基于Adams積分的GLONASS衛星位置解算

呂 達，饒才杰，劉 巖，白志強

(中國航天科工信息技術研究院，北京100070)

0 引言

組合GPS/GLONASS增加了觀測衛星的個數，提高了衛星的可用性，改善了衛星定位的幾何結構，通過融合可以提高定位精度和可用性，解決GPS網絡RTK定位中困難地區的定位問題，具有重要應用價值［1，2］。因此，研究 GLONASS 系統定位尤其是組合定位有重要實用價值。如何根據GLONASS廣播星歷進行衛星位置計算是組合定位的重要一環。GLONASS廣播導航電文沒有給出開普勒軌道參數，對于一個給定的時刻，不能通過最新的導航電文參考時刻的開普勒軌道參數直接計算衛星位置。GLONASS導航電文給出的是PZ-90坐標系下參考時刻衛星的運動狀態向量，包括參考時刻衛星的位置、速度和日月攝動加速度等，每30 min更新一次，這決定了對于某一時刻的衛星位置，需要以上述的衛星運動狀態向量為初值，采用受力模型通過積分得到［3］。

大量的國外文獻對GPS衛星位置的計算方法進行了闡述，但對GLONASS衛星位置計算方法的研究較少。目前GLONASS衛星軌道數值積分方法主要有龍格—庫塔法(Runge-Kutta)，其中以四階龍格—庫塔法最為常用(簡稱R-K法)。文獻［4］等推導了GLONASS衛星在地固坐標系中的運動方程，并簡要介紹了利用龍格—庫塔法進行軌道積分的數值結果;文獻［5］對龍格—庫塔法進行了分析;文獻［6］利用龍格—庫塔法實現了GLONASS衛星軌道求解;文獻［7］完成了定步長龍格—庫塔法的計算程序。但是，龍格—庫塔法在計算某一時刻衛星位置和速度時只用到前一步的信息，為了保證定位精度，需要多次重新計算多個點處的函數值［8］，計算量較大。這里采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛星軌道積分法來實現GLONASS衛星位置解算，該方法通過較多地利用前面幾步的已知信息，在保證較高精度的前提下，運算量降低為龍格—庫塔法的50%，同時穩定性更好。實驗結果表明，新方法是一種求解GLONASS衛星位置的有效方法。

1 衛星的運動方程

GLONASS衛星在 PZ-90坐標系下的運動方程為［3］:

式中，x，y，z分別表示衛星在PZ-90坐標系下的坐標;vx，vy，vz分別表示3個方向的衛星速度;地球引力常量μ=398 600.44 km3/s2;衛星到地球質心的距離r=;地球的長半軸ae=6 378.136 km;地球重力位第二帶諧系數=0.001 082 63;地球自轉速度 ω =0.000 072 921 15 rad/s;為日月攝動加速度。t時刻式(1)的函數形式可以表示為:

2 Adams衛星位置計算方法

GLONASS衛星運動方程在 x，y，z三方向的分式均可以抽象成如下微分方程:

其等價的積分方程為:

采用插值多項式代P(t)替上式右端的被積函數，從而使其離散化以得到數值公式:

則 Adams顯式公式為［8］:

Adams隱式公式為［8］:

本文研究應用 Adams線性多步法來進行GLONASS衛星位置解算，通過較多地利用前面幾步的已知信息，來構造計算量小、精度高的GLONASS衛星位置解算的新算法。Adams性多步公式包括隱式方法和顯式方法，同階的隱式公式比顯式公式精確，而且穩定性也好。這里將四步四階顯示公式作為預測公式，將三步四階隱式公式作為校正公式聯合使用，如式(8)所示:

截斷誤差分別為:

用局部截斷誤差進一步修正預測值和校正值，可以得到更精確的預測—校正公式:

將GLONASS衛星的加速度值代入式(8)進行積分，就得到了GLONASS衛星的速度，對速度值進一步積分，就可以得到GLONASS衛星的位置坐標。采用修正后的預測校正公式(10)可以進一步減小截斷誤差。

3 Adams積分法與龍格—庫塔法比較

Adams算法的計算量大約是R-K方法的50%。采用四階龍格—庫塔法進行一步積分運算公式如下:

使用龍格—庫塔法由yn計算yn+1時，只用到前一步的信息yn，為了提高運算精度，需要重新計算4次函數值f(x)。采用Adams由yn計算yn+1時，用到前4 步的信息 yn－3、yn－2、yn－1和 yn，只需分別計算1次函數值f(x)、f(x+1)，運算量相當于計算2次函數值f(x)。由于計算函數值f(x)(即加速度)是GLONASS軌道積分過程中運算量較大的部分，所以Adams算法運算量大約是龍格—庫塔法的50%。

使用Adams預測校正公式可以達到龍格—庫塔法相同的精度，使用修正Adams預測校正公式的精度可以比R-K方法高一階，使預測校正公式的截斷誤差達到o(h6)。

4 實驗結果及分析

選取2009年8月29日23:45至2009年8月31日16:45每間隔半小時共82個時刻，GLONASS 2號衛星的廣播星歷作為實驗數據。

分別使用Adams方法與R-K方法，以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:45每半小時間隔的參考時間向前軌道積分30 min，得到2009年8月30日00:15至2009年8月31日16:15半小時間隔的共81個時刻的，GLONASS 2號衛星位置的X、Y、Z坐標，再將計算結果與廣播星歷里給出的衛星坐標進行比較，得到二者差值的統計結果如表1所示。

分別使用Adams方法與R-K方法，以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:15每半小時間隔的參考時間向前軌道積分60 min，得到2009年8月30日00:45至2009年8月31日16:15半小時間隔的共80個時刻的GLONASS 2號衛星位置的X、Y、Z坐標，再將計算結果與廣播星歷里給出的衛星坐標進行比較，得到二者差值的統計結果如表2所示。

表1 30 min軌道積分結果 (單位:m)

表2 60 min軌道積分結果 (單位:m)

對試驗數據分析如下:

①向前積分30 min，選取不同步長對2種算法的誤差影響不大，2種算法誤差都比較小，但Adams算法比R-K算法誤差的均值要小。向前積分60 min，Adams算法優勢更加明顯，如以200為步長積分時，R-K算法距離誤差均值為 8.971 7，而Adams法為 8.689 3。

②隨著積分時間延長，2種算法的誤差隨之增大，但Adams算法的均值誤差小于R-K算法，且隨著積分時間越長越明顯，說明Adams算法穩定性［8］優于R-K算法。

③采用R-K方法進行一步積分，需要計算4次三維方向的加速度;采用Adams進行一次運算，只需要計算2次;由于軌道積分運算的代價主要取決于計算加速度的次數，所以Adams算法的運算量約為R-K算法的50%。

5 結束語

采用了Adams預測校正公式進行GLONASS衛星位置解算，并采用GLONASS的廣播星歷對新算法和R-K算法的積分結果和運算效率進行分析，證明了所提方法是一種有效的GLONASS衛星位置解算方法。與四階R-K算法相比，新算法精度高、穩定性好，而且運算量降低了50%。采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛星軌道積分法進行GLONASS位置解算，對確保多系統兼容GNSS接收機的精度、實時性等方面有重要意義。

［1］Bruyninx Carine.Comparing GPS – only with GPS+GLONASS Positioning in a Regional Permanent GNSS Network［J］.GPS Solutions，2007，11(2):97-106.

［2］Alexei E Zinoviev.Using GLONASS in Combined GNSS Receivers:Current Status［C］∥ION GNSS 18th International Technical Meeting of the Satellite Division.Long Beach，CA，USA，2005:1 046-1 057.

［3］ICD-GLONASS.GLONASSInterface Control Document Version 5.1，ICD 2008E［M］.Moscow:Coordination Scientific Information Center，2008.

［4］葛茂榮，過靜珺，葛勝杰.GLONASS衛星坐標的計算方法［J］.測繪通報，1999(2):2-4.

［5］楊 劍，王澤民，孟 泱，等.GLONASS衛星軌道積分算法分析［J］.武漢大學學報:信息科學版，2006，31(7):613-615.

［6］李建文.GLONASS衛星導航系統及GPS/GLONASS組合應用研究［D］.鄭州:信息工程大學，2001:25-29.

［7］葛 奎，王解先.GLONASS衛星位置計算與程序實現［J］.測繪與空間地理信息，2009，32(2):137-140.

［8］丁麗娟，程杞元.數值計算方法［M］.北京理工大學出版社，2008:241-246.