紐結的（m，n）－變換

李雁南

（大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028）

0 引 言

紐結理論從19世紀發展至今，取得了極其豐富的結論.而關于紐結的局部變換也有很多，如交叉點變換（crossing change）、＃－變換（＃－move）及Δ－變換等.這些變換都能夠使紐結變成平凡結.本文將討論一類新的變換——（m，n）－變換.改變紐結交叉點的上下關系是紐結理論研究中的一種常用的技術手段，如交叉點變換和＃－變換.一個紐結可以通過交叉點變換變為平凡結的最少次數稱為這個紐結的解結數（unknotting number）.解結數的研究一直都是紐結理論研究中的基本問題.本文所定義的（m，n）－變換是交叉點變換與＃－變換的推廣.影.2重點也稱為紐結的交叉點.通常用紐結的正則投影圖來直觀地表示一個紐結.在畫紐結的正則投影圖時，上面的線用一條直線畫出，而在下面的線則用一個斷開的線表示.

關于紐結的基本定義，還可以參見一些經典教材［1－3］.在下面的討論中，本文將不加區別地使用紐結K與其正則投影p（K）.

定義1 如圖1所示的3種變換稱為Reidemeister變換.

1 紐結的基本定義

從S1到R3的光滑嵌入稱為紐結.設K是R3中的一個紐結，R2是R3中的一個平面，并且p：R3→R2是從R3到R2的正交投影映射.稱p（K）是K的投影.設c是投影上的一點，如果p－1（c）∩K包含n個點，就稱c是一個n重點.如果p（K）只含有有限個2重點，并且對每個重點c，存在c的充分小的鄰域N（c）使得p作用在p－1（N（c）∩L）的兩個分支上是橫截相交的，則稱p（K）為K的正則投

圖1 Reidemeister變換Fig.1 Reidemeister moves

定義2 如果一個紐結可以通過有限次Reidemeister變換變為無重點的紐結，則稱這個紐結為平凡結.

定義3 對于某種變換，如果對任意紐結的正則投影圖，都能使其經過有限次Reidemeister變換及這種變換后變為平凡結，就稱這種變換為可平凡化變換（unknotting operation）.

2 交叉點變換與雙交叉點變換

定義4 設K是一個紐結，如果把K的一個交叉點的上下兩條線段交換，就能得到一個新的紐結，稱這種變換為紐結的交叉點變換，如圖2所示.

圖2 交叉點變換Fig.2 Crossing change

交叉點變換是紐結變換中研究較為廣泛的一種變換.Scharlemann［4］證明了所有解結數為1的紐結都是素紐結.對于交叉點變換，有如下引理.

引理1 交叉點變換是可平凡化變換.

證明 見文獻［1］中定理11.1.2.

定義5 設有一個定向紐結，且其在局部有一個如圖3所示的“＃”字形的結構，同時改變4條線的上下關系的變換稱為＃－變換.

圖3 ＃－變換Fig.3 ＃－move

＃－變換最早由 Murakami［5］給出.對于無定向紐結，可以定義以下類似的變換：

定義6 如果一個紐結在局部有一個如圖4所示的“＃”字形的結構，同時改變4條線的上下關系的變換稱為雙交叉點變換.

引理2 雙交叉點變換是可平凡化變換.

證明 對于任意給定的紐結K，賦予其一個定向.由文獻［1］中定理11.1.6可知，其一定可以通過＃－變換變成平凡結.從而對未定向的K，其一定可以通過雙交叉點變換變為平凡結.

圖4 雙交叉點變換Fig.4 Double crossing change

3 （m，n）－變換

定義7 設一個紐結K的局部存在一個如圖5所示的結構，即m條線在下方，n條線在上方.同時把在下面的m條線挪到n條線的上方的變換稱作（m，n）－變換.

圖5 （m，n）－變換Fig.5 （m，n）－move

由上面的定義可以看出（m，n）－變換是交叉點變換和雙交叉點變換的推廣.其中交叉點變換為（1，1）－變換，而雙交叉點變換為（2，2）－變換.

引理3 （1，2）－變換和（2，1）－變換是可平凡化變換.

證明 設K是一個紐結.由引理2可知，其一定存在一個投影圖，可以通過a個雙交叉點變換變為平凡結.觀察到每個雙交叉點變換可由兩個（1，2）－變換得到，如圖6所示，因此K一定可以通過2a個（1，2）－變換變為平凡結，即（1，2）－變換是可平凡化變換.同理，由對稱性可知（2，1）－變換也是可平凡化變換.

定理1 對任意的正整數m和n，（m，n）－變換是可平凡化變換.

證明

（1）設K是一個紐結.由引理1～3可知，（1，1）－變換、（1，2）－變換、（2，1）－變換及（2，2）－變換都是可平凡化變換.

（2）設紐結K可經過（m0，n0）－變換變成平凡結.由圖7可知每個（m0，n0）－變換都可以用（m0＋2，n0）－變換代替.因此K一定可以通過（m0＋2，n0）－變換化為平凡結.同理可知K一定也可以通過（m0，n0＋2）－變換化為平凡結.

圖6 兩個（1，2）變換等于一個（2，2）變換Fig.6 Two（1，2）－moves are equal to one（2，2）－move

圖7 （m0，n0）－變換等價于（m0＋2，n0）－變換Fig.7 （m0，n0）－move is equal to（m0 ＋2，n0）－move

通過歸納可得，對任意的正整數m和n，K一定可以通過（m，n）－變換變為平凡結.

4 結 論

設紐結K的投影圖的局部存在著m條線在下方，n條線在上方的結構，將下面的m條線挪到n條線的上方的變換稱作（m，n）－變換.本文證明了對任意紐結及任意正整數m、n，一定可以通過有限次Reidemeister變換和（m，n）－變換把這個紐結變為平凡結.

［1］Kawauchi A.A Survey of Knot Theory［M］.Basel：Birkhauser Verlag，1996.

［2］Burde G，Zieschang H.Knots［M］.Hawthorne：Walter de Gruyter，1985.

［3］Rolfsen D.Knots and Links［M］.Berkeley：Publish or Perish，Inc.，1976.

［4］Scharlemann M.Unknotting number one knots are prime［J］.Invented Mathematics，1985，82（1）：37－55.

［5］Murakami H.Some metrics on classical knots［J］.Annals of Mathematics，1985，270（1）：35－45.