基于物理規劃的履帶起重機變幅系統多目標優化

高 順 德， 陸 霞， 周 楊， 徐 金 帥

（1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；2.大連益利亞工程機械有限公司，遼寧 大連 116025）

0 引 言

履帶起重機的起重性能由臂架強度、整機傾覆穩定性和拉板、鋼絲繩等附件強度共同決定.變幅系統的主要作用是實現變幅并且承受由起升荷載和起重機自重引起的構件受力.合理的變幅系統型式和參數設計可以減小相關構件受力，特別是臂架結構荷載，同時提高由臂架強度和附件強度決定的起重性能.因此，對履帶起重機變幅系統進行優化設計具有實際意義.

目前，國內履帶起重機變幅系統大多采用與同類機型相類比的設計方法；而國外主要在企業內部研究，對于此方面的學術研究較少.王重華等對人字架型式的變幅系統建立以臂架與人字架重量之和最小的優化模型，并采用序列二次規劃進行連續變量求解［1］.王欣對人字架加桅桿型式的變幅系統建立構件鉸點位置及長度優化模型，以標準型起臂工況的拉板力、變幅繩力和桅桿力為優化目標，采用基于權重法的小生境多目標遺傳算法進行求解［2］.齊克奇采用遺傳算法對桅桿型式的變幅系統建立優化模型，其優化工況增加了最大臂長最小幅度工作工況［3］.

上述文獻對變幅系統的優化進行了探索，但是在實際應用中還存在若干問題.

首先，隨著吊裝整體化及大型化的發展，超起型工況已經成為中大噸位履帶起重機的必備配置，因此有必要在變幅系統優化中將標準型和超起型統一考慮，使得整機優化結果更加切合實際.其次，目前多目標優化問題較多采用權重法，而在設計中很難定義一組恰當的權重保證優化的有效性和準確性，這給設計人員在實際應用中造成了很多的困難.最后，現有文獻的優化都是基于連續型變量，但在實際設計中都是采用離散化的設計，這就需要根據設計經驗對連續優化結果進行圓整.

鑒于目前中大噸位履帶起重機普遍采用桅桿型式的變幅系統，本文針對此類機型，統一考慮標準型和超起型工況，分析其變幅系統的受力特點，建立多目標優化力學模型.為了避免權重設計，采用由Messac于1996年提出的基于偏好設計的物理規劃方法［4－5］，通過定義構件期望受力的偏好區間，設計優化目標的綜合評價函數.將遺傳算法和混沌搜索［6－8］相結合，設計基于Pareto支配的多目標混沌遺傳算法，對優化變量離散化處理，采用多目標優化函數求Pareto解集和綜合評價函數選擇精英解集，在算法后期進行混沌局部搜索不斷逼近問題的Pareto最優前端，以降低陷入局部最優解的可能性，避免過早收斂.

1 變幅系統力學模型

1.1 變幅原理

履帶起重機的變幅系統是實現其臂架變幅作業的重要承載構件.根據起重能力的不同，起重機可分為標準型和超起型，如圖1所示.桅桿式履帶起重機的標準型變幅系統由主臂拉板、桅桿和將轉臺與桅桿相連的主變幅繩組成，通過調整主變幅繩實現主臂變幅.超起型增加了超起變幅系統，包括超起桅桿、超起配重和用于連接的拉板.超起工況作業時通過調整超起變幅繩實現主臂變幅，而桅桿和主變幅繩僅在起臂時工作.

圖1 桅桿式履帶起重機整機布置圖Fig.1 Whole arrangement of mast crawler crane

1.2 力學模型

根據桅桿式履帶起重機的工作原理，分別對標準型和超起型主臂工況建立力學模型.考慮主臂自重，其他桿件自重不計，不考慮構件變形對受力的影響，配重型式為托盤式懸浮配重.在變幅平面內風從后往前吹，幾何模型如圖2所示.各鉸點定義為主臂鉸點B，桅桿鉸點A，主變幅鉸點C，桅桿上鉸點E，主臂上鉸點I，主臂拉板鉸點Ig，主臂導向輪鉸點Ish，主臂起升鉸點Iq，超起桅桿鉸點D，超起桅桿頂點N.無特殊說明角標d為超起型標志.

