三次NURBS曲線插值在土工織物有效孔徑分析中的應用

王 宵

（上海勘測設計研究院 上海 200434)

1 引言

土工織物的有效孔徑是土工織物排水反濾的一個重要指標，直接反映織物的保土能力和排水能力。有效孔徑的測試方法主要有篩析法（干篩法、濕篩法、動力水篩法)、顯微鏡測讀法、氣泡點法等。由于篩析法最能模擬顆粒通過土工織物的工程實際情況，且干篩法最為簡便，因此我國目前在對于土工織物的有效孔徑檢測試驗中，主要采用干篩法。有效孔徑以能有效通過土工織物的近似最大顆粒直徑表示，例如O90表示土工織物中90%的孔徑低于該值。此外常用的表示方式還有O95和O98等。

干篩法有效孔徑的測試原理是：用土工織物作為篩布，將已知直徑的標準顆粒放在土工織物上面振篩，稱量通過土工布的標準顆粒材料重量，計算出過篩率，以該過篩率和標準顆粒直徑為一組數據，調換不同直徑的標準顆粒進行試驗，得出至少三組數據，由此繪出土工織物的孔徑分布曲線。然后在曲線上得出O90、O95以及O98。

傳統的有效孔徑試驗數據處理，是將試驗獲得的數據，在半對數坐標紙上標出，然后將數據點用曲線板手繪連成曲線，得到一條織物有效孔徑的分布曲線，然后再從曲線上查取 O90、O95以及O98值，這種手繪的數據處理方法不僅繁瑣，而且不可能得到連續光滑的曲線，局部總是存在奇異點，大大降低了實驗數據的準確度。通過對多種樣條插值函數數學原理的分析比較，采用三次非均勻有理B樣條曲線（NURBS曲線)對土工織物有效孔徑的實驗數據進行插值，能很好的解決有效孔徑試驗數據處理，并且便于使用計算機語言開發計算及繪圖程序，大大提高土工織物有效孔徑數據處理的效率和精度。

2 土工織物有效孔徑分布曲線的特點

2.1 曲線的連續性

根據國標《土工布及其有關產品有效孔徑的測定干篩法》（GB/T14799-2005)中土工織物有效孔徑分布曲線的定義，曲線的縱坐標為一塊織物中大于某一粒徑的孔徑的百分比，為累積型曲線，不可能出現斷點，因此曲線必定是連續的。

2.2 曲線的光滑性

在生產條件不變的情況下，生產出來的土工織物的孔徑大小符合正態分布，這一點已經得到共識，其概率分布如圖1所示。

正態分布的概率密度函數為：

分布函數為：

正態分布函數為e為底的指數型函數，具有n階連續導數，因此土工織物的孔徑分布曲線必定是光滑的，至少具有一階連續的導數，理論分布曲線如圖2所示。

圖1 織物孔徑概率分布曲線

圖2 織物孔徑理論分布曲線

2.3 曲線的單調性

孔徑分布曲線為累積性曲線，孔徑大的點對應的篩余量不可能大于孔徑小的點，所以曲線按照坐標軸的排列不同，一定是單調遞增或是遞減。

3 插值方法的比較及數學原理

根據對土工織物有效孔徑累積分布曲線的特點分析，對于曲線的要求是根據數據點繪出的孔徑分布曲線必須是經過型值點(即數據點)的光滑的（至少具有一階連續導數)連續的單調的曲線。

插值的定義：給定一組精確的數值點，要求構造一個函數，使之嚴格地依次通過全部型值點，且滿足光滑的要求。

插值的方法：

（1)多項式插值：這是最常見的一種函數插值，已知平面上n＋1個不同點，要尋找一條n次多項式曲線通過這些點。插值多項式一般有拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式兩種常見的表達形式。多項式插值有階數低，易出現奇異點的明顯缺點；

（2)三次均勻樣條插值：采用分段 3次多項式作為插值函數，數據點間距較大時出現曲線奇異；

（3)三次非均勻有理 B樣條插值：也稱作三次NURBS曲線，是目前使用最為廣泛，最好的樣條插值曲線，它具有連續的二階導數和光滑的插值曲線，且克服了均勻樣條插值函數節點間距較大時產生的曲線奇異。

非均勻有理B樣條曲線（NURBS曲線)由節點向量、控制點、權值唯一確定。一條k次非均勻有理B樣條曲線的定義為：

式中：wi(0≤i≤n)為控制權因子；vi(0≤i≤n)為控制頂點；Ni,k(u)是由節點矢量

U=[u0,u1,.......un+k+1]決定的k次規范B樣條基函數，由de-Boor-Cox遞推公式定義：

并規定0/0＝0。

4 三次NURBS插值函數的確定

4.1 三次NURBS插值函數的矩陣表達式

根據遞推公式可以得到三次NURBS插值函數的矩陣表達式：

（1≤i≤n-1，n為型值點個數)

其中 t=(u-ui)/(ui+1-u)(0≤t≤1)，Ni為由節點向量確定的4階矩陣。

B樣條曲線是由控制頂點連線構成的控制多邊形確定，一般不通過控制多邊形的控制頂點，因此需要根據型值點（數據點) pi(1 ≤i ≤n)反求控制頂點 vi( 0≤i ≤n+1)。根據型值點條件以及邊界條件可得到n+2個方程，即由n個型值點可以唯一確定n+2個控制點。邊界條件可以由曲線兩端的一階導數 pi(t)′或是兩階導數pi( t)′確定。根據實際情況在這里選用第二類邊界條件，可取 p1(0 )′=0,pn-1(1)′=0。

