三種因素對水電機組主軸頻率的影響研究

陳貴清，曲 哲

（1.唐山學院 基礎教學部，河北 唐山063000；2.河北聯合大學 建筑與土木工程學院，河北 唐山063009）

長期以來水電機組主軸振動問題嚴重影響著水電站的安全運行，并阻礙著其向大型化方向發展。2009年8月17日，俄羅斯薩揚水電站就發生了嚴重的安全事故，事故造成75人死亡，13人失蹤［1］。這是由于在高水頭、大流量和強電磁場的共同作用下，水電機組主軸振動規律不易掌握，隱患長期積累，最終爆發并造成嚴重后果。更加值得注意的是，為了滿足社會快速發展對能源的巨大需求，近些年建成的水電機組單機容量不斷提升，水力作用和電磁作用對水電機主軸穩定性的影響也越發顯著，因此本文著重對此進行探討。

研究模型為三峽水電站機組，單機容量為70×104kW，額定轉速75r／min，發電機轉子質量2.26×106kg，發電機轉子極轉動慣量1.12×108kgm2，水輪機轉輪質量4.5×105kg，水輪機轉輪極轉動慣量7.5×106kgm2，發電機轉子有效長度3.437m，極對數40，額定功率因數0.9。

1 水電機組轉子軸系簡化模型

1.1 轉子軸系質量的離散化

水電機組主軸是一個質量連續分布的彈性系統，見圖1，嚴格來講其自由度為無窮多個，必須減少其自由度方能進行計算。因此，在轉子動力學中，多采用將主軸進行分段的方法，人為地限定軸系自由度的數量。這些分段的結點通常選在主軸的截面有突變處或發電機轉子、轉輪中心和兩端以及導軸承等位置。根據以上分段原則，對三峽水電機組主軸分段如圖2所示。本文將三峽水電機組主軸分為12個節點、11段。節點1為主軸的最上端；節點2為上導軸承；節點3，4，5分別為發電機轉子的上端、中心和下端；節點6為下導軸承；節點7為法蘭，在此加設節點是因為此處主軸截面尺寸發生了明顯變化；節點8為水導軸承；節點10處主軸截面尺寸再次發生明顯變化；節點10，11，12分別為轉輪的上端、中心和下端。

1.2 導軸承

水電機組主軸水平方向受2－3個滑動軸承限制，稱為導軸承。三峽機組為3個導軸承，其中上導軸承位于發電機轉子的上部，由8塊瓦組成；下導軸承與推力軸承共用一個油槽，可以稱為推導聯合軸承；水導軸承位于水輪機轉輪的上面，由12塊瓦組成。由于導軸承內部充滿潤滑油且水電機組主軸系統質量巨大，因而不可能完全限制其移動。本文將各個導軸承均簡化為具有一定剛度的水平彈簧。

1.3 發電機轉子

水電機組主軸系統的大部分質量集中在轉子上，其外圍為鋼片壓成的磁極與磁軛，中心部分為鋼架支撐。因此本文根據轉子的自身特點，結合有限元法和傳遞矩陣法對系統簡化的不同思想將其簡化為兩種不同模型：在應用有限元方法時將轉子的中心軸簡化為質量均勻分布的彈性桿，而應用傳遞矩陣法時則將其簡化為質量平均集中在兩端的無質量彈性桿。對于外圍的磁極與磁軛，兩種方法均簡化為3個均分布的集中質量。

1.4 水輪機轉輪

水輪機轉輪是主軸系統中另一個集中質量部件，由于轉輪葉片豎向排列，能夠提供水平剛度，所以應用有限元法時將其簡化為質量均勻分布的彈性桿；而應用傳遞矩陣法時則將其簡化為質量平均集中在兩端的無質量彈性桿。

2 頻率影響因素

2.1 附加水質量

轉輪葉片之間有很大的空間，在運行時這個空間中會有大量的水駐留并一起旋轉，相當于增加了水輪機轉輪的質量，但并不改變轉輪的尺寸。

2.2 電磁剛度

水電機組在運行當中發生振動，會使得轉子偏離平衡位置，再加上制造時轉子本身就存在一定的偏心。這樣當轉子與定子均通有電流時，由于偏心會使得兩者互相吸引，而且這種引力會隨著二者距離的減小而提高，其方向恰好與偏心的方向一致。這種力的變化規律類似于彈簧力的變化規律，只是這種力對主軸提供的剛度為負值，一般稱其為電磁剛度。本文對電磁剛度的附加方式為在轉子的中心增加一個剛度為負值的“彈簧”。值得注意的是，只有在系統運行狀態下才會出現電磁剛度，所以電磁剛度的存在必須以上面提到的附加水質量的存在為前提。

2.3 陀螺效應

陀螺效應就是旋轉的物體保持其原有旋轉方向（旋轉軸的方向）的慣性，其大小與旋轉體的極轉動慣量和轉動角速度有關，這相當于給主軸系統添加了一個隱形的彈簧，有提高系統固有頻率的作用。

3 主軸固有頻率計算

3.1 有限元法

有限元法是求解力學問題的一種很有效的數值計算方法，它把連續體看成是若干個離散單元的集合體，這些單元每一個都是既有彈性特征又有質量特征的連續體［2］。相鄰單元之間由共用節點連接，此方法就是通過限制相鄰單元在共用節點處位移相同這一條件，約束總體的運動狀態。通過運用插值法建立位移方程，有限元法將連續體的振動問題變成了有限自由度的振動問題，從而使問題可以借助于線性方程組求解。具體來講，忽略阻尼系統橫向自由振動的特征方程為