1.2.1 標準型模型 分析臂架荷載特點，鉸點Iq處受力見下式：

式中：Q是特定臂長下的額定起重量；θq是貨物在風力和回轉機構啟動或制動慣性力作用下偏離鉛垂線的角度.

圖2 履帶起重機模型簡化圖Fig.2 Simplified model of crawler crane

根據力矩平衡原理，基于鉸點B建立方程，主臂拉板力Fg、主變幅繩力Frg和桅桿力Fzh的數學表達式見下式：

式中：L是主臂長度；cg是主臂的重心比（根軸到重心位置與主臂長度的比值）；G是主臂自重；LBsh是主臂鉸點B到起升繩的距離；LBg是主臂鉸點B到拉板的距離.

1.2.2 超起型模型 超起型主臂拉板力計算方法與標準型相同，根據力平衡原理，超起后拉板力Fdg、超起桅桿力Fd、超起主變幅力Frgd和超起桅桿力Fzhd的數學表達式見下式：

式中：Gp是超起配重重量；θjp＝θsd＋θp－90°，是超起配重與超起桅桿軸線的夾角.

1.3 構件受力趨勢分析

通過分析發現，對于主臂拉板力、臂架力、超起桅桿力和超起后拉板力，桅桿越長對構件受力越好，但是對于超起工況的桅桿力和主變幅繩力，桅桿越長對構件受力越不好.拉板長度對主臂拉板力、桅桿力和主變幅繩力影響較大，變化關系復雜.桅桿角度越大對桅桿力和變幅繩力越好，但需要保證桅桿與轉臺不干涉.超起桅桿長度越長對主臂拉板力和臂架力越好，但考慮到經濟性應該越短越好.

1.4 優化目標

從構件受力趨勢分析可以看出，臂架力、主臂拉板力、超起桅桿力、超起后拉板力、桅桿力和主變幅繩力，在設計時存在耦合計算，不易確定最優設計組合以使系統受力最小.

計算變幅系統受力時考慮風從后往前吹，主臂強度計算時要綜合考慮軸向荷載和彎矩（此時風從側向吹），在一定程度上拉板力體現了臂架的受力變化趨勢，因此優化時不考慮臂架力［2］.

因此，模型的優化目標共5個，分別是主臂拉板力、超起桅桿力、超起后拉板力、桅桿力和主變幅繩力.

1.5 優化變量

選取影響變幅系統中構件幾何關系的10個變量作為優化變量，分別是桅桿鉸點A（xA，yA）、主變幅鉸點C（xC，yC）、超起桅桿鉸點D（xD，yD）、主臂拉板長度Lg、超起桅桿長度Ld、超起后拉板長度Ldg、桅桿長度Lzh.

對于人字架式履帶起重機，主變幅滑輪組鉸點可看作人字架頂點，因此上述模型中若將標準型主板拉板長度、桅桿長度省去，即可變成適應人字架式系統的8個變量的變幅系統優化模型.

1.6 優化工況

選取變幅系統中構件受力較大的5類工況作為優化工況，分別是標準型最大臂架的起臂工況和最大幅度工況、標準型最短臂架的最大幅度工況、超起型最長臂架和最短臂架的最大幅度工況.

目前一般采用許用應力法進行起重機設計，即材料、零件、部件的許用應力值根據極限應力除以安全系數確定.根據文獻［9］，工作工況和起臂工況的荷載組合分別為B和C，相應的安全系數為1.34和1.22，設計時需要將起臂工況統一折算到工作工況.優化目標計算時取5類工況中構件受力的最大值進行優化.

