銅套利比值追蹤——滬倫頭寸配比的數學推導

文 / 張 傲

綜述

不同的頭寸配比下，比價或者價格波動將會給持倉損益帶來不同的影響。在交易層面上，滬倫正向跨市對沖操作存在多種雙邊數量配比方法，實際操作者得到的經驗包括：倘若按照1:1數量配比，則相當于多配置了SHFE市場空頭；倘若按照0.85:1的數量配比，則相當于考慮進了增值稅因素。

本文通過數學公式推導，以及數據演算的方式得到如下3個主要論斷：

（1）跨市對沖頭寸建立后影響總損益的變量除了比價，還可能包括比價變動或者不變時的價格波動，這取決于滬倫兩地頭寸的數量配比；

（2）當按照1:1配比時，價格下跌是正向跨市對沖最有利的價格環境；而按照（匯率/開倉比價）進行配比時，比價下跌伴隨價格上漲才是最有利的價格環境；

（3）在實際操作中，0.85:1的數量配比是對（匯率/開倉比價）配比的近似估計。

此外，上述結論都建立在持倉期間人民幣匯率不變的基礎之上，但這可能與未來匯率市場化的格局不相吻合。

頭寸配比有學問

跨市對沖交易可以將獲利方式和風險來源由垂直價格波動轉化為兩地相對價格波動，換句話說，我們可能想達到的，是兩地相對價格固定時的價格波動將不應該給跨市對沖交易帶來任何損益。

一手SHFE銅的交易單位是5噸，一手LME銅的交易單位是25噸，如果按照1:1數量配比做一套SHORT SHFE- LONG LME，則需要5手SHFE空頭，1手LME多頭。實際操作者得到的經驗告訴我們：倘若按照1:1數量配比，則相當于多配置了SHFE市場空頭；倘若按照0.85:1的數量配比，則相當于考慮進了增值稅因素。

本文將通過數學公式推導，以及數據演算的方式來將滬倫市場不同數量配比下的正向跨市對沖交易頭寸在多種情形下的損益進行分類、全文做出的假設，以及使用的符號含義如右所示：

內外盤賬戶的總損益為：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE③

（△LME與△SHFE自身不帶符號）

No1: 1:1數量配比并且保持比價不變

由于B=B'，則根據等比定理可得：

1:1數量配比意味著QSHFE=QLME，因此內外盤賬戶總損益③可以簡化為：

將④帶入⑤可得：

或 =Q×△SHFE×

LME

結論

（1）由于實貨進口報關需要繳納17%的增值稅，故滬倫比價B大于匯率E是正常情況，即(E-B)<0 ；

（2）正向跨市對沖頭寸按照1:1建倉后盡管保持比價不變，但價格上漲(△LME>或△SHFE>0)時仍將導致頭寸虧損、價格下跌(△LME<或△SHFE<0)時將導致頭寸盈利。

計算實例1：1:1建倉后盡管保值比價不變，但價格上漲仍將導致頭寸虧損、價格下跌將導致頭寸盈利

建倉價格SHFE=50978元/噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

計算結果顯示：若按1:1比例建倉：當SHFE價格上漲1000元/噸抑或LME價格上漲137.31美元/噸后，整體頭寸虧損148.65元 /噸；當SHFE價格下跌1000元/噸抑或LME價格下跌137.31美元/噸后，整體頭寸盈利148.65元 /噸。

No2: 1:1數量配比并且比價下跌

B>B'，并將①②代入③可得：

或

結論

（1）⑦的正負取決于△LME(E-B')+SHFE(1-

（3）(E-B')<0；

（4）當價格下跌時(△LME<0或△SHFE<0)，⑦大于 0恒成立；當價格上漲時(△LME>0或△SHFE>0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0；

（5）可歸納為：當比價與價格同時下跌時，正向跨市對沖頭寸必然盈利；而當比價下跌、價格上漲時，正向跨市頭寸是否盈利將取決于價格上漲幅度。

計算實例2：1:1建倉并且比價下跌，如果價格同時下跌則必然盈利，但價格上漲則最終未必盈利。

建倉價格SHFE=50978元 /噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化比值B'=7.254。

計算結果顯示：若按1:1比例建倉：當SHFE價格下跌100元/噸以及2000元/噸時（對應LME價格上漲13.79美元 /噸、下跌248.14美元 /噸），總頭寸盈虧分別上漲185.47元/噸以及上漲461.54元 /噸；但是當SHFE價格上漲1000元/噸以及2000元/噸時（對應LME價格上漲165.43美元/噸、303.28美元/噸），總頭寸盈虧分別為上漲25.64元 /噸和下跌119.66元 /噸，并未體現出都為盈利的情形。

No3: 1:1數量配比并且比價上漲

B

或=Q[△SHFE(

LME-1)+SHFE(1-

)]