其中，M為整體質量矩陣，K為整體剛度矩陣，J為整體極轉動慣量矩陣，ω為試算頻率。通過將步長固定的試算值逐一代入，符合特征方程的試算頻率即為軸系的固有頻率。

根據有限元方法算得主軸系統前8階頻率為（單位Hz）：

由以上數據可看出，第8階頻率已達到214.365 8Hz，由于主軸的振動主要是由轉動引起的低頻振動，因此不再計算更高階頻率。

3.2 傳遞矩陣法

傳遞矩陣法認為軸系是由無厚度、剛性的集中質量圓盤和無質量的彈性桿依次間隔組成。其方法是將轉軸的截面的狀態向量記作｛A｝＝［yθMQ］T，4個元素分別表示位移、轉角、彎矩、剪力。這個狀態向量由軸系的一端逐一截面傳遞，在彈性桿的兩端彎矩和剪力不發生變化，在圓盤兩側位移和轉角不發生改變。綜合考慮軸系兩端狀態向量的實際情況即可求出軸系的頻率。其優點在于矩陣的維數不隨系統自由度的增加而增大，各階固有頻率的計算方法完全相同，而且程序簡單，所需貯存單元少。

應用傳遞矩陣法算得的軸系前8階頻率為（單位Hz）：

與有限元法算得的頻率對比可發現，兩種算法的前6階頻率基本相同，可以認為算得的頻率值是可靠的。后續頻率二者也出現了一定的差別，這是由于二者簡化模型的方式不同引起的。特別是傳遞矩陣法，其結果是通過多步的結果傳遞得出的，容易出現累計誤差，影響結果的準確性。兩種算法出現分歧的部分為高階頻率，系統正常運行時不可能達到如此高的頻率（系統的飛逸轉速不過2.5Hz），所以認為高階頻率誤差在本次研究中可不做考慮。為保證結果可相互比較，如無特殊說明后文中均采用有限元方法進行計算。

4 軸系振型圖

經計算可得軸系前5階振型圖如圖3至圖7所示，假定主軸上端位移為1。圖3稱為0階振型是指其振型與平衡位置沒有交點，系統整體向一側偏移。由于主軸剛度很大，再加上機組轉速較低（75r／min），高階振型不易被激發，因此圖4至圖7這4階低階振型就顯得更加重要，這在3個導軸承位置設計時要充分考慮。

5 多因素影響變化

5.1 附加水質量影響

水電機組運轉時水的附加質量一般認為不超過轉輪的最大容水質量的50%［3］。經計算可知，三峽機組水輪部分最大容水質量為m＝6.02×104kg，即在水電機組運轉時水的附加質量不超過3.01×104kg，這部分質量約為水輪機轉輪質量的1／15。將水的附加質量分為5個等級，其對系統振動頻率的影響結果數據如表1。

由表1可以看出：隨著水的附加質量增加主軸系統的各頻率均逐漸下降，隨著頻率階數的提高這種影響作用不斷減小，直至對第8階頻率不構成影響。而且即使附加水質量達到了最大容水質量的50%，其對第1階頻率的影響也只有2%左右，可見對于三峽主軸系統附加水質量單獨作用的影響并不十分明顯。

表1 附加水質量與固有頻率關系

5.2 電磁剛度影響

根據計算，三峽機組的電磁剛度K＝0.5×109N／m，而且當考慮電磁剛度時一定要考慮附加的水質量［4］。據此，以附加水質量為最大水容量的50%為前提，設計5個等級，研究電磁剛度對主軸系統各階頻率的影響。數據如表2。

表2 電磁剛度與固有頻率

從所得結果可以看出：電磁剛度的改變主要影響了主軸系統的前3階振動頻率，對后續各階頻率幾乎不產生影響，總體上是隨著頻率階數的提高影響作用不斷減小，這一點與附加水質量的作用現象類似。當電磁剛度達到0.5×109N／m時前3階頻率分別下降了約6%，8%和1%。這表明電磁剛度單獨作用時對三峽主軸系統的固有頻率影響相對明顯。

5.3 陀螺效應影響

表3中第1組數據為運用有限元法不考慮陀螺效應時系統的各階頻率，第2組數據為運用有限元法考慮陀螺效應時系統的各階頻率，第3組數據是運用傳遞矩陣法不考慮陀螺效應時系統的各階頻率，第4組數據是運用傳遞矩陣法考慮陀螺效應時系統的各階頻率。觀察數據可以發現，陀螺效應使得第1階頻率提高約25%，第2階頻率提高了4%。這表明陀螺效應是影響三峽機組主軸系統頻率的一個重要因素，必須予以考慮。

表3 陀螺效應與固有頻率的關系

6 結論

本文分別運用有限元法和傳遞矩陣法計算了三峽水電機組主軸系統的固有頻率，繪制了其前4階振型圖，探究了附加水質量、電磁剛度和陀螺效應對固有頻率的影響。發現隨著水的附加質量增加主軸系統的各頻率均逐漸下降，但隨著頻率階數的提高這種影響作用不斷減小。電磁剛度的改變主要影響了主軸系統的前3階振動頻率，對后面各階頻率影響很小?？紤]陀螺效應會明顯提高主軸系統的固有頻率。

［1］王國秉.關于俄羅斯薩揚·舒申斯克水電站事故的思考［J］.山西水利科技，2010（2）：1－5.

［2］鐘一諤，何衍宗，王正，等.轉子動力學［M］.北京：清華大學出版社，1987.

［3］田鋒社.提高水輪機穩定性的幾點措施［J］.中國農村水利水電，2005（7）：83－87.

［4］馬弘達.水電機組主軸系統穩定性分析［D］.唐山：河北聯合大學，2012.