用八進制解課本的一道數列題

陳保軍

人教版必修5第34頁有一道數列題：下圖中的三個正方形

塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前3項，請寫出這個數列的前5項及其通項公式。

通過觀察圖像特點

■

相鄰的兩項有如下的關系：an=8an-1+1（n≥2）（1）

求該數列的通項公式時，我們習慣用構造數列的方法來解。設an+x是公比為8的等比數列，則有an+x=8（an-1+x），整理得：an=8an-1+7x，與（1）式比較得x=■，新數列的首項為a1+x=■，構造數列的通項公式為an+■=■×8n-1，所以，an=■。

除了上述解法，我們來探索一種新的解法。通過（1）式的特點，我們是不是可以用八進制來表示該數列呢？首先讓我們來熟悉一下八進制及其簡單運算性質。

八進制縮寫OCT或O，是一種計數法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八個數碼，逢八進位。以下用（）8表示八進制數，沒有標識的為十進制數。例如：9在八進制中記為（11）8，8記為（10）8，（32）8=3×81+2×80=26，9×8=（11）8×（10）8=（110）8，（111）8×7=（777）8，（1000）8=1×83。

我們來用八進制來表示該數列的每一項，

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+1=（1）8×（10）8+1=（11）8，

a3=8×a2+1=（11）8×（10）8+1=（111）8，

（上式特點a3共三位，每一位都為1）

an=8×an-1+1=■8×（10）8+1=■8，

下來我們探討一下求解的方法，我們知道十進制中逢十進一，999+1=1000=103，類比十進制，■8+1=■8=8n，■8=

8n-1。

an=■8=■×■8=■，

接下來對（1）式稍作變動，進一步理解利用八進制解決類似的數列問題。

（2）式a1=1

an=8an-1+2

（3）式a1=2

an=8an-1+1

先用八進制表達（2）式數列

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+2=（1）8×（10）8+2=（12）8，

a3=8×a2+2=（12）8×（10）8+2=（122）8，

a4=8×a3+2=（122）8×（10）8+2=（1222）8，

（上式特點a4共四位，首位為1，2占3位）

an=8×an-1+2=■8×（10）8+2=■8=■8

再利用八進制求解，

an=■8=■8+■8=8n-1+■×（8n-1-1）=■

對（3）式的求解，請有興趣的讀者自己寫一寫，這里不再

贅述。

本題的遞歸思想在其他領域中又有何意義呢？

它提供我們一種近似求不規則物體體積的方法。想象一個立方體，我們最少可以切成多少個相同等分的小立方體呢？答案是8個。對于一個物體，我們總可以將它封裝在一個正方體中，先切成八個小立方體，不妨稱為子塊。子塊分三類，不含任何物體的子塊稱為“白塊”，子塊部分中含有物體的稱為“灰塊”，完全含有物體的子塊稱為“黑塊”。對于每次分割子塊，我們作如下處理：排除掉白塊，將黑塊體積累加，灰塊繼續切成8個的小立方體……，如此下去。利用計算機，按照這種思路，我們設定一個體積數，低于該體積值，就停止計算。這樣我們就能近似計算物體的體積了。同樣，按照這種思路，我們四等分正方形，就可以近似計算不規則圖形的面積了。同樣，在計算機領域內的八叉樹等數據結構，都與八進制有關，請有興趣的讀者自己研究。

（作者單位 河北省保定市鐵路第一中學）