基礎－結構耦合系統(tǒng)受地震作用的非線性振動

楊志安，常文潔，李高峰

（唐山學院 唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山063000）

地震是一種自然災害，它對建筑物的破壞與基礎－結構耦合系統(tǒng)非線性響應有關。其中共振區(qū)的動力性質對建筑系統(tǒng)破壞作用的影響明顯。地震通常被看做下臥基巖上的周期激震源，通過上臥土層的傳遞途徑再被分解為一系列的激振頻率。［1］所以，作用于基礎和上部結構的地震荷載與地基土的性質有關，地基參數如土層厚度、剪切波速等的變化，會使結構上地震荷載的性質和量值有明顯的差異，從而產生結構地震響應動力性質的差異。特別對于非線性動力系統(tǒng)，地基參數引起的地震荷載變化，使系統(tǒng)的地震響應產生顯著差別。只有把地基和結構作為整體系統(tǒng)來考慮，記入土體－結構的動力相互作用，才能夠真實反映地基性質對結構地震特性的影響。［2－3］以下以文獻［4－6］為基礎，從系統(tǒng)能量出發(fā)，將基礎－結構作為整體考慮，應用分析力學原理推導系統(tǒng)的非線性動力方程，而后應用多尺度法分析系統(tǒng)的三頻率組合共振問題，并進行數值計算，比較系統(tǒng)不同參數變化對共振曲線的影響。

1 基本方程

圖1所示為基礎－結構耦合系統(tǒng)受地震激勵的簡化動力模型。其中地基為均勻的彈性土層，地震作用為下臥基巖的水平運動。與土體相比，結構的整體剛性較大，可以把結構視為地基上的質點－彈性桿（即彈簧）體系。圖1中，H代表地基土厚度，m代表質點的質量，k代表結構的等效彈簧系數，s（t）代表質點相對于地面的位移，ug（t）代表基巖的水平振動位移，η代表粘滯阻尼系數。

圖1 基礎－結構耦合系統(tǒng)地震分析動力模型

將結構和土體上的水平地震力可分別表示為

式中Pm＝αmg，g代表重力加速度，α代表水平地震影響系數；Pρ＝αρg，ρ代表土的質量密度，ω代表地震激振頻率。結構彈簧的性質與結構材料的性質有關，為了反映結構材料的非線性，把彈簧視為具有恢復力－變形關系的非線性彈簧，即

式中β代表彈簧的非線性因子。對于硬彈簧和軟彈簧的情況，β分別取正負值。

地基土對地震的反應為水平剪切運動，相對于基巖的剪切位移為u＝u（z，t）。以下把基礎和結構作為系統(tǒng)整體考慮，從能量角度出發(fā)，截取一定范圍進行計算，由分析力學拉格朗日方程導出系統(tǒng)在地震作用下的非線性動力學方程。當截取的計算范圍很大時，得到系統(tǒng)的動力學方程

其中

由式（3）解得

令t＝0時，q1（t）＝0，1（t）＝0，將其分別代入上式，得

所以

同理

將式（7）和式（8）代入式（5），得

其中

2 基礎－結構耦合系統(tǒng)的三頻率組合共振理論分析

以下以ω0≈ω＋ω1－ω2為例，分析組合共振，引入組合共振調諧參數σ，上述共振關系可表示為

由多尺度法［7－9］得消除永年項的條件為

引入

將式（13）中第一式代入（12）得

將式（13）中第二式代入上式并整理得

分離實部虛部后得到組合共振的慢時變振幅a和相位φ應滿足的自治微分方程組

其中

為確定對應穩(wěn)態(tài)運動的定常解幅頻響應方程，在式（16）中令D1a＝0，D1φ＝0，得到振幅a和相位φ滿足的代數方程為

兩式平方后相加消去φ，得到組合共振的幅頻響應方程和相頻響應方程：

式（19）可以表示為

由式（19）可得組合共振的最大振幅：

它發(fā)生在

將方程（16）在（a，φ）處線性化，形成關于擾動量Δa和Δφ的自治微分方程：

利用式（18）消去上式中的φ，得到

進一步得到特征方程：

對于μ＞0，由Routh－Hurwitz判據可得定常解失穩(wěn)的條件：

3 數值計算與結果分析

由式（10）和式（11）得

按式（21）可以繪制計算系統(tǒng)組合共振的各種響應曲線。圖2至圖7為不同參數條件下系統(tǒng)組合共振的幅頻響應曲線。

圖2 幅頻響應曲線

圖3 幅頻響應曲線（ξ）

圖4 幅頻響應曲線（H）

由圖2可知此種組合共振幅頻響應曲線不存在跳躍和滯后現(xiàn)象。圖3反映阻尼比對系統(tǒng)組合共振幅頻響應曲線的影響，由圖3可知減小阻尼比可以增大系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)。圖4反映地基土層厚度對系統(tǒng)組合共振幅頻響應曲線的影響，由圖4可知減小地基土層厚度可以減小系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)，H的變化會引起共振區(qū)的強烈變化。圖5反映剪切波速時系統(tǒng)組合共振幅頻響應曲線的影響，由圖5可知剪切波速越大，系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)越小。圖6當改變彈簧非線性因子β的符號時，考慮振幅a與調諧值σ間的關系。從圖6中可以看出，只要β的數值確定，無論其是正還是負，系統(tǒng)的組合共振幅頻響應曲線均重合。結合式（29）可知，激勵幅值隨小參數ε的變化而變化，但是弱非線性的條件要求小參數ε的取值不應過大。當改變小參數ε時，考慮振幅α與調諧值σ間的關系。圖7為3種不同小參數取值時對應的系統(tǒng)組合共振幅頻響應曲線。由圖7可知，隨著小參數的增大，系統(tǒng)組合共振的振幅不變，但共振區(qū)相應減小。

圖6 幅頻響應曲線（β）

圖7 幅頻響應曲線（ε）

4 結論

應用常微分方程理論，將三自由度基礎結構耦合系統(tǒng)受地震激勵動力學方程，變換為單自由度受三頻激勵的杜芬方程。采用非線性振動的多尺度法，求得系統(tǒng)三頻率組合共振的一次近似響應曲線，分析了系統(tǒng)參數對共振響應曲線的影響。小參數變化會引起激勵幅值的變化，這是此種組合共振的特征。系統(tǒng)組合共振的振幅隨著地基土層厚度的增加而增加，隨著地基剪切波速的增加而減小，且這兩種地基參數對共振區(qū)的影響較明顯。這一點在基礎選址和工程動力學設計中要給予重視。

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