用絕對重力儀測定超導重力儀格值的精度分析*

陳曉東 孫和平 張為民 郝興華

(中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢 430077)

用絕對重力儀測定超導重力儀格值的精度分析*

陳曉東 孫和平 張為民 郝興華

(中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢 430077)

討論用絕對重力儀觀測數據測定超導重力儀格值精度問題，分析影響該精度的各種可能因素。分析說明，選擇大潮期間進行格值標定對提高標定精度有利，標定計算前必須去掉儀器的線性漂移，同時還必須檢驗并改正數據間的時間偏移。以武漢臺用FG5-112絕對重力儀對GWR-C032超導重力儀的實測標定結果表明，達到0.1%的相對標定精度是比較困難的，需要非常長的絕對重力觀測時間;而達到0.2%的相對標定精度，僅需要5天的絕對重力觀測數據，且可滿足大多數超導重力儀觀測精度的需求。

FG5絕對重力儀;GWR超導重力儀;格值;儀器漂移;時間偏移

1 引言

用儀器同址觀測比對的方法獲得重力儀的格值是一種常用重力儀標定方法，廣泛應用于實際重力儀的格值測定之中［1－5］。格值標定的相對精度要求在0.1%的量級，主要是因為超導重力儀振幅因子估算的精度和目前潮汐模型中潮汐參數的相對精度都為0.1%的量級或更高［4］。儀器同址觀測比對的方法基于以下假設:在相距很近的兩測點上的重力場變化相同，兩臺儀器觀測的是同一物理量，觀測值相等，即如果已知其中一臺重力儀的格值，就可以估算另一臺重力儀的格值。

目前在觀測地球重力場的各類儀器之中，超導重力儀的觀測精度最高，其分辨率在10－11ms－2量級，觀測精度在 10－10ms－2的量級［8－10］。在利用FG5絕對重力儀測定超導重力儀格值時，許多研究人員會有這樣兩個問題:用低精度重力儀能不能測定較高精度重力儀的格值?測定格值的精度與兩臺重力儀各自的精度的關系如何?本文就這兩個問題利用實測數據進行了探討。對于第一個問題，答案是肯定的。對于第二個問題，實際上在獲得了兩臺重力儀在同一點的重力觀測數據之后，格值測定的問題就轉化為如何利用觀測數據進行估算格值，而求解問題的最終方法是線性最小二乘回歸方法，問題就轉化為格值的精度估算問題。測定格值的精度與兩臺儀器各自的精度的關系可以基于線性最小二乘回歸模型和誤差傳播定律來推導得到。

本文基于線性最小二乘回歸模型和誤差傳播定律，利用FG5絕對重力儀和GWR超導重力儀2011年在武漢臺的同址觀測數據，研究了測定超導重力儀格值時的精度估算問題，分析了影響格值測定的各種影響因素，證實了用FG5絕對重力儀測定超導重力儀格值的可行性。

2 線性最小二乘回歸數學原理

因為兩臺重力儀觀測的為同一物理場，如果儀器為線性響應，則兩列觀測數據亦呈線性關系。計算模型為:

式中，Y為FG5絕對重力儀的觀測值，X為GWR超導重力儀的觀測值，a為回歸截距項，b為回歸斜率，此處b就是我們最終要計算的格值。如果分別對X和Y進行了n次獨立觀測，得到n對觀測值(Yi，Xi)，i=1，2，…，n，則有:

對式(3)兩邊分別平方求和得，

當S(a，b)取到極小值時，則S(a，b)對于a和b的一階偏導數等于零，得:

由式(4)和(5)得a和b的估計量和為:

3 用誤差協方差傳播律推導格值精度

估計量和的誤差來源于觀測數據Xi和Yi的誤差。在估計和的精度時，因為觀測值Xi比Yi要高2個數量級，為簡單起見，我們可以假定所有觀測的偏差都是由于因變量Yi引起的，因為GWR超導重力儀的精度比FG5絕對重力儀的精度高得多，所以這樣的假設是合理的。為了便于說明問題，將假定的觀測值分別記為X'i和Y'i，X'i的中誤差 δX'為零，Y'i的中誤差(仍約為10－8ms－2)。利用誤差協方差傳播律估計和的精度時，公式(7)中所有Xi都是真值沒有誤差。所以根據誤差傳播定律，由式(7)中的最后一項，得到的中誤差δ的平方為:

