樹(shù)指標(biāo)集馬氏鏈的強(qiáng)極限性質(zhì)

邊 靜，汪志明

（唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000）

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)T是一無(wú)限樹(shù)，x≠y是T的兩個(gè)不同頂點(diǎn)，在頂點(diǎn)x和y 之間存在唯一的路徑：x＝z1，z2，…，zn＝y(tǒng)，其中z1，z2，…，zn是不同的頂點(diǎn)，并且zi和zi＋1相鄰。于是x和y之間的距離為n－1。為了給樹(shù)T中的頂點(diǎn)編號(hào)，我們選定一頂點(diǎn)為根頂點(diǎn)，記為O。如果一個(gè)頂點(diǎn)和根頂點(diǎn)O的距離為n，稱(chēng)該頂點(diǎn)為第n層頂點(diǎn)，稱(chēng)根頂點(diǎn)O為第0層頂點(diǎn)。

樹(shù)指標(biāo)集馬氏鏈［1］的概念首先由Benjamin I．提出來(lái)，楊衛(wèi)國(guó)研究了齊次樹(shù)指標(biāo)集馬氏鏈的若干極限性質(zhì)［2］，在此本文將定義一類(lèi)特殊的非齊次樹(shù)，并給出非齊次樹(shù)指標(biāo)集馬氏鏈的強(qiáng)極限性質(zhì)。

定義 設(shè)T是一無(wú)限樹(shù)，｛Nn，n≥1｝為一可數(shù)的正整數(shù)集合，如果對(duì)于n（n≥0）層的頂點(diǎn)都有Nn＋1個(gè)子代，樹(shù)T為廣義的Bethe樹(shù)或廣義的Cayley樹(shù)。特別的，令N＝｛0，1，2…｝，用模r（正整數(shù)）的同余關(guān)系對(duì)其分類(lèi)得到r的剩余類(lèi)：

當(dāng)n∈（i），令 Nn＋1＝αi（αi為正整數(shù)，并且不恒為1）。i＝0，1，…，r－1。用這種方法，我們得到了特殊的非齊次樹(shù) Tα0，α1，…，αr－1 。

在本文中，T 表示非齊 次樹(shù) Tα0，α1，…，αr－1，G＝｛0，1，2，…｝為一可數(shù)集合，｛Xσ，σ∈T｝是定義在概率空間｛Ω，F(xiàn)，P｝上在G中取值的樹(shù)T指標(biāo)集馬氏鏈。Tn表示從根頂點(diǎn)到第n層的頂點(diǎn)組成的子樹(shù)。T（i′）n（i′＝0，1，2，…，r－1）表示由根頂點(diǎn)到第n層頂點(diǎn)之中第（i′）層上的頂點(diǎn)構(gòu)成的子樹(shù)。S（σ）為頂點(diǎn)σ的所有子代。

引理［3］設(shè)｛ξn，n≥0｝為關(guān)于｛Fn，n≥0｝適應(yīng)的隨機(jī)序列，且對(duì)于n＞0，都有常數(shù)K＞0，使得｜ξn｜≤K，設(shè)｛an，n≥1｝是任一非負(fù)的隨機(jī)變量序列。令

2 非齊次樹(shù)指標(biāo)集馬氏鏈的強(qiáng)極限定理

定理1 設(shè)｛Xσ，σ∈T｝為非齊次樹(shù)T指標(biāo)集馬氏鏈，｛an，n≥1｝為任意的隨機(jī)序列。g（x0，x1，…，xr－1）為定義在Gr且取值0或1的函數(shù)。設(shè)

則

證明 對(duì)于m≥1，存在K＞0，滿足

定理2 設(shè)｛Xσ，σ∈T｝是非齊次樹(shù)T指標(biāo)集馬氏鏈，令

則有

且A＝B a．s．于B。

證明 在定理1中，令an＝Gn（ω），則有，由定理知（1）式成立。

在定理1中，令an＝Fn（ω），則有

由（1）式有l(wèi)imGn（ω）＝1，ω∈A∩B，則有n→∞Fn（ω）

所以有A＝B a．s．

［1］ Benjamini I，Peres Y．Markov chains indexed by trees［J］．Ann Probab，1994，22：219－243．

［2］ Yang Weiguo．Some limit properties for Markov chains indexed by a homogeneous tree［J］．Stat．Letts．，2003，65：241－250．

［3］ Fan Zhenyao，Jin Shaohua，Bian jing．A new application of stochastic matrices［G］／／The Proceedings of 3International Workshop on Matrix Analysiss，Liverpool：World Academic Press，2009（1）：121－125．