減速裝置的動力學(xué)建模及應(yīng)用研究

王蘭，楊承濤

（1.西安工程大學(xué)機電學(xué)院，陜西西安710048;2.西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710089）

0 引言

減速裝置是精密機械和工業(yè)機器人的重要部件之一，其動力學(xué)特性對產(chǎn)品的工作性能有一定的影響。為了保證減速裝置具有良好的動態(tài)特性對其進行動力學(xué)分析，研究在實際工作狀態(tài)下的受力變化、運動情況及動態(tài)特性，找出影響動態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為優(yōu)化減速裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計、提高減速裝置的動態(tài)特性提供了理論依據(jù)［1-3］。

1 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型的建立

分析圖1所示傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動力學(xué)模型。由于各種零件動力學(xué)作用的不同，將組成系統(tǒng)的各元件分為兩類，即慣性元件和彈性元件。

圖1 減速裝置機構(gòu)簡圖

首先將軸上的齒輪和其他質(zhì)量較大而直徑比較小的零件視為只有慣性而無彈性的慣性元件。計算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動慣量，再將各軸段圖1減速裝置機構(gòu)簡圖的轉(zhuǎn)動慣量迭加到軸的兩慣性元件上，把各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。最后把各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段，轉(zhuǎn)換到同一軸線上，構(gòu)成單一軸線的當量圓盤系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型。

1.1 慣性元件的等效轉(zhuǎn)動慣量

由于齒輪表面經(jīng)過滲碳淬火，彈性變形很小（嚙合處的彈性元件可以忽略），所以相互嚙合的齒輪可合并成一個慣量元件，轉(zhuǎn)換后按動能相等原則得到該等效元件的當量轉(zhuǎn)動慣量。根據(jù)總動能不變、總質(zhì)心位置不變的條件，將軸的轉(zhuǎn)動慣量進行等效分配。

設(shè)等效分配到慣性元件1上的轉(zhuǎn)動慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉(zhuǎn)動慣量為J02，經(jīng)推導(dǎo)得出軸的轉(zhuǎn)動慣量疊加到兩慣性元件后的慣性元件1，2的轉(zhuǎn)動慣量分別為

同樣的處理得到所有軸的轉(zhuǎn)動慣量，從而求得系統(tǒng)振動中各單元的轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 彈性元件扭轉(zhuǎn)剛度的確定

a）軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)理論軸的扭轉(zhuǎn)剛度公式求出各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度k1，k2，…，kn，再根據(jù)剛度串聯(lián)公式將各軸段的剛度串聯(lián)起來，從而求得整根軸的扭轉(zhuǎn)剛度k［5］。

b）軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度

彈性元件按轉(zhuǎn)換前后勢能相等的原則利用通用轉(zhuǎn)換公式進行轉(zhuǎn)換。假設(shè)該軸的彎曲應(yīng)變能為U1，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為U2，等效扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為Ue，即可得到曲柄軸段的等效扭轉(zhuǎn)剛度為:

式中:k—只考慮扭轉(zhuǎn)變形時軸段的扭轉(zhuǎn)剛度 （N·mm/rad）;

R—曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉(zhuǎn)半徑（mm）。

c）軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的確定

軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin和C.Lee等的分析，利用相關(guān)公式計算出扭轉(zhuǎn)阻尼。將各軸的剛度和阻尼轉(zhuǎn)換到輸入軸上后，根據(jù)減速裝置各元件的實際尺寸計算出各彈性元件的等效剛度和等效扭轉(zhuǎn)阻尼。

2 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)中慣性元件的數(shù)學(xué)模型

圖2 慣性元件的力學(xué)模型簡圖

根據(jù)力的平衡關(guān)系得τj和，設(shè)激振力矩 fj=Fj·eiω為一個簡諧函數(shù)，ω為激振頻率，F(xiàn)j為激振幅值，根據(jù)振動理論，其他參數(shù)也可以看成是與fj同頻率的復(fù)數(shù)表達式，φj為扭角幅值，Tj為扭矩幅值，推導(dǎo)可得:

2.2 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動數(shù)學(xué)模型的建立

圖1中所示的諧波傳動系統(tǒng)是由十四個二端元件組成，七個慣性元件和七個彈性元件，利用傳遞矩陣的原理，建立系統(tǒng)的扭振數(shù)學(xué)模型。

系統(tǒng)傳遞矩陣可簡寫成:

式（4）為一個累積矩陣的數(shù)學(xué)模型。用它可以對扭振系統(tǒng)進行計算、分析和評價，也可以進行系統(tǒng)的修改和優(yōu)化設(shè)計。

3 減速裝置扭振動力學(xué)分析及應(yīng)用研究

3.1 減速裝置的扭振動力學(xué)分析

利用前面建立起來的減速裝置系統(tǒng)的動力學(xué)模型對其進行扭振分析［6，8］。

本文采用數(shù)值法編制MATLAB程序?qū)ζ溥M行迭代求解，流程圖如圖3所示。另外，利用該程序還繪制出了減速裝置系統(tǒng)的振型曲線，如圖4所示。由振型曲線圖可以看出5－6之間振幅劇增，即此環(huán)節(jié)為最薄弱環(huán)節(jié)，其主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可，使其動態(tài)特性得到顯著改善。

圖3 固有頻率求解流程圖

3.2 減速裝置扭振動力學(xué)分析的應(yīng)用研究

在試驗中將軸頸適當增大2 mm后得到新的振型如圖5所示，5－6之間與圖4的5－6這間振幅明顯平緩。從而可使減速裝置的使用性能得到顯著改善。

1）通過適當增大軸的直徑或減小其長度可以提高其扭轉(zhuǎn)剛度;

2）減小了動載荷和噪聲;

3）優(yōu)化減速裝置的工作性能;

4）延長了減速裝置的使用壽命。

圖4 減速器振型曲線

圖5 調(diào)整后的振型曲線

4 結(jié)語

減速裝置是精密機械和工業(yè)機器人機械臂關(guān)節(jié)的重要部件，而關(guān)節(jié)是工業(yè)機器人機械臂的核心構(gòu)件，機械臂在探測器執(zhí)行任務(wù)中起著決定性的作用，機械臂的各個關(guān)節(jié)的減速裝置必須具有較輕的質(zhì)量，以減輕關(guān)節(jié)驅(qū)動電動機的負載，具有較大的傳動比以提高機器人機械臂和機械手的控制品質(zhì)［4，7］。因此，小體積、大傳動比、高轉(zhuǎn)矩、高效率減速器的研制開發(fā)已成為減速裝置產(chǎn)品研究的新課題。本文利用所建立的動力學(xué)模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動，得到了該系統(tǒng)的固有頻率和各階振型等動態(tài)特性參數(shù)。通過分析試驗改進后的減速裝置具有良好的動態(tài)特性，非常適合用于機器人機械臂的傳動及其他精密機械的傳動裝置，具有一定的推廣應(yīng)用價值。

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