關于不定方程x2＋y2＋p＝xyz解的探討

管訓貴

（泰州師范高等專科學校 數理信息學院，江蘇 泰州225300）

0 引言

長期以來，不定方程的求解是數論中引人關注的課題，很多數學家和數學愛好者對此做過大量的研究。［1－7］

本文利用Fermat創立的無窮遞降法研究了不定方程的正整數解問題，得出以下一般性的結果。用N＊，P分別表示全體正整數和全體奇素數的集合。

1 結果與討論

定理1 設p∈P，p＋1＝ab（a，b∈N＊，且a＞1，b＞1），則不定方程（1）的全部正整數解為

式中x與y可交換。

證明 設（1）的任一正整數解為（x，y，z）。由x，y的對稱性可假定x≥y。

或

當（4）式成立時，代入（1）可知，r2t＝2r2＋p，即r2｜p，故r＝1，t＝p＋2。

當（5）式成立時，代入（1）可知，rt＝r2＋（p＋1），即r｜（p＋1）＝ab。若r＝1，則t＝p＋2，可歸于（2）；若r＝p＋1，則t＝p＋2，由（2）知（x2，y2，z2）＝（p＋1，1，p＋2），仍可歸于（2）。故r應為p＋1的真因數且r＞1，不妨設r＝a，則t＝a＋b。

綜上所述，方程（1）的全部正整數解為（2）和（3），并且x與y可交換。

定理得證。

根據定理1直接可得如下推論（下文中Mp為Mersenne素數，Fn為Fermat素數）。

推論1 不定方程x2＋y2＋Mp＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換，1≤k≤p－1。

推論2 不定方程x2＋y2＋F0＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換。

推論3 不定方程x2＋y2＋F1＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換。

推論4 不定方程x2＋y2＋F2＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換。

推論5 不定方程x2＋y2＋F3＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換。

推論6 不定方程x2＋y2＋F4＝xyz的全部正整數解為

式中x與y可交換。

2 結語

本文的推論從另一角度給出了Mersenne素數與Fermat素數的表示方法，為研究Mersenne素數與Fermat素數開辟了一條全新的道路。

［1］ Mordell L J，Diophantine equation［M］．London：Academic Press，1969．

［2］ Guy R．Unsolved problems in Number Theory［M］．New York：Springer Verlay，2004．

［3］ 柯召，孫琦．談談不定方程［M］．上海：上海教育出版社，1980．

［4］ 管訓貴．不定方程x2＋y2＋z2＝2（xy＋yz＋zx）［J］．齊齊哈爾大學學報：自然科學版，2012，28（1）：89－91．

［5］ 周澤文．關于不定方程ax2＋y2＋z2＝axyz（a∈N＊）［J］．高等函授學報：自然科學版，2004，18（5）：23－25．

［6］ 楊小康．關于不定方程x2＋y2＋z2＝1＋dxyz［J］．齊齊哈爾大學學報：自然科學版，2010，26（6）：87－89．

［7］ 管訓貴．不定方程x3＋y3＋z3－3xyz＝n有非負整數解的充要條件［J］．四川理工學院學報：自然科學版，2011，24（4）：389－392．