源于趨化性模型雙曲拋物系統激波解的存在性

祝英杰，梁 波，朱天曉，司元舉

(1.長春大學理學院，長春130022;2.吉林大學數學研究所，長春130012;3.大連交通大學理學院，遼寧大連116028;4.吉林省實驗中學，長春130022)

0 引言

趨化性是指當化學物質濃度梯度變化時，細胞隨之改變其運動狀態的一種反應過程，接近有利的化學環境或避離不利的化學環境.向化學濃度梯度較高處運動的行為，為正的趨化性，稱為吸引;反之為負的趨化性，稱為避離.根據Adler［1］的實驗結果，Patlak［2］從微觀、Keller等［3-4］從宏觀角度給出了趨化性數學模型，也稱為Patlak-Keller-Segal模型(簡稱K-S模型):

其中:u(x，t)表示細胞密度;c(x，t)表示化學物質濃度;D和ε分別表示細胞和化學物質的擴散系數;常數χ表示趨化性敏感度，測量化學物質發出信號的強度，χ＞0相應于正的趨化性，即趨近(χ＜0表示負的趨化性，即避離);τ(≥0)表示松弛時間，1/τ趨向平衡速率.動力學函數f(ρ，c)=δg(ρ)h(c)，其中:δ∈?是常數;g(ρ)是光滑函數，并且h(c)和θ(c)有關.

當D＞0即營養物擴散系數不為零時，Nagai等［5］得到了經典的K-S模型當底質擴散系數趨于0時行波解的擴散極限;Wang等［6］研究了均勻介質情況即D為常數且χδ＜0時黏性激波解的存在性及激波結構，并證明了激波速度等于行波速度;Li等［7-8］給出了經典K-S模型行波解的非線性漸近穩定性.當ε=0時模型(1)的一維模型通常用于描述癌細胞侵入［9］.本文考慮當ε=0且χδ＞0，其中細胞擴散系數為關于空間變量x的函數時模型(1)的一維模型，即非均勻介質情形，模型如下:

其中趨化性勢函數及其相應的趨化敏感性函數分別為 Θ(c)=ln c和 θ(c)=1/c，二者滿足關系Θ(c)=θ(c)cx.此外，取h(c)=c.為建立系統(2)黏性激波解的存在性，引入變換

將式(3)代入式(2)，可得等價的擬線性雙曲-拋物系統:

考慮如下初值問題:

因為u(x，t)表示細胞密度，從而 u(x，t)≥0且 u±≥0.類似地，c(x，t)表示化學物質濃度，從而c(x，t)≥0且cx(x，t)＜0.故結合式(3)，有v≤0和v±≤0.綜上，假設:

1 雙曲-拋物系統的激波和行波解

為研究系統(4)的激波解，去黏性項，則系統(4)可化為如下雙曲守恒率方程組:

本文主要研究連接系統(6)激波解的左狀態和右狀態恰好是系統(4)的行波解.為此，設U=(u，v)T，從而激波解的左狀態UL=(u-，v-)和右狀態UR=(u+，v+)恰好是系統(4)的行波解，并且滿足

系統(6)的Jacobi矩陣

相應的特征向量為 r1=(-σ1(u，v)，δg'(u))T，r2=(σ2(u，v)，-δg'(u))T. 顯然，由假設(H1)，(H2)，有 σ1＜0＜σ2. 進而，直接計算可知特征曲線族(σ1，r1)和(σ2，r2)滿足:

不等式(10)表明系統(6)的特征域(σ1(u，v)，r1)和(σ2(u，v)，r2)為真的非線性. 由假設知U=(u，v)T，此外，設 f(U)=(χuv，-δg(u))T，=(D，0)T，可得式(6)的向量形式:

相應的雙曲守恒系統(4)的向量形式如下:

其中 I=［min(u+，u-)，max(u+，u-)］是一個有界區間. 因為 σ1(u，v)＜0＜σ2(u，v)，故系統(4)是雙曲系統.考慮初值:

假設UL≠UR，否則，傳播速度是常數，即σi(U)=σi(UL)=σi(UR).因此，▽σi(U)=0，即系統(6)為線性退化的.假設左狀態(u-，v-)連接到某個右狀態(u+，v+)的傳播速度為s，由Rankine-Hugoniot連接跳條件 f(UR)-f(UL)=s(UR-UL)［10］，得

由式(14)的第一個式子得v+-v-=［(s-χv-)/u+］(u+-u-).消去v+并結合式(14)，得

由假設(H1)，(H2)，可得二次方程(15)有兩個異號實根:

