關于探索與證明特殊四邊形定理的教學思考

陳雪芬

摘 要：學習定理是需要進行探索、證明與運用的。研究了在同一節(jié)課處理好三者關系、探索與證明在數(shù)學原理教學課中的作用和提高學習特殊四邊形定理效果的教學方法。

關鍵詞：探索證明；數(shù)學；特殊四邊形

新人教版八年級下冊數(shù)學四邊形單元，在初中學習中有著非常重要的地位。這個單元，定理教學是重點。《全日制義務教育數(shù)學課程標準實驗稿解讀》明確規(guī)定，要對特殊四邊形的定理進行探索并證明。《廣州市義務教育階段學科學業(yè)質(zhì)量評價標準數(shù)學》中也提出了評價標準，對特殊四邊形定理的知識與技能要求是掌握，過程與方法的要求是要經(jīng)歷觀察、實驗（度量）、探究、證明的過程。所謂掌握，就是“在理解的基礎上，能直接把原理運用于新的情境”。在教學實踐中，存在著一些誤區(qū)，如：重證明輕探究，重運用輕證明，或長篇累牘的探究與證明，獨缺運用或輕運用。在40分鐘內(nèi)，處理好探索、證明與運用定理之間的關系是非常重要的。合理安排探索定理、證明定理和運用定理的教學環(huán)節(jié)有利于提高課堂效率。研究探索與證明在數(shù)學原理教學課中的作用、探索與證明教學需注意的問題，有著現(xiàn)實意義。

一、探索、證明在數(shù)學原理教學課中的作用

探究與證明定理的過程可以讓學生弄清楚知識的來龍去脈，這對學生學習嚴密的定理體系是很有幫助的，是必不可少的，但

時間也不宜占據(jù)整節(jié)課。因為學生不是科學家，不是專門搞研究的，學生是要掌握知識的，要掌握知識就必須把定理運用在新的情境中。數(shù)學原理學習的水平可以分成了解、理解、掌握和綜合運用四種。對應定理的學習、了解：能說出定理的內(nèi)容；理解：明白定理的內(nèi)在含義；掌握：能把定理用在新的情境中；綜合運用：能綜合運用定理解決問題。所以探究、證明、運用三者必不可少。

二、探索過程及證明過程一般的處理方法

探索環(huán)節(jié)必不可少，但不是最重要的，探索環(huán)節(jié)的時間把握要合理。由于幾何定理的探索一般都是有難度的，所以教學設計要精心設計，一要吸引學生，讓學生感覺有趣味，二要讓學生容易探索，保證在預定時間完成探索過程，以免后面的學習內(nèi)容完成不了。三是探究的問題量不要多。探索常用的方法有折疊法、畫圖法（尺規(guī)作圖）、逆命題引入法、度量法、觀察猜想法等。

探索出結論后，我們需要進行嚴密的推理論證。對于命題的證明教學，要重點著力于證明的分析過程，規(guī)范書寫則要逐步要求，不斷修正。除了書寫，口述推理過程也是一種證明方式。

三、在教學實施過程中要注意的問題

1.要注意引導學生在合理時間內(nèi)完成探索及證明過程

一般來說，連續(xù)講課的時間不宜過長。有數(shù)據(jù)表明，初中生的講述時間以10～20分鐘為宜。講述時間過長，容易誘發(fā)學生的不良行為。所以在進行教學實施時，要注意引導學生在合理時間內(nèi)完成探索及證明過程。要做到這點一是要合理分配每節(jié)課探究、證明與運用這三個環(huán)節(jié)的時間，二是課時內(nèi)容要符合學生實際情況。如：探索平行四邊形性質(zhì)，教材安排了兩個課時，第一課時是探究平行四邊形的邊和角的性質(zhì)，第二課時是探究平行四邊形角平分線的性質(zhì)，這樣的安排比較合理。

如果三個性質(zhì)定理都安排在同一節(jié)課進行探究的話，會難以兼顧探究、證明與運用三個環(huán)節(jié)，這時候會產(chǎn)生兩種可能：一是沒有運用環(huán)節(jié)或運用環(huán)節(jié)過短，探索與證明的環(huán)節(jié)過長整節(jié)課都在探索定理，課堂稍顯單調(diào)乏味，學生看不到學習的目的，難以調(diào)動學習積極性；二是有足夠時間運用知識，但探究的深度可能會不足。這兩種可能都是不利于學生掌握知識的。

