淺談數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用

姜冬俠

摘 要：在新課標(biāo)高考物理考試大綱中，要求考查學(xué)生五個(gè)方面的能力，即理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ΑｊP(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力，在多年的高中物理教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，總結(jié)了幾種數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用，并且舉例談了多種常見(jiàn)數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：物理問(wèn)題；數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)圖象；三角函數(shù)

新課標(biāo)物理高考考試大綱對(duì)能力的考查有五項(xiàng)，即理解能

力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α奈锢砀呖即缶V中可以看出，要求考查學(xué)生多方面的能力，其中一項(xiàng)就是應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)經(jīng)歷，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用，筆者借此進(jìn)行詳談：

一、利用拋物線(xiàn)知識(shí)求解直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題

例1.汽車(chē)前面7 m處有一騎自行車(chē)的人以5 m/s的速度行

駛，汽車(chē)速度為10 m/s，此時(shí)此地，發(fā)現(xiàn)交叉路口的紅燈亮了，汽車(chē)和自行車(chē)分別以4 m/s和2 m/s的加速同時(shí)減速，問(wèn)：①汽車(chē)能否撞著自行車(chē)？②若撞著，在什么地方？若撞不著，相距的最短距離是多少？

解析：①用s1表示汽車(chē)t時(shí)間內(nèi)的位移，用s2表示自行車(chē)t

時(shí)間內(nèi)的位移，用d表示兩者之間的距離。先寫(xiě)出汽車(chē)和自行車(chē)各自的位移公式，再寫(xiě)出距離的表達(dá)式，即：s1=10t-2t2，s2=5t-t2，所以d=s2+7-s1=t2-5t+7，由此方程d=t2-5t+7可以得知它的判別式

Δ=b2-4ac=（-5）2-4×1×7=-3<0，說(shuō)明t無(wú)解，表示的物理意義是兩者追不上。

②方程d=t2-5t+7表示拋物線(xiàn)方程，又因?yàn)榉匠蘢=t2-5t+7中

的t2的系數(shù)是正值，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，而且開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)有一個(gè)處于最低位置的頂點(diǎn)，再利用拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式

（-■，■），就可以求出距離的最小值d=■=0.75 m，同時(shí)還可以求出距離最短時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間t=-■=2.5 s。如果拋物線(xiàn)方程的開(kāi)口向下，則表示物體間會(huì)出現(xiàn)距離的最大值，當(dāng)然利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式也就可以求出在什么時(shí)候兩者之間距離最遠(yuǎn)。

二、利用數(shù)學(xué)不等式a+b≥2■（a>0，b>0），求解物理中的極值問(wèn)題，存在兩種情況

1.由公式a+b≥2■可知，在兩數(shù)乘積為定值的情況下，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值。

例2.如圖1所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，R為串聯(lián)在電路中的滑動(dòng)變阻器的電阻，當(dāng)滑片移動(dòng)時(shí)，什么時(shí)候電源的輸出功率最大？

解析：電源的輸出功率即外電路上所消耗的功率，計(jì)算式為P=I2R=（■）2R=■=■，根據(jù)此式可知，R和■兩數(shù)乘積為定值r2，所以，當(dāng)R=■即R=r時(shí)，R+■有最小值，分母有最小值，故電源的輸出功率有最大值，而且最大值等于Pm=■。換句話(huà)說(shuō)，當(dāng)外電路的電阻等于電源內(nèi)阻時(shí)，電源的輸出功率最大。

2.由不等式a+b≥2■（a>0，b>0）變形可得到，ab≤（■）2，

那么，在兩數(shù)和為定值的情況下，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積有最大值。

例3.把一電量Q分為q和Q-q的兩部分，使它們相距一定距離，若想使它們之間有最大的斥力，則Q和q的關(guān)系如何？

解析：由庫(kù)侖定律公式F=k■可知，兩電荷之間的庫(kù)侖力與它們電量的乘積成正比，要想F有最大值，也就是讓q（Q-q）有最大值；又因q與（Q-q）兩數(shù)和為定值Q，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，即q（Q-q）或q=■時(shí)，q（Q-q）乘積有最大值，F(xiàn)有最大值。所以說(shuō)，當(dāng)它們之間有最大斥力時(shí)，Q和q的關(guān)系為q=■。

三、利用數(shù)學(xué)相似三角形知識(shí)求解物理習(xí)題

例4.如圖2所示，光滑半圓柱面，其中心軸線(xiàn)過(guò)O點(diǎn)與地面平行，在O點(diǎn)的正上方有一個(gè)不計(jì)摩擦的小定滑輪Q，跨過(guò)Q的一條輕繩，一端連在小球P上，當(dāng)另一端在F作用下使小球沿柱面緩慢上升時(shí)，設(shè)繩中拉力大小為T(mén)，小球重力為G，小球受柱面支持力大小為N，同時(shí)圓柱的半徑為R，滑輪到圓柱頂部的距離為h，Q與P之間的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，求①拉力T和支持力N；②在上升過(guò)程中，拉力T和支持力N怎樣變化？

解析：①圖2中兩個(gè)三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比例相等，可以得出■=■=■，所以N=■R，T=■L；

②當(dāng)小球上升時(shí)，繩長(zhǎng)變短即L變小，所以拉力T變小，而支持力N不變。

四、數(shù)學(xué)圖象在物理中的廣泛應(yīng)用

1.運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度-時(shí)間圖象（即v-t圖象），圖象與橫軸所包圍的面積可以代替物體的位移。

例5.一輛汽車(chē)從靜止開(kāi)始由甲地出發(fā)，沿平直公路開(kāi)往乙

地，汽車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)，接著做勻減速運(yùn)動(dòng)，開(kāi)到乙地剛好停止。其速度圖象如圖3所示，那么0～t0和t0～3t0兩段時(shí)間內(nèi)位移的比值是多少？

解析：根據(jù)面積代表位移的原理，由圖3可以算出兩個(gè)三角形的面積之比為1∶2，所以?xún)啥螘r(shí)間內(nèi)位移的比值也是1∶2。

②勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖象是一條直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率則表示物體的加速度。通過(guò)斜率的大小可以判斷物體加速度的大小關(guān)系。

③解析：根據(jù)v-t圖象的斜率表示物體加速度的原理，可以得到圖3中的a1>a2。

五、數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)在物理解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)在矢量的合成與分解中廣泛應(yīng)用，尤其是在力的合成與分解中應(yīng)用廣泛。

例6.如圖4所示，傾角為θ的斜面上靜止了一個(gè)質(zhì)量為m的物體，求斜面對(duì)物體的支持力FN和摩擦力Ff各是多少。

解析：把重力進(jìn)行正交分解，如圖4所示，在直角三角形中，利用三角函數(shù)知識(shí)可以得到，重力的兩個(gè)分力大小分別為G1=mgsinθ，G2=mgcosθ再根據(jù)平衡條件可以得到支持力FN=mgcosθ，而摩擦力Ff=mgsinθ。

以上是幾種數(shù)學(xué)知識(shí)在物理解題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，當(dāng)然還會(huì)有更多的數(shù)學(xué)方法廣泛地應(yīng)用在物理解題中。在物理解題中，巧妙地選用解題方法，往往會(huì)收到事半功倍的效果，而且用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)收到這種事半功倍的效果。所以，在物理教學(xué)中，教師應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的這種用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。

（作者單位 天津市濱海新區(qū)大港油田第三中學(xué)）