SCWCBM中鋼懸臂優化設計

王 騫， 邱 文 亮， 張 哲， 張 雪 莉

（1.大連理工大學 橋梁工程研究所，遼寧 大連 116024；2.中國寰球工程公司 土建室，北京 100028）

0 引 言

混凝土箱梁正交異性鋼懸臂板拓寬方法（orthotropic steel cantilever widening concrete box girder method，簡稱SCWCBM）是一種新型的箱梁拓寬方法.該方法不同于以往的拓寬技術，它充分利用了原有橋梁結構，無需外加橋墩，不占據橋下空間，并能保證加寬后橋梁的運營可靠性，非常適合于城市箱梁橋的拓寬［1－2］.目前SCWCBM已成功應用于大連市東北路立交橋的拓寬改造工程中［3］，運營狀況良好.實際經驗還表明，該方法還具有施工周期短、施工期對橋下交通干擾小等特點.

SCWCBM的特征是：在不增設橋墩的前提下，通過在混凝土箱梁兩側設置鋼懸臂結構以達到拓寬原有橋梁的目的.鋼懸臂結構與原有混凝土箱梁間通過橫向預應力筋連成整體.新增設的鋼懸臂橫梁在順橋向每隔一定長度成對地設置在原有箱梁兩側，鋼懸臂橫梁上鋪設正交異性鋼橋面板作為拓寬的行車橋面.在混凝土箱室內設置縱向體外預應力筋以增強原有混凝土梁的承載能力.

用鋼懸臂梁加寬后的結構是鋼－混凝土橫向組合的特殊結構.新結構引出新問題，新增鋼懸臂結構的設計是采用SCWCBM加寬的關鍵問題.本文引入拓撲優化理論以指導鋼懸臂梁的外形設計，并根據平截面假定推導出橫向預應力筋位置理論范圍的解析表達式，最終提出新增鋼懸臂結構優化設計思路.

1 SCWCBM優化設計的理論前提

SCWCBM加寬后斷面形式如圖1所示.

為了使采用SCWCBM加寬后的特殊結構能有效地協同工作，需協調解決兩個關鍵問題：第一，應確保作用在鋼懸臂上的荷載能有效地傳向接觸面；第二，確保新增的鋼懸臂結構與混凝土箱梁間接觸緊密且接觸面混凝土不被壓壞，即保證接觸面上不能出現拉應力且壓應力不超過接觸面混凝土的抗壓強度.

在鋼懸臂設計過程中，本文結合上述指標，引入拓撲優化理論，結合平截面假定，提出鋼懸臂優化設計思路，預先給定滿足要求的參數取值建議，以此減少盲目試算次數，進行有效設計.

圖1 采用SCWCBM加寬后的箱梁斷面Fig.1 The section of box girder widened by SCWCBM

2 鋼懸臂的拓撲優化設計

拓撲優化是以結構拓撲變量為分析變量，在滿足已知荷載工況和約束條件的情況下，在給定的設計區域內尋求材料最優分布的過程［4］.對于試圖產生超出設計者經驗的新型結構，拓撲優化是一種很有價值的工具［5－6］.近年來，結構拓撲優化設計正在成為結構優化研究領域的熱點.汽車、飛機制造等領域，已經開始應用拓撲優化理論進行整體的布局優化，這股熱潮正在國內興盛起來［7］，但目前應用拓撲優化進行橋梁結構設計的工程實例并不多見.采用本文所述拓寬方法加寬后的箱梁屬于非常規的特殊結構，新增鋼懸臂結構的拓撲造型缺少可直接利用的工程經驗，本文在鋼懸臂構造設計過程中引入拓撲優化設計思路，不僅為鋼懸臂構造的方案設計提供了有利的指導，而且推廣了拓撲優化理論在橋梁設計中的應用.

2.1 數值模型

鋼－混凝土接觸面為該拓寬方法的受力關鍵部位，在追求整個鋼懸臂橫梁輕質、加工便利以及外形美觀的優化設計過程中，應以保證作用在鋼懸臂上的汽車荷載及恒載能有效地傳向接觸面為前提.