當回歸方程是由觀測數據擬合出來時，則SX'Y'提供了關于δY'的具有n－2個自由度的估計。

當用殘差均方差SX'Y'替代δY'時，兩臺儀器的觀測值X'i和Y'i中不是由于重力場變化引起的觀測值變化會影響的估算，可能的因素有儀器的漂移、時間偏移、線性量程的范圍等。儀器漂移的不同對估算的影響是顯然的，因為兩臺儀器的漂移不可能還適用式(1)給出的模型，所以在計算格值前必須要去掉漂移的影響。儀器的時間偏移使得兩套儀器的觀測時間序列不對應，這對于估算的影響也是顯而易見的，通常將其中的一個數據序列前后移動一個或幾個采樣間隔使得觀測曲線的峰值和谷值對應即可去掉時間偏移的影響。儀器線性量程的范圍使得只有在線性量程范圍之內的觀測值才適用式(1)給出的模型，超出線性量程范圍的觀測值對于的估算顯然也是不利的。

4 用FG5-112絕對重力儀測定GWRC032超導重力儀的格值

4.1 觀測方案的制定

按照分析，觀測在大潮期間對于提高測定精度有利，因此在觀測之前需要進行重力潮汐預報值的計算。我們用武漢臺超導重力儀的觀測潮汐參數事先計算了2011年2月15日—3月31日的重力潮汐預報值(圖1)。實際觀測時間從2011年3月3日12時0分10秒開始到3月7日1時19分50秒結束(圖1中兩條粗黑實線之間)，剛好在大潮期間。考慮到FG5-112絕對重力儀每一個落體對儀器都有損害，不能連續地長時間觀測，FG5-112絕對重力儀的觀測方案如下:每10秒鐘一個觀測值，觀測20分鐘，停測10分鐘，觀測5天。

圖1 預報重力潮汐和標定工作實際觀測時間段Fig.1 Predicted gravity tides and observing time period of the calibration work

關于觀測時間天數的確定，參考以前的觀測經驗［1－3］，觀測天數不能太少也不能太多，考慮到實測數據中的異常觀測數據，5天的連續觀測比較合適。

4.2 觀測數據中儀器線性漂移、時間偏移、長期漂移的檢驗

FG5-112絕對重力儀的觀測數據如圖2中的十字曲線所示，對應的GWR-C032超導重力儀的觀測數據如圖2中實曲線所示，為了與絕對重力儀的觀測數據相比較，超導重力儀的觀測數據已乘以－1，絕對重力儀已經減去了一個常數，并且兩個數據都只畫出在縱坐標軸刻度范圍內的觀測值。FG5絕對重力儀觀測時間共計3天13時19分40秒，共記錄10 320個觀測值。

圖2 FG5-112絕對重力儀和GWR-C032超導重力儀觀測值及其各自線性儀器漂移Fig.2 Observed data of the FG5-112 absolute gravimeter and the GWR-C032 superconducting gravimeter，and their linear instrumental drifts respectively

儀器長期漂移的檢驗通常只檢驗線性儀器漂移，主要原因是在觀測時間段內兩種類型的重力儀的儀器漂移都非常小，可以近似為線性變化。對觀測數據進行線性擬合，看擬合直線的斜率的大小。如圖2中所示，FG5-112絕對重力儀的線性漂移為虛直線，其斜率約為 0.000 1 ×10－8ms－2，5 天的漂移約有 4.32 ×10－8ms－2;GWR-C032 超導重力儀的線性漂移為實直線，其斜率約為0.000 001 15V，5天的漂移約有0.05V。在進行格值計算之前，儀器漂移必須去掉，并且還要注意異常數據對漂移的影響。