1.7 約束條件

優化變量的范圍需要遵循以下設計原則：

①鉸點D在B的左上方；

②鉸點A在D的左上方；

③鉸點C在A的左側；

④鉸點C到桅桿AE的距離不小于LCAEmin；

⑤鉸點A到變幅繩CE的距離不小于LACEmin；

⑥鉸點E到超起桅桿DN的距離不小于LEDNmin；

⑦標準型工況鉸點E在直線CI上方；

⑧超起型工況鉸點E在CN上方；

⑨鉸點C和E的水平坐標｜x｜小于鉸點N的水平坐標｜x｜；

⑩鉸點A和D位于相對回轉中心x正方向，C位于相對回轉中心x負方向；

瑏瑡超起桅桿長度Ld不大于最短超起主臂長度.

最少輸入約束參數為XAmin、YAmax、XCmin、YCmin、YCmax、LCAEmin、LACEmin、LEDNmin.其他約束值通過遵循設計原則的幾何關系確定，如圖3所示.

圖3（a），通過設計原則 ④⑥ 確定Ldmin＝｜DN″｜，通過設計原則 瑏瑡 確定Ldmax.

圖3（b），在Ld已知情況下，通過設計原則④⑧確定Lzhmin1＝｜AE″｜，通過設計原則⑥⑨確定Lzhmax＝｜AE′｜.

圖3（c），通過設計原則 ④⑦ 確定Lzhmin2＝與圖3（b）中確定的Lzhmin1比較取較大值.

圖3（d），在Lzh已知情況下，通過設計原則④確定Lgmax＝｜IgE′｜.

圖3（e），在Lzh已知情況下，通過設計原則⑤確定Lgmin＝｜IgE″｜.

圖3（f），在Ld和Lzh已知情況下，通過設計原則⑧確定Ldgmin＝｜NE″｜，通過設計原則④確定Ldgmax＝｜NE′｜.

在初始化和優化算法中優化變量的邊界值需要按D、A、C、Ld、Lzh、Lg、Ldg的順序確定.

1.8 多目標優化模型

通過上述分析，履帶起重機變幅系統優化問題的數學模型可表示成下式：

圖3 優化變量幾何關系Fig.3 Geometrical relations of optimization variables

2 基于物理規劃的綜合評價函數

2.1 物理規劃類型

物理規劃根據設計者偏好將量化的指標表達成量綱一的偏好函數，定義成6個梯度的滿意度區間，分別是不可接受、高度不期望、不期望、可容忍、期望和高度期望.物理規劃中定義了4種基本偏好函數類型，即指標越小越好的類型1、指標越大越好的類型2、指標趨于某值的類型3和指標在某范圍內的類型4，并且每類函數均具有軟（S）和硬（H）的情況.

1S型偏好函數如圖4所示.設計函數值Fi為橫坐標，偏好函數值gi為縱坐標.在非線性偏好函數中區間的邊界要求連續可導，因此偏好函數構造時需要通過調整參數保證二階導數嚴格為正［4］.

圖4 1S偏好函數的滿意度區間Fig.4 Satisfaction regions of preference function 1S

2.2 基于物理規劃的綜合評價函數

多目標優化算法的最優解實際上是Pareto最優解，其搜索過程就是將非劣解集不斷逼近Pareto前端.在搜索過程中需要根據決策者對解集的偏好選擇Pareto最優解.基于物理規劃的變幅系統綜合評價函數見下式：

式中：gzi［Fzi（lz）］為某優化目標項的偏好值；fzi5為偏好函數的約束值，由設計者給定.

3 多目標混沌遺傳算法

遺傳算法是一類模擬生物自然選擇與進化的隨機搜索算法.本文根據遺傳算法通用求解框架［10］和已有的多目標遺傳局部搜索算法（MOGLS）［11］，設計多目標混沌遺傳算法（MCGA），算法流程如圖5所示.

采用適用于實數編碼的適應度值比例法選擇策略、模擬二進制交叉策略和多項式變異策略進行遺傳搜索.優化變量在初始化和進化過程中始終根據設計精度離散化.為了防止算法過早收斂，構建完全混沌局部搜索［8］，利用混沌變量的隨機性、遍歷性等內在特性，更新非劣解，保持種群的多樣性.