如圖2所示，為了保證鋼懸臂橫梁與原有箱梁的連接質量，在箱梁兩側后澆混凝土隔板與新增鋼懸臂橫梁相接觸.混凝土后澆隔板也需成對設置，其數量、位置與新增鋼懸臂橫梁的一致［1，3］.圖2中，接觸面傾斜角度θ的取值應是綜合考慮如下因素的結果：橫向體外預應力筋的布置應與接觸面垂直，體外預應力筋穿過原有箱梁時應盡量少地破壞原有結構，橫向體外預應力筋的轉彎半徑R需滿足體外預應力筋的最小規定值.綜合θ取值、鋼懸臂的實際加寬幅度及荷載情況建立鋼懸臂優化設計的數值模型.

圖2 鋼－混凝土接觸面構造圖Fig.2 Diagram of interface between steel and concrete

初始優化區域需視原結構需拓寬的幅度和原結構的梁高而定，初始優化區域的寬度即箱梁結構需要拓寬的寬度，為了保證與原結構行車橋面一致確定優化區域高度，由圖1可見新增鋼懸臂結構與原有箱梁的位置關系.鑒于實際的鋼懸臂橫梁頂部要設置正交異性橋面板，因此在鋼懸臂橫梁的頂部要預留安放橋面板的U形槽.為了掌握鋼懸臂橫梁將所受的荷載向接觸面傳遞的最優路徑，從模型簡化的角度，將鋼懸臂橫梁接觸面的一側視作固結.

如圖3所示，預留U形槽的單端固結的結構為鋼懸臂拓撲優化的基本結構.

圖3 實際拓撲優化結構Fig.3 Actual structure for topological optimization

作用在鋼懸臂橫梁上的荷載有恒載均布力以及機動車車輪荷載.恒載均布力q0為每個鋼懸臂橫梁均攤的正交異性橋面板及橋面鋪裝的恒載外力.車輪荷載按《公路橋涵設計通用規范》［8］的規定，進行最不利布載.如圖4所示，以單側加寬一個車道為例，鋼懸臂加寬范圍內至多可以布設兩個車輪和一個車輪的局部.按照具體車輛荷載軸重及車輪作用范圍可計算車輪均布荷載q1.優化分析的荷載工況一為恒載均布力q0與實際最不利車輪荷載的綜合作用，如圖4所示.

圖4 工況一拓撲優化結構圖（單位：cm）Fig.4 Topological optimization structure under Load Case 1（unit：cm）

車輪荷載的位置在車輪可能通行的范圍內是隨機的、不固定的.因此，車輪荷載除了上述最不利布載情況外，還有其他多種布載形式.為了讓優化分析的結果能廣泛地適用于多種車輪布載情況，這里偏保守地將車輪荷載在其可能出現的范圍內滿布，圖5所示為荷載分析工況二的布載情況.

2.2 數學模型

本文將系統的柔度最小作為結構優化的目標函數.同樣的設計區域，當邊界條件及荷載一定時，系統柔度越小即代表剛度越大［5，9］.

假定作用于系統的外力為F，則系統的應變能可表示為

式中：Ω為給定設計區域；ε（u）為荷載F作用下的應變；u為設計區域內任意一點在荷載作用下的彈性變形；D為彈性矩陣；F為節點的荷載向量；U為節點的位移向量.

系統的平衡方程如下：

其中K表示系統的剛度矩陣，且KT＝K，綜合式（1）、（2）可得

系統的柔度可描述為C＝FTU，對比式（1），可知系統的柔度最小等價于系統的應變能最小.

建立鋼懸臂結構的拓撲優化數學模型如下.

將材料模型表示為

式中：ρ0和E0分別是鋼懸臂板剖分后的密度和彈性矩陣；xi為單元的相對密度，P為懲罰因子.則本例中拓撲優化數學問題可被具體描述為

目標函數為

式中：單元相對密度xi為設計變量；f為體積系數.本例中的數學模型可以描述為尋找各單元的密度分布以使得整個結構的剛度最大.