2.根據(jù)內(nèi)容選擇適合的探索方法

選擇適合的探索方法，可以精簡教學環(huán)節(jié)，為后續(xù)的教學環(huán)節(jié)提供時間的保證。

（1）性質(zhì)定理探索過程的教學

采用適當?shù)姆椒ㄟM行探究，如采用觀察猜想法或度量法，折

疊法等。

用觀察猜想法或度量法。①探究平行四邊形邊和角的性質(zhì)，問1：根據(jù)平行四邊形的定義，平行四邊形的對邊有何位置關系？觀察圖形，平行四邊形的邊和角有什么數(shù)量關系？問2：你能證明嗎？②探究平行四邊形對角線的性質(zhì)，用度量法。讓學生拿出課前做好的平行四邊形，畫出兩條對角線。問：兩條對角線有什么關系？③探究矩形的性質(zhì)，用幾何畫板展示由平行四邊形變?yōu)榫匦蔚倪^程，提出猜想。問：與平行四邊形相比，矩形邊、角、對角線有什么特殊性質(zhì)？

用折疊法。在探究菱形、正方形、梯形的性質(zhì)時均可用。如：探究梯形性質(zhì)，可讓學生拿出課前做好的等腰梯形。問：等腰梯形是軸對稱圖形嗎？對稱軸在哪里？你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的線段？有哪些相等的角？

（2）判定定理探索過程的教學

可用逆命題引入法、等價命題法等進行探究。

用逆命題引入法，①探究平行四邊形的判定定理，問：我們知道：平行四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分，反過來，對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？對角相等的四邊形是平行四邊形嗎？對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？②探究梯形判定定理，問：前面所學的特殊四邊形的判定方法很多都是性質(zhì)定理的逆命題。你能說出“等腰梯形同一底邊上的兩個角相等”的逆命題嗎？這個逆命題正確嗎？

用等價命題法探究菱形的判定定理，先猜想等價命題，再用畫圖法（尺規(guī)作圖）驗證。問1：把“有一組鄰邊相等”的條件換掉，你有什么方法把一個平行四邊形變成菱形？問2：把“平行四邊形”的條件也換掉，那具備什么樣條件的四邊形會是菱形？畫一個菱形，驗證你的猜想。

（3）定理的證明過程要突出思想方法，關注學生思維的參與度

重定理證明的分析過程，緩書寫的規(guī)范要求。規(guī)范地書寫證明過程，是一個教學難點，是逐步完善的，不是一蹴而就的。這樣說，不是不要求規(guī)范書寫，而是不要把教學的重點放到這部分。不需要每個證明方法或每個定理的證明都書寫完整。

“數(shù)學是思維的體操”，定理證明的教學要注重學生思維的深度參與。①進行推理時，培養(yǎng)思維的嚴謹性。②一題多法，培養(yǎng)思維的多樣性和靈活性。“還有別的證明方法嗎？”讓學生口述不同的證明方法，在交流中碰撞出思想的火花，不會的學生在聽別人的方法的時候，能學到一些適合的方法，一法不會，可學他法。如：平行四邊形對角相等的性質(zhì)定理證明，常見方法有3種，可用全等三角形的知識來證明或用平行線的相關定理來證明。③分析思路，培養(yǎng)思維的連貫性。“由這個條件你能得出什么？”由一個知識點聯(lián)想到另一個知識點。④滲透轉化等數(shù)學思想方法。如：定理平行四邊形對邊相等的證明分析，“我們學過的哪些方法可以證明線段相等？”（證三角形全等或證三角形為等腰三角形）“怎樣把平行四邊形變成三角形？如何作輔助線？”，又如，證明定理等腰梯形同一底邊上的兩個角相等，“我們學過有哪些方法可以證明角相等？”“怎樣把梯形變成平行四邊形和三角形？如何作輔助線？”這樣滲透轉化的思想，將未知轉化成已知，將新的內(nèi)容轉化成熟悉的知識。引導學生把平行四邊形問題轉化成三角形問題，梯形的問題轉化成平行四邊形和三角形的問題來解決。

探索和證明是很重要的數(shù)學學習能力。教師只有根據(jù)學生和教材特點設計適合的探索和證明環(huán)節(jié)，并注意學生思維的深度參與，必能大大提高學生探索和證明命題的能力。

參考文獻：

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[3]周軍著.教學策略[M].北京：教育科學出版社，2003-12.

（作者單位 廣東省廣州市越秀區(qū)礦泉中學）