種群根據多目標函數Fz采用Pareto支配［12］更新非劣解集ND，并根據綜合平衡函數gz采用精英策略從ND中選擇優良個體直接進入下一代進化，以便破壞個體性態.

圖5 MCGA流程圖Fig.5 Flow chart of MCGA

4 算例分析

對本課題組與大連重工集團有限公司聯合開發的QUY750履帶起重機變幅系統進行優化.標準型主臂長度為24～84m，超起型主臂長度為36～96m，臂架最大仰角為84°，超起桅桿幅度為13 m.數學模型參數如表1所示.

優化過程中對變量進行離散化，鉸點坐標、桅桿和超起桅桿長度、拉板長度的最小變化值分別為0.005、0.5、0.1m.

優化工況見表2.起重量僅考慮臂架強度和整機傾覆穩定性.由于此機型的超起配重采用油缸變幅，計算時增加了不同超起配重幅度的工況.

對QUY750主變幅系統的構件參數進行優化，根據其受力的特點，優化目標應小于設計最大荷載，故偏好函數均為1S型.偏好區間定義見表3.

優化算法種群規模80，精英個體集規模20，最大進化代數50，模擬二進制交叉概率0.85，多項式變異概率0.1.每個優化變量的混沌搜索概率1，進行局部搜索的個體數量2，每個被選中的個體的拷貝進行混沌搜索的最大次數5.

通過上述參數的設置，根據第3章的進化算法編寫Matlab程序.對每一代的個體按照評價函數進行排序，均布選取20個個體，其進化歷程如圖6所示.初始種群的偏好值均較大，不滿足要求的極限荷載，第10代部分個體得到較優解，第10代與第20代之間種群整體優化水平得到快速提高，第20代之后優化過程全部進入緩慢的局部尋優階段.由于增加了局部搜索，種群在進化過程中，始終有部分個體保證多樣性，防止算法過早收斂.

表1 數學模型參數列表Tab.1 Parameter list of mathematic model

表2 優化工況Tab.2 Optimization conditions

表3 設計目標的偏好區間Tab.3 Preference regions of design objectives

圖6 種群的進化歷程Fig.6 Evolutional progress of population

根據表3定義的偏好函數區間邊界值，優化目標的物理規劃進化歷程如圖7所示.算法最優解集在第6代后偏好值有明顯優化趨勢，進入局部搜索區域.在第7代后每一代的最優個體通過混沌搜索進行局部尋優，進一步確定優化解集，變化不明顯.如此，算法保證多樣性的同時能較快縮小搜索范圍，最大程度發揮混沌搜索在局部搜索區間的優勢以尋找最優解.

圖7 優化目標的物理規劃進化歷程Fig.7 Physical programming evolutional progress of optimization objectives

優化計算結果見表4.與原始設計值相比，桅桿長度減小，超起桅桿長度增加.對轉臺上的鉸點位置進行了優化，使得拉板力、變幅繩力、超起后拉板力和超起桅桿力均減小，而桅桿力略有增加.基于物理規劃的偏好函數對于超出可行區間的值將予以較大的懲罰值，故表中原始的設計值會出現很大的偏好值.

表4 優化結果比較Tab.4 The comparison of optimistic results

5 結 論

（1）將影響履帶起重機變幅系統構件幾何關系的參數作為優化變量，全面地選取典型工況進行優化，使優化模型更加完善，符合日益復雜的設計要求.

（2）利用物理規劃方法建立優化目標的綜合評價函數，取代了基于權重的優化方法，使設計人員能夠更加精準地表達設計要求.

（3）優化變量離散化，采用基于Pareto支配的多目標混沌遺傳算法進行求解，結合多目標函數和評價函數選取精英解集和進行遺傳、混沌搜索，使算法有方向性地進行最優解搜索.通過實例分析驗證了本文提出優化方法的有效性，對實際設計具有指導意義.

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