微分進(jìn)化算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)的性能

方大俊，崔國民，萬義群，許海珠

（上海理工大學(xué)新能源研究所，上海 200093）

換熱網(wǎng)絡(luò)是化工過程中一個(gè)重要的子系統(tǒng)，換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的節(jié)能效果也一直是該行業(yè)重要的研究熱點(diǎn)。雖然各國學(xué)者已經(jīng)過數(shù)十年深入研究，然而，換熱網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)化仍然是過程系統(tǒng)優(yōu)化的疑難問題。一是由于換熱網(wǎng)絡(luò)本身模型是屬于一種混合整數(shù)非線性問題（MINLP）[1]，具有嚴(yán)重的非凸、非線性等特性，導(dǎo)致在整個(gè)可行解領(lǐng)域內(nèi)局部最優(yōu)解星羅棋布。二是優(yōu)化理論與優(yōu)化方法還不完善。現(xiàn)有的針對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)問題的優(yōu)化方法主要分為數(shù)學(xué)規(guī)劃法[2-4]與啟發(fā)式方法[5-6]。數(shù)學(xué)規(guī)劃法在用于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化時(shí)，隨著換熱網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，局部最優(yōu)解的組合呈現(xiàn)著指數(shù)形式的增長，數(shù)學(xué)規(guī)劃法很容易陷入質(zhì)量不好的局部最優(yōu)解當(dāng)中。其次，數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)時(shí)，跟初始點(diǎn)的關(guān)系十分密切。即使同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在初始點(diǎn)不同時(shí)，不但優(yōu)化得到的局部最優(yōu)解不同[7]，而且很難得到該結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)解。

啟發(fā)式方法是一種全局優(yōu)化方法，能夠跳出局部最優(yōu)解，具有很強(qiáng)的全局搜索能力，近年來，來越多的研究者研究與應(yīng)用。微分進(jìn)化算法[8-9]是啟發(fā)式算法的一種，是Storn和Price在1995年首次提出應(yīng)用。微分進(jìn)化算法搜索引擎極其簡單，但十分有效。尤其是針對(duì)連續(xù)性變量，已被證明是一種有效的全局優(yōu)化方法。

本文作者首先針對(duì)一給定結(jié)構(gòu)，通過改變換熱器面積證明了換熱網(wǎng)絡(luò)在在著嚴(yán)重的非線性特性及局部最優(yōu)解眾多的特點(diǎn)；其次通過實(shí)例，給定不同的初始點(diǎn)下，分別用牛頓法和微分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果證明傳統(tǒng)的牛頓法在不同的初始點(diǎn)下優(yōu)化得到不同的局部最優(yōu)解，而本研究所采用的微分進(jìn)化算法在優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題時(shí)，不但不受初始點(diǎn)的影響，而且優(yōu)化精度得到進(jìn)一步的提高，該算法在求解換熱網(wǎng)絡(luò)問題時(shí)收斂穩(wěn)定，具有很好的魯棒性及全局搜索能力。

1 換熱網(wǎng)絡(luò)模型

假設(shè)有Nc股冷流體需要加熱，Nh股熱流體需要冷卻而達(dá)到各自的目標(biāo)溫度。換熱網(wǎng)絡(luò)為達(dá)到節(jié)能并且減少費(fèi)用投資的情況下，在冷、熱物流之間加換熱器的能量回收網(wǎng)絡(luò)。已知物流參數(shù)包括物流入口溫度、熱容流率入各換熱器的換熱系數(shù)。同時(shí)，有一組固定的冷公用工程與一組熱公用工程，用來冷卻與加熱未達(dá)到目標(biāo)溫度的流體，公用工程的換熱系數(shù)與進(jìn)出口溫度已知。以二股熱流體，三股冷流體Grossmann分級(jí)超結(jié)構(gòu)[10]為例，其結(jié)構(gòu)表達(dá)方式如圖1所示，級(jí)數(shù)Sk=max(Nc，Nh)。

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化以綜合費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，包括年操作費(fèi)用與投資費(fèi)用。操作費(fèi)用主要與公用工程消耗量有關(guān)，而投資費(fèi)用主要與換熱面積及換熱設(shè)備臺(tái)數(shù)有關(guān)。在不考慮固定投資的情況下，目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)形式如式（1）。