拓撲優化分析過程中，除了建立合理的優化模型，尚應選擇合適的優化算法，本文選用的是收斂速度較快的優化準則法［10］.

如前文所述，圖3所示的實際拓撲結構的主要設計荷載工況有兩種.以數學模型中目標函數剛度最大為目標，計算材料的分布情況，優化結果見圖6.其中黑色區域（彩圖中為藍色）表示材料密度為0，深灰色區域（彩圖中為紅色）表示材料密度為1，介于中間的淺灰色區域（彩圖中為黃色、綠色）屬材料分布中間過渡區，材料密度介于0、1之間，處理時按照0.5處理.

將所得的拓撲結果導入CAD制圖軟件中，可以根據材料分布情況設計出對結構剛度損害最小的鋼懸臂外形，根據工況一和工況二的拓撲結果可以大致確定鋼懸臂結構的外形如圖6中白色線條所示.

鋼懸臂流線外形設計的前提是保證鋼懸臂能將荷載有效地傳遞給接觸面，即不破壞設計域內荷載傳遞路徑，保證結構剛度.綜合考慮工況一和工況二鋼懸臂外形邊界，得到鋼懸臂外形設計結果如圖7所示.這屬于鋼懸臂外形的概念設計，即初步設計.

圖6 拓撲優化結果Fig．6 Topological optimization result

圖7 鋼懸臂設計外形Fig．7 Appearance design for steel cantilever

3 橫向預應力筋位置的理論推導

3.1 基本力學模型的建立

在進行鋼懸臂橫梁與混凝土后澆隔板之間的界面受力分析時假設鋼懸臂橫梁沒有彈性變形，只產生剛體移動和轉動.此時混凝土界面的反力呈直線分布，如圖8、9所示.

如前文所述，確保加寬后的特殊結構協同工作的另一關鍵問題就是要使新增的鋼懸臂結構與混凝土箱梁間接觸緊密且接觸面混凝土不被壓壞，即保證接觸面上不能出現拉應力且壓應力不超過接觸面混凝土的抗壓強度容許值.

圖8 鋼－混凝土接觸面力學模型一Fig.8 Mechanical model one of steel－concrete interface

圖9 鋼－混凝土接觸面力學模型二Fig.9 Mechanical model two of steel－concrete interface

分析實際工程情況，從施工階段到使用階段，鋼－混凝土接觸面的應力分布有兩個臨界工況.臨界工況一：當鋼懸臂橫梁安裝就位、橫向預應力筋張拉完畢且正交異性橋面板及橋面鋪裝施工之前，預應力荷載起主要作用，該階段鋼－混凝土接觸面上緣壓應力最大，下緣應力最小；臨界工況二：當正交異性橋面板安裝完畢，橋面鋪裝就位后，在使用過程中，當車輪荷載位于橫向最不利布載位置時（參見圖4），鋼－混凝土接觸面的上緣應力最小，而下緣應力最大.保證這兩種臨界工況下接觸面的上、下緣均不出現拉應力，且壓應力不超過接觸面混凝土的抗壓強度容許值便可保證其他荷載工況下接觸面的應力分布滿足要求.

3.2 橫向預應力筋作用位置的理論推導

3.2.1 臨界工況一受力分析 該工況只有鋼懸臂橫梁的自重和體外預應力筋作用，假定O為彎曲中心，將鋼懸臂橫梁的自重簡化為通過彎曲中心的集中力P0和彎矩M0，橫向體外預應力為F，其作用位置距離彎曲中心的距離為x1；接觸面長度為l，截面上緣距離彎曲中心的距離為x0，接觸面下緣距離彎曲中心的距離為l－x0；接觸面上緣的反力為q1，接觸面下緣的反力為q2，鋼材的彈性模量遠大于混凝土的彈性模量，因此文中假定接觸面上應力呈線性分布.臨界工況一的力學模型如圖8所示.

