非光滑函數(shù)|x|的Newman有理插值逼近

詹 倩，許樹聲

(1.安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001;2.華東理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200237)

非光滑函數(shù)|x|的Newman有理插值逼近

詹 倩1，許樹聲2

(1.安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001;2.華東理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200237)

考慮一個(gè)新的修正后的Newman節(jié)點(diǎn)集，并給出在此節(jié)點(diǎn)集上用Newman型有理插值算子逼近非光滑函數(shù)|x|的漸近公式。不但證實(shí)基于該節(jié)點(diǎn)集上的Newman有理插值改進(jìn)了逼近效果，而且證明其精確的逼近階為O(e-?n-)，此逼近誤差的階是對Newman(見［2］)and XIE Ting-fan的提高。

函數(shù)逼近;非光滑函數(shù);Newman有理插值算子;漸近公式

0 引言

在逼近論中，函數(shù)|x|起著非常重要的作用。Weierstrass定理的Lebesgue證明就是基于函數(shù)|x|可被多項(xiàng)式逼近。眾所周知，早在1913年，Bernstein就證明了在［-1，1］上對|x|的最佳多項(xiàng)式逼近En(|x|)～，且不能改進(jìn)［1］。1964年，Newman證明了|x|在［-1，1］上的最佳有理逼近效果更好，Rn(|x|)遠(yuǎn)優(yōu)于其多項(xiàng)式最佳逼近［2］。事實(shí)上，他選擇的節(jié)點(diǎn)集是X={-a，-a2，…，-an-1，0，an-1，…，a2，a}，其中a=exp(-n-1/2)，n=1，2，…，取

并構(gòu)造有理插值函數(shù)rn(X;x)如下

Newman利用以上有理插值函數(shù)得到以下著名定理

定理 對 x∈［-1，1］，n≥5，有下式成立

顯然Newman在證明中構(gòu)造的函數(shù)rn(X;x)是在節(jié)點(diǎn)集X上對|x|的插值函數(shù)。

壓縮到［0，1］區(qū)間，即

2004年，謝庭藩和周頌平改進(jìn)了(2)式，并得到了逼近的漸近公式:［7］

下面我們將選取一類新的節(jié)點(diǎn)集，基于該節(jié)點(diǎn)集用Newman型算子對非光滑函數(shù)進(jìn)行逼近，并給出逼近的漸近公式。

1 結(jié)論及證明

下文中我們選取的一類新的節(jié)點(diǎn)集為

A為一個(gè)正常數(shù)。記

而Newman型算子rn(x)如(1)式定義。注意到f(x)與rn(x)均為偶函數(shù)，故對逼近誤差我

們只需對x∈［0，1］進(jìn)行討論。易見

定理1以下漸近等式成立

因此

應(yīng)用引理1并經(jīng)過簡單的計(jì)算可得

根據(jù)ε的定義，并經(jīng)過一系列計(jì)算可得

故聯(lián)立上式可知當(dāng)n充分大時(shí)有

x∈［ε，1］時(shí)，利用基本的不等式

得n充分大時(shí)有:

故由(3)式得:

重復(fù)上文的計(jì)算，可知當(dāng)n充分大時(shí)有

顯然取適當(dāng)?shù)腁＞0，就可以使

Ⅱ.下面證明反向不等式，我們?nèi)?/p>

故利用［7］中的引理1的不等式

可得:

因?yàn)?t0∈ (0，ε)，所以

重復(fù)前文的計(jì)算，可以得到:

聯(lián)立(4)、(5)和(6)式，即證得定理1。

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［8］XIE Ting-fan and ZHOU Song-ping.The asymptotic property of approximation to|x|by Newman type operators［J］.J.Math.Research ＆ Exposition，2005，25(1):37-41.

Rational Interpolation Approximation to Non-smooth Function|x|by Newman Operators

ZHAN Qian1，XU Shu-sheng2
(1.School of Science，Anhui University of Sciences and Technology，Huainan 232001，China;2.School of Science，East China University of Sciences and Technology，Shanghai 200237，China)

functional approximation;non-smooth function;Newman rational interpolation operators;asymptotic formula

O174.41

A

1009-3907(2013)10-1269-04

2013-09-12

2011年度安徽省高校省級自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2011Z106)

詹倩(1983-)，女，安徽淮南人，講師，碩士，主要從事函數(shù)逼近理論的研究。

文獻(xiàn)［7］中的引理2。

責(zé)任編輯:

程艷艷