用插值函數(shù)繪制離心泵葉片流線展開圖

胡家順 王 冕 楊 明 董 川 熊 勃

（武漢工程大學(xué)機電工程學(xué)院)

在葉輪的繪型中，當完成流線的分點后需將流線在方格網(wǎng)圖上展開。傳統(tǒng)的繪制方法是用彈性較好的軟尺，彎折其兩端使與流線的入、出口安裝角相等，按軟尺自然形成的曲線繪出。若按此繪出的展開流線前后角度不平緩時，需修改葉片入口邊在軸面投影圖上的位置，再繪制流線的展開圖，直到符合要求為止。可見該方法誤差大、效率低。

因此不少研究者對此提出了改進的方法，如文獻 [1] 給出的用樣條函數(shù)和文獻 [2] 給出的用貝賽爾曲線繪制流線展開圖的方法都十分方便有效，但均有數(shù)值計算量偏大之疵。

本文給出了一種用n次插值函數(shù)繪制離心泵葉片流線展開圖的方法。利用該方法繪制葉片流線展開圖，可通過選擇不同的插值節(jié)點，方便地控制或改變?nèi)~片流線展開圖形，以滿足不同的設(shè)計要求。

1 一元n點插值函數(shù)的構(gòu)成

當已知n個點時，可以通過全部n個點作一插值函數(shù)P（x），如式 （1）所示，可以用它求其任意節(jié)點間的函數(shù)插值。

一元n點插值函數(shù)，雖然在應(yīng)用時十分方便，但由于該插值函數(shù)為一高次方程，特別是當n值很大時（節(jié)點數(shù)很多時)，可能出現(xiàn)插值的不穩(wěn)定性。為避其弊端，現(xiàn)取n=4構(gòu)成插值函數(shù)，用以繪制葉片流線展開圖。插值函數(shù)的具體表達式如下式所示。

其一階導(dǎo)數(shù)為

2 插值函數(shù)節(jié)點的確定

2.1 節(jié)點0、1、3、4的確定

節(jié)點0(x0，y0)和節(jié)點4(x4，y4)可選在流線的進出口的兩個端點上 （見圖1），即

式中m——流線在入口邊處的分點序號；

φ——葉片包角；

Δφ——任意軸面間夾角。

為使流線兩端點處滿足

可將節(jié)點1(x1，y1)和節(jié)點3(x3，y3)分別選在流線進出口安裝夾角 β1和 β2的射線 l1和 l3上 （見圖1）。筆者經(jīng)大量算例表明，當取

時，流線能較好地滿足式 （4）、式 （5）所給出的條件，且各流線在距出口端約20°～30°時具有趨于重合的特性。x1、x3確定后，y1、y3可按下式計算:

2.2 節(jié)點2的確定

由式 （4）、式 （5）給出的流線兩個端點處的邊界條件，可分別解得

圖1 n=4插值函數(shù)節(jié)點確定的示意圖

其 中 A、 B、 C、 D、 E分 別 為 x=x0時 ， i=0， 1， 2， 3， 4 的

值； A′、 B′、C′、 D′、 E′分別為 x=x4時 ， i=0， 1，2， 3，4 的

值。y21應(yīng)等于y22，即

這是一個以x2為未知量的非線性方程，可用數(shù)值方法求解得x2后代回到式 （10）或式 （11），便可求得y2。由于用數(shù)值方法求解方程 （14）過于繁復(fù)，為簡化計算，在按式（6）～式（9）確定節(jié)點1、3后，可將節(jié)點2的x2值取為x0、x4的中點，即

而將y2取為

經(jīng)筆者大量算例表明，用上述簡化方法確定的節(jié)點所構(gòu)成的插值函數(shù)來繪制流線展開圖，均獲得較為滿意的結(jié)果。

3 計算實例

某電解液循環(huán)泵葉輪的繪型中，已知葉片流線進口處的分點值及進出口安裝角 （見表1），葉片包角及任意軸面間夾角為=110°、 Δφ=5°。

表1 葉片流線分點值及進出口安裝角

先確定繪制前蓋板流線a插值函數(shù)的節(jié)點。

節(jié)點0： 取x0=0，y0=9.34；

節(jié)點 4： 取 x4=φ/Δφ=110°/5°=22， y4=0；

節(jié)點1：按式 (6)取 x1=0.01，

節(jié)點3：按式 (7)取x3=0.95x4=21，

其中 A′、 B′、 C′、 D′、 E′由式 (13) 計算得到：

將上述數(shù)值及y0、y1、y3、y4值一并代入上式得

后蓋板流線b和中間流線c插值函數(shù)的節(jié)點確定方法同上。表2列出了各流線插值函數(shù)的節(jié)點以及由這些節(jié)點所構(gòu)成的插值函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個端點上的值。

表2 插值函數(shù)節(jié)點值

在確定了各流線的插值函數(shù)的節(jié)點后可按式(2)分別計算各不同x值時的P（x），得到一系列點（x，P（x）），連接這些點即得各流線的展開圖，其結(jié)果見圖2。

圖2 Q25H58電解液循環(huán)泵葉片流線展開圖之一

將表2中節(jié)點3的x3值取為21.5而其他條件均保持不變，據(jù)此繪出的各流線展開圖如圖3所示。 比較圖2、 圖3可見， 在90°～110°（即x=18～22）處有明顯的差異，圖2上各流線在此范圍的重合度較之圖3的要高，也更符合離心泵葉片流線在出口處的走向特性。

圖3 Q25H58電解液循環(huán)泵葉片流線展開圖之二

由此可見，用插值函數(shù)繪制葉片流線展開圖，通過選擇不同的插值節(jié)點，即能方便地控制或改變?nèi)~片流線展開圖形，以獲得滿意的結(jié)果。

[1] 陳世亮.葉片流線展開的計算方法 [J] .流體工程，1992 （2）： 44-45.

[2] 謝俊.貝賽爾曲線設(shè)計離心泵葉輪的葉片型線 [J] .排灌機械， 2000， 18 （4）： 1-3.