4.2 節點向量的確定

三次樣條插值函數的均勻與非均勻性質的主要區別在于節點向量的取值。干篩法有效孔徑的數據點之間的間距一般變化較大，數據點分布不均勻，在此選用弦長累積法確定節點向量。

通過n個型值點三次樣條插值函數的節點向量可以表示為：

其中（n≥3)。

5 應用三次NURBS插值函數繪制孔徑分布曲線的VC++語言實現

按照國標《土工布及其有關產品有效孔徑的測定干篩法》（GB/T14799-2005)，確定某一試樣的有效孔徑，需要取得不少于三組連續分級標準顆粒材料的過篩率，每組粒徑需要取得5塊試樣的平均值。根據經驗，實際的試驗過程中，要取得完整的4組粒徑的篩余量是比較困難的。因為對于織物孔徑分布而言，4組粒徑范圍過大，容易出現最小粒徑篩余率為0g，或是最大的粒徑篩余率為50g的情況，這兩種數據都是無效的數據。對于僅需要得到以O90、O95以及O98為代表的織物有效孔徑而言，只要保證所求的有效孔徑落在孔徑曲線的第一段內，那么第四個數據點對曲線第一段的形狀基本沒有影響，即不會影響有效孔徑的數值。所以實際試驗中一般選用3組粒徑，即滿足了規范和數據準確性的要求，又簡化了實驗過程。基于以上對土工織物有效孔徑實驗的數據點及孔徑分布曲線特性的分析，編制采用通過3個數據點的三次非均勻有理B樣條插值函數來繪制土工織物孔徑分布曲線的程序，是解決土工織物有效孔徑實驗數據處理的最好方法。

程序采用 VC++語言實現，設計流程如圖 3所示：

圖3 孔徑分布曲線程序的流程圖

6 孔徑曲線的修正

土工織物按照加工的方式分為有紡和無紡兩種，當織物中的孔隙較集中地分布在一個小范圍內時，用篩析法測試土工織物的孔徑，往往會出現兩組連續顆粒粒徑間篩余率相差很大的情況。這種情況較多出現在一些較厚的無紡布當中，這樣得到的兩個數據點之間間距較大，很容易出現不單調的情況，這顯然是不合理的。

產生曲線不單調的原因在于兩數據點間距太大，這一段曲線因為缺少必要的數據點，為滿足邊界條件曲線會出現不單調遞增，解決方法有兩種：一是在兩數據點之間添加新的數據點，但是由于規范已經規定好了標準顆粒的粒徑范圍，同時相鄰粒徑之間相差已經很小，再細化可能標準顆粒粒徑本身誤差就會很大，因此實施起來比較困難；二是根據情況加大首端或末端型值點的權值，根據首末端曲線的彎曲程度可以建立起曲線首末端斜率k與權值w的對應函數關系，這樣曲線出現不單調時，就可以通過自動調節首末端點的權值大小來修正實際孔徑曲線的單調性。

7 工程實例

表1 無紡布規格參數

表2 無紡布有效孔徑實驗數據

我們選取了一組典型的厚度較大的無紡土工布，規格如表 1所示。按規范規定的粒徑組（0.071～0.090，0.090～0.125，0.125～0.154，分別取粒徑范圍下限)取得3組數據。因為實際取得的0.071和0.090兩組粒徑對應的數據點之間間距較大，將0.071～0.090之間的砂重新過0.075mm的篩網，取得 0.075～0.090粒徑范圍的砂，額外增加了0.075粒徑對應的一組數據點。因此一共取得了4組數據，如表2所示。然后在半對數坐標內，分別用三次均勻樣條插值函數和三次非均勻有理B樣條插值函數繪制3個數據點和4個數據點的孔徑分布曲線，如圖4、5、6、7所示。

圖4 3個數據點經過三次均勻樣條插值得到的孔徑分布曲線

經過圖中的對比可以看出當數據點間距較大時，三次均勻樣條曲線當3個數據點分布不均勻時，很容易出現曲線奇異，而未經修正的三次非均勻有理 B樣條曲線很好的解決了數據點分布不均勻時出現的曲線奇異，但是數據點間距較大時，單調性容易發生改變，應用在實際的有效孔徑測試中，這肯定是不合理的。經過權值修正后曲線的單調性得到了很好的控制，并且與新增數據點后得到的實際的孔徑分布曲線基本一致，很好的擬合了實際的孔徑分布曲線。

圖5 3個數據點經過三次非均勻有理B樣插值得到的孔徑分布曲線

圖6 4個數據點經過三次非均勻有理B樣條插值得到的孔徑分布曲線

圖7 3個數據點經權值修正后的孔徑分布曲線

8 結語

采用通過型值點的三次非均勻有理 B樣條插值函數，對土工織物干篩法有效孔徑實驗數據進行了插值，并繪制了連續光滑的孔徑分布曲線。此外對曲線繪制中可能出現的的不單調性，提出了權值修正方法，進行了曲線修正，在此基礎上開發了土工織物有效孔徑分布曲線繪制程序。這一方法解決了長期以來用曲線板手工繪制孔徑分布曲線，然后再從曲線上查取有效孔徑數值的非常繁瑣、且誤差較大的數據處理方法，大大地提高了土工織物有效孔徑數據處理和繪制分布曲線的效率和精度。