident to the general function PCs

4 數(shù)值分析

折射率為空間坐標(biāo)線性函數(shù)光子晶體的折射率分布函數(shù)為:

其折射率隨位置的分布曲線如圖5所示.給出端點值nb(0)，nb(b)，na(0)和na(a)即可確定線性函數(shù)折射率nb(z)和na(z).

采用圖5所示的折射率線性分布函數(shù):

圖5 一般函數(shù)光子晶體折射率隨位置的分布曲線Fig.5 Enhanced line refractive indexes of function PCs in a period

介質(zhì)層B和A的厚度分別為

周期數(shù)N=16.通過計算可得一般函數(shù)光子晶體的透射率曲線如圖6所示.由圖6可見，一般函數(shù)光子晶體遠大于常規(guī)光子晶體的透射率.

取

由方程(25)和(27)計算得到透射率曲線如圖7所示.由圖7可見，與常規(guī)光子晶體透射率相同.即常規(guī)光子晶體是函數(shù)光子晶體的特例.

圖6 一般函數(shù)光子晶體的透射曲線Fig.6 Transmissivity of function PCs

圖7 常規(guī)光子晶體的透射率曲線Fig.7 Transmissivity of conventional PCs

光正入射和反入射進入函數(shù)光子晶體的電場分布曲線分別如圖8和圖9所示.由圖8可見，當(dāng)光正入射時，電場強度增強，實現(xiàn)了光放大.由圖9可見，當(dāng)光反入射時，電場強度減弱，實現(xiàn)了光衰減.因此該函數(shù)光子晶體可作為光子二極管.

圖8 光正入射進入一般函數(shù)光子晶體的電場分布曲線Fig.8 Light positive incident to the general function PCs

圖9 光反入射進入函數(shù)光子晶體的電場分布曲線Fig.9 Light negative incident to the general function PCs

圖10 電場在非均勻介質(zhì)中的分布曲線Fig.10 Distribution of electric field in an inhomogeneous medium

5 電磁波在非均勻介質(zhì)中的傳播

由于非均勻介質(zhì)的介電常數(shù)是隨空間位置變化

即該介質(zhì)的折射率隨空間距離增大而增大.根據(jù)電磁理論式［13］為

通過模擬計算得電場在非均勻介質(zhì)中的分布曲線，如圖10所示.由圖10可見，電磁波在該非均勻介質(zhì)中電場強度增加，這是因為電磁波在該非均勻介質(zhì)的傳播過程中吸收了能量，從而使電場強度增加.因此由該非均勻介質(zhì)構(gòu)成光子晶體時，其電場強度在每個周期都會增加.與函數(shù)光子晶體所得結(jié)果相符.

綜上，本文設(shè)計了一種新型的線性函數(shù)光子晶體，其折射率為空間位置函數(shù).通過計算得到如下結(jié)論:

1)當(dāng)介質(zhì)層B和A的折射率分布函數(shù)為線性增加時，一般函數(shù)光子晶體的透射率遠大于1;

2)當(dāng)光正入射時，電場強度增強，實現(xiàn)了光放大;當(dāng)光反入射時，電場強度減弱，實現(xiàn)了光衰減.因此該函數(shù)光子晶體可作為光子二極管.

［1］Yablonovitch E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics［J］.Phys Rev Lett，1987，58(20):2059-2062.

［2］John S.Strong Localization Photons in Certain Disordered Dielectric Super Lattices［J］.Phys Rev Lett，1987，58(23):2486-2489.

［3］WANG Hui，LI Yong-ping.An Eigen Matrix Method for Obtaining the Band Structure of Photonic Crystals［J］.Acta Physica Sinica，2001，50(11):2172-2178.(王輝，李永平.用特征矩陣法計算光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)［J］.物理學(xué)報，2001，50(11):2172-2178.)

［4］NI Pei-gen.Progress in the Fabrication and Application of Photonic Crystals［J］.Acta Physica Sinica，2010，59(1):340-350.(倪培根.光子晶體制備技術(shù)和應(yīng)用研究進展［J］.物理學(xué)報，2010，59(1):340-350.)

［5］WANG Xu-dong，YAN Ke-zhu，LIU Fang.Study of Relations between Band Gap of Photonic Crystals and the Ratio of Dielectric Index［J］.Journal of Optoelectronics·Laser，2003，14(10):1063-1065.(王旭東，閆珂柱，劉芳.光子晶體帶隙隨介質(zhì)折射率變化規(guī)律的研究［J］.光電子·激光，2003，14(10):1063-1065.)

［6］CHEN Wei-zong，SHEN Ying，HU Man-li，et al.Structure of Basic Period of One-Dimensional Photonic Crystal and the Characters of Forbidden Bands［J］.Acta Photonica Sinica，2001，30(12):1453-1456.(陳慰宗，申影，忽滿利，等.一維光子晶體的基本周期結(jié)構(gòu)及其禁帶特征［J］.光子學(xué)報，2001，30(12):1453-1456.)

［7］Scalora M，Dowling J P，Bowden C M，et al.The Photonic Band Edge Optical Diode［J］.J Appl Phys，1994，76(4):2023-2026.

［8］John S，WANG Jian.Quantum Electrodynamics near a Photonic Band Gap:Photon Bound States and Dressed Atoms［J］.Phys Rev Lett，1990，64(20):2418-2421.

［9］John S，WANG Jian.Quantum Optics of Localized Light in a Photonic Band Gap［J］.Phys Rev B，1991，43(16):12772-12789.

［10］FANG Shu-fen，LI Ji-si，SU Shi，et al.Band Gap Properties of 1-D Photonic Crystal［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2009，47(1):98-101.(房淑芬，李集思，蘇適，等.一維光子晶體的禁帶特性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2009，47(1):98-101.)

［11］Fink Y，Winn J N，F(xiàn)an S，et al.A Dielectric Omnidirectional Reflector［J］.Science，1998，282:1679-1682.

［12］WANG Guang-huai，WANG Qing-cai，WU Xiang-yao，et al.Research on One-Dimensional Function Photonic Crystals［J］.Acta Physica Sinica，2012，61(13):134208.(王光懷，王清才，吳向堯，等.一維函數(shù)光子晶體的研究［J］.物理學(xué)報，2012，61(13):134208.)

［13］蔡圣善，朱耘，徐建軍.電動力學(xué)［M］.2版.北京:高等教育出版社，2004:194-197.