擬復射影空間CQn+p中的全實極小子流形

朱 巖，宋衛東

(安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖241000)

設CQn+p是具有Kaehler度量的復n+p(n≥2)維Riemann復流形，若其曲率張量取為如下形式:

則稱CQn+p為擬復射影空間［1］.其中:g為CQn+p上的Riemann度量;J為CQn+p的復結構;a，b是CQn+p上的光滑函數;{λA}是CQn+p上的單位向量函數.

設Mn是CQn+p的實n維子流形，如果Mn上每點的切空間被CQn+p的復結構J映射到該點的Mn法空間中，則稱Mn是全實子流形［2］;若Mn的平均曲率向量恒消失，則Mn稱為全實極小子流形.文獻［3-5］研究了復射影空間中的全實極小子流形，得到一些相關結果.本文討論擬復射影空間CQn+p中的全實極小子流形，主要結果如下:

定理1 設Mn是擬復射影空間CQn+p中的緊致全實極小子流形，則

其中S為Mn的第二基本形式模長平方.

注1 當a=c/4，b=0時，擬復射影空間CQn+p即為具有全純截面曲率為c的復射影空間CPn+p.

注2 當p=0時，推論1中的Pinching常數優于文獻［1］的結果.

1 預備知識

本文對各類指標取值范圍約定如下:A，B，C，…=1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;i，j，k，…=1，…，n;α，β，γ，…=n+1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;λ，μ，…=n+1，…，n+p.

設Mn是CQn+p中的實n維全實子流形，J為CQn+p的復結構.在CQn+p上選取局部規范正交標架場:

使得限制于Mn，{e1，…，en}與Mn相切.以{ωA}表示{eA}的對偶標架場，則CQn+p的結構方程為:

其中:

這里(JAB)為復結構，視為線性變換J關于{eA}的變換矩陣，即

其中In+p為n+p階單位矩陣.

將上述形式限制在Mn上，則有［6］:

其中Rijkl，Rαβij分別是Mn的Reimann曲率張量場和法曲率張量場關于{eA}的分量.進一步，Mn的平均曲率向量場ξ、平均曲率H和第二基本形式模長平方S可表示為

此外，由文獻［7］有:

引理1 設Mn是CQn+p中全實子流形，則有:

2 定理1的證明

首先計算 Mn第二基本形式分量 hij的 Laplacian.的 Laplacian定義為則由式(14)，(15)可得

其中:

下面估計 A，先定義［8］

ω的散度

由式(14)，(19)，有

由式(4)及n≥2，有

利用式(4)，得

再利用式(4)得

從而式(27)，(28)可統一表示為

由引理1，得

綜合式(21)，(23)，(29)，(30)，有

又由Mn的緊致性，對式(30)兩邊積分，得

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