結論

（1）⑧的正負取決于△LME(E-B')+SHFE(1-

)；

)<0恒成立；

（3）(E-B')<0；

（4）當價格上漲時(△LME>0或△SHFE>0)，⑧小于 0恒成立；當價格下跌時(△LME<0或△SHFE<0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0；

（5）可歸納為：當比價與價格同時上漲時，正向跨市對沖頭寸必然虧損；而當比價上漲、價格下跌時，正向跨市頭寸是否盈利將取決于價格下跌幅度。

計算實例3：1:1建倉并且比價上漲，如果價格同時上漲則必然虧損，但價格下跌則最終未必虧損。

建倉價格SHFE=50668元/噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化比值B'=7.254。

計算結果顯示：若按1:1比例建倉：SHFE價格下跌100元/噸，以及2000元/噸時（對應LME價格下跌28.95美元 /噸、下跌153.02美元 /噸），總頭寸盈虧分別虧損79.49元/噸，以及盈利51.28元/噸，并未體現出都為虧損的情形；但是當SHFE價格上漲1000元/噸，以及2000元/噸時（對應LME價格上漲122.69美元/噸、260.55美元 /噸），總頭寸盈虧都為虧損，數值分別為：下跌239.32元 /噸和下跌384.62元 /噸。

No4: 如何做到比價不變時，頭寸損益不受價格波動影響

在比價不變時，頭寸損益始終不受價格波動影響，這意味著在B=B'條件下，

③：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE需要恒成立。

結論

計算實例4：當SHFE與LME頭寸比例為E/B時，價格波動不會對跨市對沖頭寸損益帶來影響。

建倉價格SHFE=50978元/噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

計算結果顯示：若按E/B:1比例建倉并且保持比價不變：SHFE價格下跌1000元/噸時（對應LME價格下跌137.31美元/噸），總頭寸不發生任何損益；當SHFE價格上漲1000元 /噸時（對應LME價格上漲137.31美元/噸），總頭寸同樣不發生任何損益。

No5: 按E/B的比例開倉并且比價波動時

或 =Q×SHFE×

SHFE2

結論

（1）當B>B'，即比價下跌時跨市對沖頭寸盈利，并且價格上漲越多，盈利越多。

（2）當B>B'，即比價上漲時跨市對沖頭寸虧損，并且價格上漲越多，虧損越多。

計算實例5：當SHFE與LME頭寸比例為E/B時，后續比價下跌時頭寸盈利，并且價格上漲越多盈利越多。

建倉價格SHFE=50978元/噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化后比值B'=7.254；

計算結果顯示：若按E/B：1比例建倉：當SHFE價格下跌100元/噸，以及下跌1000元/噸時（對應LME價格上漲13.79美元 /噸、下跌110.28美元 /噸），總頭寸盈虧分別為盈利170.6元/噸以及盈利167.59元 /噸；當SHFE價格上漲1000元 /噸，以及1000元 /噸時（對應LME價格上漲41.36美元 /噸、165.43美元/噸），總頭寸盈虧分別為盈利171.28元/噸和174.29元/噸。可見，價格上漲時的盈利要高于價格下跌時的盈利，并且價格上漲越多，盈利越多。

數據測算表6：當SHFE與LME頭寸比例為E/B時，后續比價上漲時頭寸虧損，并且價格上漲越多，虧損越多。

建倉價格SHFE=50668元/噸；

建倉價格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

;

變化后比值B'=7.254；

計算結果顯示：若按E/B：1比例建倉：當SHFE價格下跌100元 /噸以及1000元 /噸時（對應LME價格下跌28.95美元 /噸、下跌153.02美元 /噸），總頭寸盈虧分別為虧損93.83元 /噸以及虧損92.16元 /噸；當SHFE價格上漲100元/噸以及1000元 /噸時（對應LME價格下跌1.38美元 /噸、上漲122.69美元/噸），總頭寸盈虧分別為虧損94.2元/噸和虧損95.87元 /噸。可見，價格上漲時的虧損要高于價格下跌時的虧損，并且價格上漲越多,虧損越多。

總結

在上述5個實例中，我們通過數學公式推導，以及數據演算得到了如下3個主要論斷：

（1）跨市對沖頭寸建立后影響總損益的變量除了比價，還可能包括比價變動或者不變時的價格波動，這取決于滬倫兩地頭寸的數量配比；

（2）當按照1:1配比時，價格下跌是正向跨市對沖最有利的價格環境；而按照（匯率/開倉比價）進行配比時，比價下跌伴隨價格上漲才是最有利的價格環境；

（3）實際操作中0.85:1的數量配比是對（匯率/開倉比價）配比的近似估計。

此外，上述結論都建立在持倉期間人民幣匯率不變的基礎之上，但這可能與未來匯率市場化的格局不相吻合。