由圖8有

由式（7）有

為保證鋼懸臂橫梁與混凝土后澆隔板間良好的界面聯系，應滿足接觸面下緣不出現拉應力且上緣的壓應力不超過接觸面混凝土的抗壓強度容許值［σ］.因此需滿足q1≤［σ］t，t為截面下緣混凝土后澆隔板的寬度，同時應滿足q2≥0.

式（9）結合上述安全要求，則有

由q1≤ ［σ］t，且

由q2≥0，且

其中

再由式（8），取x0＝l／2，得到

將式（9）代入式（13）有

由式（11）、（14）得6（Fx1－M0）／l2＋ （FP0cosθ）／l≤a0，即

由式（12）、（15）得（F－P0cosθ）／l－6（Fx1－M0）／l2≥b0，即

綜合式（16）及式（17），x1取值有上限：

3.2.2 臨界工況二受力分析 將作用于鋼懸臂橫梁上的恒載及車輪荷載簡化為通過接觸面彎曲中心O的集中力P和彎矩M，橫向體外預應力為F，其作用位置距離彎曲中心的距離為x1，基礎面長度為l，截面上緣距離彎曲中心的距離為x0，接觸面下緣距離彎曲中心的距離為l－x0；接觸面上緣的反力為q1，接觸面下緣的反力為q2，仍假定接觸面上應力呈線性分布.臨界工況二的力學模型如圖9所示.

由圖9有

沿x軸方向由摩擦力平衡應有

由式（19）、（21）有Psinθ＜μ（F－Pcosθ），因此體外預應力F取值有下限：

為保證工況二鋼懸臂橫梁與混凝土后澆隔板間良好的界面聯系，應滿足接觸面上緣不出現拉應力且下緣的壓應力不超過接觸面混凝土的抗壓強度容許值.因此需滿足q1≥0，同時應滿足q2≤［σ］t，t為截面下緣混凝土后澆隔板的寬度.

參照臨界工況一推導過程，得x1取值有下限：

3.2.3 橫向預應力筋作用位置及體外預應力取值 綜合式（18）、（23），橫向預應力筋作用位置x1的理論取值范圍如下式所示：

合理的F、x1取值是保證接觸面受力滿足要求的重要前提.綜上所述，在進行SCWCBM橫向體外預應力筋設計時，需以式（10）為參照，根據式（10）可確定橫向體外預應力F的取值界限，在此范圍內設定預應力筋的型號、根數，確定F值，再由式（24），計算求得x1的取值范圍，即橫向體外預應力筋作用位置的理論范圍.調節F值，至橫向預應力筋作用位置合理可行為止.

4 鋼懸臂優化設計思路

綜合鋼懸臂拓撲優化設計及橫向預應力筋位置的理論推導結果，提出混凝土箱梁正交異性鋼懸臂板拓寬方法中的鋼懸臂部分優化設計思路：首先對設定區域進行拓撲優化計算，根據優化結果設計鋼懸臂橫梁的外形；在此外形的基礎上結合實際工程的兩種臨界工況推導出橫向體外預應力的取值界限及橫向預應力筋合理作用范圍；選取合適的F值，確保橫向體外預應力筋的位置合理可行；隨后進行鋼懸臂橫梁接觸面附近加勁肋的細部設計；最后對臨界工況下鋼－混凝土接觸面的接觸應力進行有限元精確分析，驗證各設計參數的取值是否合理.按照該優化設計思路進行的SCWCBM鋼懸臂優化設計可以有效減少試算次數，節約計算資源.

5 工程應用

大連市東北路立交橋拓寬改造工程采用該優化設計思路進行鋼懸臂設計，確定的鋼懸臂橫梁外形尺寸及橫向預應力筋位置能夠確保接觸面應力滿足要求［11］，并通過足尺模型試驗驗證了數值模擬結果的正確性［1］，表明該鋼懸臂優化設計思路是合理可行的.

