一類特殊曲線的漸近線問題

劉艷麗，孫皆宜

（唐山學院 基礎教學部，河北 唐山063000）

1 漸近線的定義

定義1 若曲線D上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線D的漸近線。［1］

由以上定義可以得到三個常用的漸近線的定義：

（3）若函數y＝f（x）滿足x→C（x→C＋或x→C－），有f（x）→∞，則曲線y＝f（x）有垂直漸近線x＝C。

2 y＝xsin和y＝x2sin的漸近線

2.1 曲線y＝xsin的漸近線x

由定義1易知：

所以，曲線有一條水平漸近線y＝1．

用Matlab軟件驗證如下：

M－文件：

畫圖

2.2 曲線y＝x2sin的漸近線

由定義1求得

圖1 y＝xsin1的水平漸近線x

3 y＝x3sin的漸近線

對于y＝xnsin曲線族討論n＝3的情況。

可以發現，在x→－∞時上述各極限也成立，所以不妨將定義2擴展成以下定義。

（3）如果曲線y＝f（x）既存在負方向Pn漸近線又存在正方向Pn漸近線且兩漸近線相同時，就說曲線y＝f（x）存在Pn漸近線。

有了這一定義，就可以準確地說y＝x3sin存在Pn漸近線，且為P2漸近線，即。

4 需進一步研究的問題

考慮n＝1，n＝2時y＝xnsin1x的漸近線，可以發現在這兩種情況下的漸近線實際上也可以歸為Pn漸近線，n＝1時存在的水平漸近線，即為P0漸近線，方程為yP0＝1；n＝2時存在的斜漸近線，即為P1漸近線，方程為yP1＝x；而當n＝3時，存在P2漸近線，方程為yP2＝x2－16。

綜上可知，曲線族y＝xnsin在n≤3時存在Pn 漸近線，且Pn漸近線的冪次與函數y＝xnsin中的冪次相比降低一次。那么，當n≥4 曲線族是否還存在Pn 漸近線？如果存在又具有哪些特點？這些漸近線能否用統一的形式表示出來？這些問題還有待于進一步探討。

［1］ 華東師范大學數學系．數學分析［M］．北京：高等教育出版社，2007：64－65．

［2］ 劉仕田．Pn－漸近線［J］．高師理科學刊，2009（3）：10－12．