式中，z代表換熱器存在與否的邏輯變量；C1、C2分別為換熱器面積費(fèi)用系數(shù)與公用工程的費(fèi)用系數(shù)；A表示換熱器面積；Q為公用工程的換熱量；N為流體數(shù)目；Sk為級(jí)數(shù)；b為面積費(fèi)用指數(shù)；c、h代表冷、熱流體；u代表公用工程；k代表第k級(jí)；i、j分別代表位于第i與第j股流體。例如式(zC2Q)cu2中，z、C2、Q分別表示位于第2股熱流體上換熱器邏輯變量、冷公用工程費(fèi)用系數(shù)、冷公用工程換熱量。

2 換熱網(wǎng)絡(luò)的非線性特性分析

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化屬于 MINLP問題，其嚴(yán)重的非線性不僅與對(duì)數(shù)平均溫差、換熱系數(shù)及非線性函數(shù)有關(guān)，而且跟目標(biāo)函數(shù)中的換熱器面積的非線性形式有很大的關(guān)系。即使在固定的結(jié)構(gòu)下，由于可行域內(nèi)換熱器面積的眾多組合變化，將會(huì)導(dǎo)致?lián)Q熱網(wǎng)絡(luò)在最優(yōu)化過程中存在著大量的局部最優(yōu)解，給數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)帶來巨大障礙。本節(jié)針對(duì)具體的算例，在固定換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的條件下，分析換熱器面積與綜合費(fèi)用之間的非線性關(guān)系。

算例取自文獻(xiàn)[11-14]，由6股熱流體與4股冷流體組成，參數(shù)與文獻(xiàn)相同。所有流體的流股參數(shù)與計(jì)算公式如表1所示。換熱器面積費(fèi)用計(jì)算式為60×A$/(m2·a)，熱公用工程費(fèi)用為 100×Qh$/(kW·a)，冷公用工程費(fèi)用為 15×Qc$/(kW·a)，所有換熱器換熱系數(shù)為0.025 kW/(m2·℃)。

為研究換熱器面積與綜合費(fèi)用之間的非線性關(guān)系，給換熱網(wǎng)絡(luò)任意匹配12個(gè)換熱器并保持結(jié)構(gòu)不變，給定所有換熱器面積為200 m2，如圖2所示。在固定該結(jié)構(gòu)與給定面積的條件下，變動(dòng) 1號(hào)、4號(hào)換熱器的面積，得到面積變化與綜合費(fèi)用變化如圖3所示。

表1 流體參數(shù)

由圖3可以看出，僅僅變動(dòng)兩個(gè)換熱器面積，在限定范圍內(nèi)，就存在一個(gè)極值點(diǎn)，可見換熱器面積的變化使得換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題存在著大量的局部最優(yōu)解，這將給全局尋優(yōu)過程帶來很大障礙。

3 微分進(jìn)化算法

微分進(jìn)化算法是一種基于群體進(jìn)化的算法，具有記憶個(gè)體最優(yōu)解和種群內(nèi)信息共享的特點(diǎn)，即通過種群內(nèi)個(gè)體間的合作與競(jìng)爭來實(shí)現(xiàn)對(duì)優(yōu)化問題的求解，是一種有效的無約束全局最優(yōu)化方法。優(yōu)化過程主要分為3個(gè)部分。設(shè)定一定規(guī)模的種群數(shù)量后，不斷地經(jīng)過變異、交叉、選擇的進(jìn)化過程向最優(yōu)解逼近。而換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題為有約束問題，設(shè)利用懲罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化后的無約束問題為M(X)，應(yīng)用微分進(jìn)化算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題步驟如下所述。

（1）初始化參數(shù)。種群規(guī)模N，交叉概率P，縮放因子C，最大迭代步數(shù)g（初始為0）。隨機(jī)產(chǎn)生N組換熱網(wǎng)絡(luò)初始解，每一組解中包含n個(gè)需要優(yōu)化的換熱器面積。種群表示為：X={X1，g，··，Xi，g··，Xn，g}。其中，Xi,g={xi,g(1),xi,g(2),··xi,g(j)··，xi,g(n)}，Xi，g為第g代第i個(gè)個(gè)體；xi,g(j)為第g代種群中第i個(gè)個(gè)體的第j個(gè)換熱器面積。其中P、C∈[0，1]。

（2）變異。對(duì)種群中每個(gè)個(gè)體的每個(gè)換熱器面積采用變異機(jī)制如式（2）。

式中，vi,g(j)為第g代種群中第i組的第j個(gè)換熱器變異面積，其中，n1、n2、n3為隨機(jī)產(chǎn)生互不相同的整數(shù)。

因?yàn)閾Q熱器面積不能為負(fù)，因此，增加邊界限制條件，對(duì)變異后的換熱器面積處理如式（3）。

（3）交叉。對(duì)種群中所有個(gè)體的變量逐個(gè)產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)cr∈[0，1]，采用二項(xiàng)交叉。執(zhí)行方式如式（4）。