檢驗時間偏移的方法是圖形法，因為一般情況下絕對重力觀測前都要與超導重力儀的時間系統校對，但是還是有儀器中各種電路的響應時間差。有兩種作圖形式可以看時間差:1)如圖3將兩個時間序列的橫軸為時間，將兩臺儀器的觀測數據時間序列作在同一個圖形中作比較，如果有時間偏移，則峰值和谷值不會完美對應;2)如圖4以兩個時間序列的數據分別作為橫軸和縱軸，看兩個時間序列的線性關系，如果是完全線性的，則無時間偏移;如果線性關系呈橢圓形，則存在時間偏移(如圖3將超導重力儀觀測值前移10分鐘后，兩觀測值呈橢圓形狀)。通常兩種圖形一起來檢驗是否有時間偏移。如果存在時間偏移，需要移動其中的一個觀測序列，一般移動采樣率高的時間序列，必要的時候，還可以對數據進行插值。從圖2中可以看出，絕對和超導重力儀觀測值在時間序列中峰值和谷值完全對應，看不出時間偏移;從圖4中也可以看出，兩個時間序列呈完全線性關系，看不出有絲毫的橢圓形，所以本次標定中無明顯的時間偏移。

圖3 絕對和超導重力觀測值的線性關系(超導觀測值前移10分鐘后)Fig.3 Linear relationship of the observations of the absolute and superconducting gravimeters(the data from the superconducting gravimeter are shifted 10 minutes ahead)

4.3 標定計算結果與分析

在去掉線性漂移后，我們采用線性迭代回歸對圖4中所示的FG5-112絕對重力儀和GWR-C032超導重力儀觀測數據進行回歸計算，回歸殘差的均方差作為中誤差，以三倍中誤差作為剔除異常觀測的限差，每次迭代中都去掉了兩臺重力儀各自的儀器漂移，當格值因子的變化小于0.001時停止迭代。實際計算中迭代5次后計算終止，此時參與格值計算的絕對和超導重力儀觀測值如圖5所示，共9 859對觀測值，絕對重力儀的數據利用率為用率約為95%。計算得到的格值為(－84.557 4±0.158 4)×10－8ms－2/V，相對標定精度為0.19%。從圖5 可以看出，通過迭代，異常觀測值得到了剔除，非常好地保留了有效觀測值，說明迭代計算的有效性。

圖4 絕對和超導重力觀測值的線性關系Fig.4 Linear relationship of the observations of the absolute and superconducting gravimeters

圖5 絕對和超導重力觀測值的線性關系Fig.5 Linear relationship of the observations of the absolute and superconducting gravimeters

利用得到的參與計算格值的9 859個數據，探討觀測值的個數與格值計算精度間的關系。以100個數據對為每次增加的參與計算格值的數據，首次計算使用100個數據對。圖6給出了格值及其估算精度隨數據對個數的變化，格值及其精度都是從第1 000個數據對開始作圖的，前面100～900個數據對的結果格值及其精度變化太大，顯然與最終的計算結果相差太遠，不予考慮。從圖6可以看出，隨著計算數據對個數的增加，格值迅速穩定到最終測定的格值附近，其精度也迅速減小，隨著觀測個數對的增加，估算精度越來越高。從第2 000個觀測對到第9 000個觀測對，對應的觀測時間約從1天到4.5天，格值精度約從 0.4 ×10－8ms－2/V 提高到 0.2 ×10－8ms－2/V，并且觀測對數量的增加對于格值的相對精度的提高越來越小，要達到0.1%的相對精度，參考上面的最終格值，約為 0.08 ×10－8ms－2/V，需要較長時間的絕對重力觀測，對絕對重力儀的損害較大。另外，從圖6還可以看出，在有效觀測對數從100達到5 600個時，格值為減小的趨勢，到達5 600個觀測對以后，格值在不斷發生微小變化，變化似乎有周期性，與此同時格值的精度卻不斷提高。這說明還有其他的未知因素在影響格值趨于穩定。

圖6 格值及其精度與觀測對個數的關系Fig.6 Relationship between the calibration factor，its accuracy and the number of pairs of data

另外，對于相對重力儀格值的相對標定精度，不需要非要達到0.1%相對標定精度。解釋如下:重力潮汐的變化幅度在 350 ×10－8ms－2以內，格值0.2%的變化最大可引起重力潮汐總的變化為0.7×10－8ms－2。由于地球背景噪聲的影響，大多數超導重力儀的殘差標準差大約在0.5×10－8ms－2，許多其他類型的相對重力儀遠大于 0.7×10－8ms－2，所以0.2%的標定精度基本滿足大多數相對重力儀(包括超導重力儀)的標定需要。因此在用絕對重力儀對其他相對重力儀(包括超導重力儀)進行格值測定時，建議5天的連續觀測使標定精度達到0.2%時即可。