由v-＜0，g'(u)＜0，有s1-Lax＜0＜s2-Lax.負根s對應第一特征族，正根s對應第二特征族.這里僅考慮s＜0的情形，s＞0的情形類似證明.對于一個真的非線性系統，Lax熵條件［10］為

綜上，易得:

引理1(Lax熵條件)給定s1-Lax＜0，Lax熵條件為:

下面指出系統(4)的行波解即為連接雙曲守恒組(6)左狀態和右狀態的激波解，且滿足Lax熵條件(4).引入行波變換(u，v)(x，t)=(Ψ，Φ)(ξ)，ξ=x-st，其中ξ為行波變量，并且s為波速.將行波變換代入系統(4)，得如下行波方程:

滿足邊界條件

其中:u±≥0，v±≤0.在(±∞，z)上對式(20)積分并應用邊界條件(21)，得

其中:

則式(20)化簡為

其中η1和η2滿足式(23).

當D＞0時，系統(4)的行波解隨D→0收斂到系統的激波解.可得:

引理2 Lax熵條件如下:

2 黏性激波解的存在性

定理1 假設(H1)，(H2)成立，常微分系統(24)滿足邊界條件(21)，并且η1和η2滿足式(23)，則系統(20)-(21)存在唯一的單調激波(Ψ，Φ)(x-st)，并且當χ＞0(＜0)時，滿足式(25)，其中s滿足式(15).

證明:由式(24)第二個方程得到Φ的表達式并代入式(24)的第一個方程，有

假設Ψξ=P，則可將式(27)寫成如下常微分方程系統:

由式(28)得

對式(29)關于 Ψ 積分并聯合式(20)，D(±∞)=0，P(u±)= Ψξ(u±)=0，得

其中 η1和 η2滿足式(23).

下面證明存在一條軌道連接UL和UR滿足單調性質:Ψξ＞0.事實上，定義式(29)等號右邊為

由假設(H2)，有

則對于介于 ρ-和 ρ+間的 Ψ，有 V(Ψ)＜0.因此，對 ρ-和 ρ+間所有的 Ψ，有 Ψξ=(sD)-1V(Ψ)＞0，從而u+＞u-.根據式(20)，有Φξ＜0成立，故v-＞v+.又由于式(29)是關于Ψ的一階常微分方程，因此式(33)必存在一條軌道滿足邊界條件(21)，連接兩個平衡點u-和u+.事實上，這條軌道在相平面Ψ-P上由式(29)給出.證畢.

綜上，本文證明了χδ＞0趨化性生物模型黏性激波解的存在性.當細菌擴散系數D(x)為正常數時，可化簡二階微分方程(28)為一階常微分方程(29)或下列緊形式:

其中:W=(Ψ，sDP);F(W)=(P，(-s2+χη2-χδg(Ψ)-χδΨ g'(Ψ))P).W 在相平面(Ψ，P)上是自治系統(29)的平衡點當且僅當W=(u±，0)，其中u±和激波速度s1-Lax滿足式(16).點(W+，0)和(W-，0)均是系統(34)的鞍點，給定一個Lax激波，左狀態和右狀態的連接為鞍點-鞍點連接.

［1］Adler J.Chemotactic in Bacteria［J］.Ann Rev Biochem，1975，44:341-356.

［2］Patlak C S.Random Walk with Persistence and External Bias［J］.Bull Math Biophys，1953，15(3):311-338.

［3］Keller E F，Segel L A.Travelling Bands of Chemotactic Bacteria:A Theoretical Analysis［J］.J Theoret Biol，1971，30(2):235-248.

［4］Keller E F，Odell G M.Necessary and Sufficient Conditions for Chemotactic Bands［J］.Math Bio，1975，27(3/4):309-317.

［5］Nagai T，Ikeda T.Travelling Waves in a Chemotaxis Model［J］.J Math Biol，1991，30(2):169-184.

［6］WANG Zhi-an，Hillen T.Shock Formation in a Chemotaxis Model［J］.Math Meth Appl Sci，2008，31:45-70.

［7］LI Tong，WANG Zhi-an.Nonlinear Stability of Traveling Waves to a Hyperbolic-Parabolic System Modeling Chemotaxis［J］.SIAM J Appl Math，2009，70(5):1522-1541.

［8］LI Tong，WANG Zhi-an.Asympototic Nonlinear Stability of Traveling Waves to Conservation Laws Arising from Chemotaxis［J］.J Math Differentional Equation，2011，250:1310-1333.

［9］Chaplain M A J，Lolas G.Mathematical Modeling of Cancer Invasion of Tissue:Dynamic Heterogeneity［J］.Net Hetero Med，2006，1(3):399-439.

［10］Lax P.Hyperbolic Systems of Conservation LawsⅡ［J］.Comm Pure Appl Math，1957，10(4):537-566.