式中，xi,g'(j)：第g次迭代第i組中第j個(gè)換熱器的試驗(yàn)面積；rnd為隨機(jī)產(chǎn)生位于[1，n]的整數(shù)。

（4）選擇。當(dāng)該初始點(diǎn)的所有換熱器面積執(zhí)行完變異與交叉過程，生成試驗(yàn)個(gè)體。比較該試驗(yàn)個(gè)體年綜合費(fèi)用與該個(gè)體上一輪的年綜合費(fèi)用，按貪婪選擇的方式，選擇較好的個(gè)體進(jìn)代下一代搜索。如式（5）。

（5）終止條件。g達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)時(shí)，終止優(yōu)化。

相對(duì)于其它算法而言，微分進(jìn)化算法是一種高效的并行算法，基于種群的全局搜索策略，具有獨(dú)特的記憶能力，能夠動(dòng)態(tài)跟蹤當(dāng)前個(gè)體的搜索情況來調(diào)整逼近全局最優(yōu)解的方向，不依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度信息。因此，不易陷入換熱網(wǎng)絡(luò)局部最優(yōu)解，具有較強(qiáng)的全局收斂能力與魯棒的性能，因此能有效應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[15]。

4 微分進(jìn)化算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題的穩(wěn)定性

由于換熱網(wǎng)絡(luò)問題嚴(yán)重的非線性特征，即使在固定換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的條件下，也具有大量的局部最優(yōu)解。而傳統(tǒng)的局部優(yōu)化方法常常依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，不僅容易陷入局部最優(yōu)解；并且難以擺脫初始點(diǎn)的影響，在不同的初始點(diǎn)下，會(huì)陷入不同的局部最優(yōu)解。本節(jié)通過實(shí)例，在不同的初始點(diǎn)下，分別運(yùn)用牛頓法與微分進(jìn)化算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題，比較結(jié)果證明，牛頓法容易受初始點(diǎn)的影響，陷入不同的局部最優(yōu)解，而微分進(jìn)化算法具有很好的魯棒性，不受所給初始點(diǎn)的影響，解的穩(wěn)定性較強(qiáng)。

以牛頓法為例，在不同的初始點(diǎn)下，優(yōu)化上節(jié)的換熱網(wǎng)絡(luò)固定結(jié)構(gòu)。給定全部換熱器的初始面積分別為A1=200 m2與A2=1000 m2進(jìn)行優(yōu)化，牛頓法優(yōu)化得到的局部最優(yōu)年綜合費(fèi)用分別為$ 5645133和$ 5644129，優(yōu)化后各換熱器面積見表2與表3。在相同結(jié)構(gòu)的條件下，利用微分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化，分別設(shè)定隨機(jī)產(chǎn)生初始個(gè)體面積在200 m2與1000 m2附近，所產(chǎn)生不同的初始面積優(yōu)化后均能得到年綜合費(fèi)用為$ 5631282，所得面積如表4所示。有力地證明了該算法不僅魯棒性強(qiáng)、求解穩(wěn)定、不受初始點(diǎn)的影響，而且能在一定的程度上提高優(yōu)化精度，降低換熱網(wǎng)絡(luò)的年綜合費(fèi)用，節(jié)約生產(chǎn)成本。

表2 初始點(diǎn)為200 m2優(yōu)化結(jié)果換熱器面積

表3 初始點(diǎn)為1000 m2優(yōu)化結(jié)果換熱器面積

表4 微分進(jìn)化算法優(yōu)化所得換熱器面積

5 結(jié) 論

本研究首先通過改變換熱器面積，分析了求解換熱網(wǎng)絡(luò)的障礙在于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題嚴(yán)重的非線性特性、局部最優(yōu)解眾多的特點(diǎn)，同時(shí)，傳統(tǒng)的局部優(yōu)化方法優(yōu)化時(shí)容易受初始點(diǎn)的影響，優(yōu)化時(shí)陷入不同的局部最優(yōu)解，收斂穩(wěn)定性很差。因此，基于換熱網(wǎng)絡(luò)分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型，在給定不同初始面積的條件下，分別采用牛頓法及微分進(jìn)化算法對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果表明，牛頓法在不同的初始面積下得到不同的優(yōu)化結(jié)果，而微分進(jìn)化算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題時(shí)，優(yōu)化結(jié)果不受初始點(diǎn)的影響，穩(wěn)定性強(qiáng)，魯棒性好，而且能進(jìn)一步提高優(yōu)化精度，降低年綜合費(fèi)用，節(jié)約生產(chǎn)成本。

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