6 結 論

（1）在鋼懸臂梁構造設計過程中，引入拓撲優化理論，構建鋼懸臂結構的數學模型，選定合適的優化算法，優化迭代求得設計區域內合理的材料分布結果.該拓撲結果可為SCWCBM鋼懸臂梁的外形設計提供理論依據.

（2）進行了鋼懸臂橫梁與混凝土后澆隔板之間的界面受力分析.為保證任何荷載工況下接觸面上不出現拉應力，且壓應力不超過后澆隔板混凝土的抗壓強度容許值，創建了兩種臨界荷載工況下的鋼懸臂梁的基本力學模型，根據平截面假定推導出橫向預應力筋理論作用范圍的解析表達式.

（3）給出基于鋼－混凝土接觸面受力問題的優化設計思路.采用該優化設計思路進行SCWCBM鋼懸臂優化設計可以減少不必要的試算次數，極大限度地節約計算資源，達到快速準確設計的目的.該設計思路和方法為SCWCBM的推廣提供了理論支持.

［1］WANG Qian，SHI Lei，ZHANG Zhe.A new widening method of reinforced concrete box girder and its experimental research ［C］／／ Advanced Materials Research.Switzerland：Trans Tech Publications Ltd.，2011：3724－3729.

［2］WANG Qian，ZHANG Zhe.Orthotropic steel cantilever widening method of concrete box girder［J］.Structural Engineering International，2011，21（2）：228－231.

［3］WANG Qian，SHI Lei，ZHANG Zhe.Application of a new kind of widening method in Dalian Northeast Road overpass improvement project［C］／／ Proceedings of the 9th International Conference on Civil and Environmental Engineering.Beijing：China Architecture ＆Building Press，2010.

［4］謝 濤，劉 靜，劉軍考.結構拓撲優化綜述［J］.機械工程師，2006（8）：22－25.XIE Tao，LIU Jing，LIU Jun－kao.An overview on the topological optimization of structures ［J］.Mechanical Engineer，2006（8）：22－25.（in Chinese）

［5］楊貴玉.拓撲優化方法及其在微型柔性機構設計中應用的研究［D］.大連：大連理工大學，2004.YANG Gui－yu.Research on the method of topology optimization and its application in design of MEMS compliant mechanism［D］.Dalian：Dalian University of Technology，2004.（in Chinese）

［6］邵新妍，逢毓卓.淺談結構拓撲優化設計［J］.科技咨詢導報，2007（3）：24－25.SHAO Xin－yan，FENG Yu－zhuo.Discussion on topological optimization design ［J］.Science and Technology Consulting Herald，2007（3）：24－25.（in Chinese）

［7］穆春燕.拓撲優化理論及其在拱壩優化設計中的應用［D］.南京：河海大學，2006.MU Chun－yan.Topology optimum design theoryand its application on optimization design of arch dam ［D］.Nanjing：Hohai University，2006.（in Chinese）

［8］中交公路規劃設計院.JTG D60—2004公路橋涵設計通用規范［S］.北京：人民交通出版社，2004.CCCC Highway Consultants Co.，Ltd..JTG D60－2004General Code For Design of Highway Bridges and Culverts［S］.Beijing：China Communication Press，2004.（in Chinese）

［9］朱燈林，陳俊偉，俞 潔，等.結構拓撲優化設計的研究現狀及其應用［J］.機械制造與自動化，2005，36（6）：7－11.ZHU Deng－lin，CHEN Jun－wei，YU Jie，etal.Developments of structural topology design and its application in structural design ［J］.Machine Building ＆ Automation，2005，36（6）：7－11.（in Chinese）

［10］Rozvany G，ZHOU M.The COC algorithm，PartⅠ：Cross－section optimization or sizing ［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1991，89（11）：281－308.

［11］WANG Qian，QIU Wen－liang，LI Fei－ran，etal.Contact stress analysis of steel concrete box girder widened by orthotropic steel cantilever ［C］／／Proceeding of the 10th International Conference on Civil and Environmental Engineering.Taiwan：National Central University，2011.