宜用反證法的常見題型

夏文宏

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾結論.具體的講，反證法從否定命題的結論入手，并把對命題的結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到的結論與已知條件、定理、公理、法則或已經證明為正確的命題等矛盾，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得證明.下面介紹一下宜用反證法常見的題型.

點評：從正面出發難于下手解答的問題，可以考慮使用反證法.先否定結論，然后根據已知條件以及有關的定義、定理、公理等得出矛盾，從而肯定原來的結論是正確的.當命題的“結論反面”比“結論正面”更為明確具體時，我們均可考慮用反證法來解決.

題型二 含有“至多”、“至少”、“唯一”的命題

例2 已知三個關于x的方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數根，求實數a的取值范圍.

分析：本題總共有三個方程需要考慮，若逐一討論他們的實數根的情況，比較復雜，挖掘題目的隱含條件，發現“三個方程中至少有一個方程有實數根”的反面是“三個方程都沒有實數根”，為此我們考慮利用反證法來解決.

題型三 含有否定詞的命題

例3 已知三個正數x，y，z成等差數列，且x≠z，求證：x，y，z的倒數不可能成等差數列.

分析：根據題目的條件直接證明三個正數x，y，z的倒數不可能成等差數列比較困難，不妨從反面入手，先假定三個正數x，y，z的倒數成等差數列，然后結合已知條件通過推理得出矛盾.

分析：直接證明這個方程沒有整數根，不太容易用到題設中的整系數和兩個奇數的條件，且需要考慮的情況相當復雜，所以考慮利用反證法，只需否定方程有整數根的情況即可.

點評：當命題中含有“沒有”字眼時，可考慮用反證法來解決.

[安徽省廣德縣實驗中學 （242200）]