極小子流形的相關研究

王 慶

(蘇州市職業大學 馬列與公共教學部，江蘇 蘇州 215104)

極小子流形的相關研究

王 慶

(蘇州市職業大學 馬列與公共教學部，江蘇 蘇州 215104)

本文主要涉及極小子流形的相關研究。通過對子流形結構的深入了解，本文使用calibrated幾何中提出的calibration，來得到極小子流形。進一步，以Rk+h中的極小錐面為例，可以得到歐氏空間中的極小超曲面。

子流形;calibration;極小錐面

0 引言

自從Euler研究面積最小的旋轉面以及Lagrange首次導出極小曲面方程以來，極小曲面論題已經歷了二百多年的發展，許多數學家在這方面做出了杰出的工作，如Chern［1］，Douglas［2］等。國內外學者對極小子流形的研究充實了微分幾何，對諸如拓撲學、幾何測度論等相關學科的發展作出了貢獻。Calibration是Harvey與Lawson等人1982年［3］中開始系統研究的，它是研究子流形的有力工具。Federer等用Kahler形式給出calibration;Gluck等用Euler形式給出calibration，并研究了Grassmann流形上用Pontragin形式作為calibration的積分子流形。近年來理論物理學家在M-理論的研究中，也開始引用這一結果。通過對子流形［4］和超曲面［5］結構的深入了解，本文使用calibrated幾何中提出的calibration，來得到極小子流形。進一步，以Rk+h中的極小錐面為例，可以得到歐氏空間中的極小超曲面。

1 極小子流形

N

黎曼流形(N，)中的m維浸入(設f:M→)子流形M，若它的平均曲率處處為零，則M是極小子流形。進一步，若M是緊致帶邊有向等距浸入光滑流形，定義它的任意一個固定邊界的變分F:M×(－ε，ε)→N，則由Ft的體積給出函數V(t)=Vol(M，(Ft)*)得到體積的第一變分公式:

其中子流形f:M→N的平均曲率向量為H，F的變分向量為ω，子流形M的體積元素為dV。體積的第二變分公式:

則M是歐氏空間中極小超曲面。

2 Riemann流形上的Calibration及其積分子流形

3 極小超曲面和Calibration

定理歐氏空間Rn+1中某區域上的calibrationξ可以得到Rn+1中的極小超曲面。

‖ξ‖ =1，計算可得

則ξ為D×R?Rn+1上的n－形式。

例下面討論Rn=Rk×Rh(n=k+h)中的錐面

由

我們得到Rk+h中區域a|y|2－|x|2+x21≥0上的(n－1)－形式

由定理3可知，Ck，h為Rk+h中的極小錐的條件為dξ=0，即

為極小錐面。Rn+1上的calibration局部可以決定Rn=Rk×Rh中的極小錐面Ck，h。

［1］S.S.Chern.Minimal Submanifolds in a Remannian Manifold［A］.Shiing-shern Chern Selected Papers［C］.Vol.4，New York:Springer-Verlag，1989:399-402.

［2］Douglas J.，Minimal surface of higher topological structure［J］.Ann，Math，1939(40):205-248.

［3］F.R.Harvey，H.B.Lawson.JR.Calibrated geometries［J］.Acta Math，1982(148):47-157.

［4］何太平，羅宏.常曲率空間中具正Ricci曲率的子流形［J］.數學年刊A輯，2011(6):679-686.

［5］高秀娟，朱穎莉.關于曲面在一點鄰近的結構研究［J］.長春大學學報，2006(6):23-26.

Correlation Research on Minimal Submanifolds

WANG Qing
(Department of Marxism and Public Courses，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper mainly studies the theory of minimal submanifolds.By means of the structure of submanifolds，it uses calibration in calibrated geometry to get the minimal submanifolds.In addition，by taking the minimal conical surface in Rk+has an example，it gets the minimal hypersurface in Euclidean Space.

minimal submanifold;calibration;minimal conical surface

O189

A

1009-3907(2013)10-1283-03

2013-09-18

王慶(1979-)，男，江蘇揚州人，講師，主要從事微分幾何與數學模型方面研究。

責任編輯:

程艷艷