5 結論

利用武漢地震臺FG5-112絕對重力儀測定GWR-C032超導重力儀格值的實驗表明，要達到0.1%的標定精度需要較長的觀測時間，對絕對重力儀的損害較大，費時費錢，不實用。建議5天的連續觀測使相對標定精度達到0.2%時即可，0.2%的標定精度基本滿足相對重力儀(包括超導重力儀)觀測數據標定的需要。

1 Sun H P，et al，Accurate determination of calibration factor for tidal gravity observation of a GWR-superconducting gravimeter［J］.Acta Seismologica Sinica，2001，14(6):692－700.

2 Hwang C，et al，Results from parallel superconducting and absolute gravimetric observations and GPS at the Hsinchu(HS)station of GGP，Taiwan［J］.J Geophys R.，(solid earth)， 2009， 114， B07406， Doi:10. 1029/2008JB006195.

3 邢樂林，等.利用絕對重力測量精密測定超導重力儀的格值因子［J］.大地測量與地球動力學，2010，(1):48－50.(Xing Lelin，et al，Scale factor calibration of a superconducting gravimeter by using absolute gravimetry［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，(1):48 －50)

4 Riccardi U，et al.On the accuracy of the calibration of superconducting gravimeters using absolute and spring sensors:a critical comparison［J］.Pure Appl Geophys.，2011，doi:10.1007/s00024－011－0398－8.

5 Meurers B.Superconducting gravimeter calibration by co-located gravity observations:results from GWRC025［J］.Inter J Geophys.，2012，article ID 954271，doi:10.1155/2012/954271.

6 王勇，張為民.FG5絕對重力儀［J］.地殼形變與地震，1996，16(2):94 －97.(Wang Yong and Zhang Weimin，FG5 absolute gravimeter［J］.Crustal Deformation and Earthquake，1996，6(2):94 －97)

7 張為民，等.中國地殼運動觀測網絡基準站絕對重力的測定［J］.地殼形變與地震，2001，21(4):114－116.(Zhang Weimin，et al，Observation of the absolute gravity for the benchmark stations of the Crustal Movement observation Network of China［J］.Crustal Deformation and Earthquake，2001，(4):114－116)

8 孫和平，等.我國GWR超導重力儀觀測資料應用研究進展［J］.大地測量與地球動力學，2002，(4):106－111.(Sun Heping，et al，Progress in application study of gravity observations recorded with a GWR superconducting gravimeter in China［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2002，(4):106－111)

ACCURACY ANALYSIS ON DETERMINATION OF CALIBRATION FACTOR OF A SUPERCONDUCTING GRAVIMETER USING AN ABSOLUTE GRAVIMETER

Chen Xiaodong，Sun Heping，Zhang Weimin and Hao Xinghua
(State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，CAS，Wuhan430077)

The accuracy estimation of the determination of the calibration factor of a superconducting gravimeter using an absolute gravimeter is discussed in detail.Possible factors affecting the accuracy are analyzed.The result indicates that it can minimize the accuracy to choose the observation period as the large tide period.The linear instrumental drift must be deducted before calculation，and the time shift must be checked and corrected.As an example，the calibration experiment at Wuhan station using an absolute FG5-112 gravimeter to calibrate the GWRC032 superconducting gravimeter shows that it is comparatively difficult to achieve a relative calibration accuracy of 0.1%，which need very long time absolute gravity data.However，a relative calibration accuracy of 0.2%can meet the requirements to calibrate most of the superconducting gravimeters，and this accuracy can be reached using about 5 days absolute gravity data.

FG5 absolute gravimeter;GWR superconducting gravimeter;calibration factor;instrumental drift;time shift

P207

A

1671-5942(2013)05-0145-05

2013-02-18

國家自然科學基金(41021003，40904019，41074053，41004009);大地測量與地球動力學國家實驗室基金(L10-09)

陳曉東:男，1975年生，博士，副研究員，主要研究方向為地球重力場、重力潮汐理論研究和觀測數據處理、重力儀的標定、重力潮汐數據應用.E －mail:chenxd@whigg.ac.cn