一種高精度低復雜度波達方向估計新方法

楊小鳳

(玉林師范學院電子與通信工程學院，廣西玉林 537000)

0 引言

DOA估計在波束形成、信號檢測和定位等領域有著廣泛的應用。波束形成和信號檢測技術采用實時DOA估計，二者對估計精度的要求并不高。定位技術是在移動自主網(Mobile Ad-hoc Network)中實現頻譜共享和分配的關鍵，它需要高精度的DOA估計［1－3］;另一方面，移動自主網中的節點存在資源有限的特點，因此定位機制采用的DOA估計又必須滿足低復雜度的要求。

為此，諸多DOA估計算法被提出來，比如，延遲相加法(Delay-and-Sum，DAS)［4］、多重信號分類算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)［5］和求根MUSIC 算法(Root-MUSIC)［6］。DAS 對不同的掃描方向形成不同的權值，將陣列天線各陣元的輸出進行加權求和，從陣列輸出功率峰值點判定DOA。DAS的DOA估計精度不高，然而，它的低復雜度性能使得它適合用于實時粗略的DOA估計。此法運算簡單，易于在FPGA系統上實現。MUSIC通過對陣列接收數據的數學分解，將數據劃分為2個正交的子空間:信號子空間和噪聲子空間，利用2個子空間的正交特性構造出“針狀”空間譜峰，大大提高了DOA估計的分辨力。Root-MUSIC是MUSIC的多項式求根形式，利用噪聲子空間構造一個多項式，通過求解多項式最接近單位圓的根來估計DOA。相比于 MUSIC，Root-MUSIC具有更高的精度和分辨力［7］，適合用于精準的DOA估計，而復雜度較DAS高得多，實現難度較大。總體而言，現有的DOA估計算法未能同時具備高精度和低復雜度的特點，直接應用于移動自主網中定位節點的效果并不理想。

為了解決現有定位方法難以同時達到高精度和低復雜度的問題，提出了一種新穎方法，即將DAS和Root-MUSIC進行聯合DOA估計，分別用于定位過程的粗略檢測和精準定位2個階段:第1階段的估計結果為第2階段估計的基礎，并為降低后者的復雜度服務，最終以1+1＜2的復雜度獲得了1+1≥2的精度。給出了該方法的實現步驟，并通過Matlab仿真實驗證明了其良好的估計性能。

1 DAS和Root-MUSIC算法

1.1 陣列信號模型

假設信號源為窄帶遠場信號，信號到達角度為θ;采用陣元數為M的均勻線陣，陣元間距d=λ/2，λ為波長;噪聲序列為零均值高斯過程，各陣元間噪聲相互獨立，噪聲與信號也相互獨立。

第i個陣元上接收到的信號的相對于第1個陣元的相移為:

第i個陣元上接收到的信號可表示為:

式中，s為信號源;n為噪聲。

M個陣元接收到的信號表示為矢量的形式，即

式中，φ為信號導向矢量(steering vector);L為快拍數。

1.2 DAS算法的SDR實現

DAS的輸出信號是各陣元輸出的線性加權和:

式中，A為接收信號的幅值;ω為其中心頻率;θ'為其隨機相位;φi(θ)見式(1)。

θt為［－90°，+90°］之間以 Δθt為間隔的掃描角度，在每一個掃描角度測量輸出信號的功率:

其最大值對應的角度即為信號入射方向，即

由于接收信號受高斯噪聲的影響，所以式(7)的DOA估計結果包含誤差。為了減小誤差，對輸出功率進行T次獨立測量，采用最大似然估計準則估計包含噪聲影響的輸出功率:

由于該法的估計分辨力為Δθt，為了改善估計精度，采集空間功率譜最大值這一點及其附近幾個數據點，使用最小二乘法求這些數據點的二次擬合多項式，再求使得該多項式取得最大值的角度即為DOA。

1.3 Root-MUSIC算法的SDR實現

陣列信號的協方差矩陣為:

式中，L為快拍數。

對RX進行特征分解，由小特征值對應的特征矢量張成的噪聲子空間VN和信號導向矢量φ正交，即

該特性使得MUSIC空間譜產生峰值:

Root-MUSIC將式(11)的分母改寫成一個關于Z的多項式:

式中，M為陣元數;Ck為矩陣C=第k條對角線上的元素之和，即

解出式(12)的2M－2個根，從其中位于單位元上的根的相位可求出DOA:

1.4 算法復雜度分析

以實現算法的過程中使用的乘法運算的個數(Number of Multiplications，NOM)作為算法復雜度的度量。

對于DAS(使用二次擬合多項式估算DOA)，其NOM為:

當陣元數 M=6、快拍數L=5、掃描角度間隔Δθt=5°、二次擬合多項式的數據點數Q=5時，DAS的NOM=4830。

對于Root-MUSIC，其NOM主要集中在求RX，對RX進行特征分解及求根這3步，分別對應NOMA，NOMB及NOMC:

將式(17)、式(18)和式(19)相加，得到實現Root-MUSIC所需NOM為:

當陣元數M=6，快拍數 L=5時，Root-MUSIC的NOM=12019。而相同條件下，DAS的NOM要少得多。因此，DAS較低的復雜度使其適合用于實時粗略DOA估計;Root-MUSIC適合用于精準DOA估計，而復雜度較高，設法減少求根個數是降低復雜度的關鍵。

2 DAS和Root-MUSIC聯合估計法

綜合DAS低復雜度和Root-MUSIC高估計精度的優點，提出一種將DAS和Root-MUSIC聯合估計法，實現了以較低的復雜度獲得近似于單獨采用Root-MUSIC所達到的高精度。該方法分為2個階段:首先采用DAS進行粗略DOA估計。該結果為第2階段進行精準定位的Root-MUSIC的基礎，利用牛頓法［8］使Root-MUSIC僅需要求解多項式的一個根(常規Root-MUSIC需要求解2M－2個根)，從而降低了Root-MUSIC的復雜度。具體過程如下:

② 求f(Zi)，f(Z)見式(12);

③過這一點作多項式曲線的切線，斜率為f'(Zi);

④求切線的零點Zi+1=

⑤重復步驟②～步驟④，直至估計結果足夠精確。

聯合估計法中Root-MUSIC的NOM為:

當陣元數M=6、快拍數L=50時，聯合估計法中 Root-MUSIC的 NOM=10742，而 DAS的 NOM=4830，二者之和NOM=15572，相比于相同條件下常規Root-MUSIC的NOM=18522要少。

3 Matlab仿真實驗及性能分析

為了驗證DAS和Root-MUSIC聯合估計法相對于DAS和常規Root-MUSIC在性能(包括估計精度和復雜度)上的優越性，這里給出基于上述陣列信號模型的Matlab仿真實驗結果及分析。將估計的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為估計精度的度量:

式中，T為獨立實驗的次數;θ^i為第i次實驗估計的DOA;θ為實際DOA。

實驗1探討了聯合估計法中第1階段DAS的估計精度對第2階段Root-MUSIC的估計精度的影響。實驗條件:陣元數=6，信源數=1，快拍數=50，獨立實驗次數=500，SNR=15 dB。仿真結果如圖1所示。從圖1可以看出，第1階段DAS的RMSE達到某一門限值后會導致第2階段Root-MUSIC的RMSE急劇增大。DOA越大，聯合估計法對DAS的RMSE要求越低，只要DAS的RMSE控制在2.5°以內，就能為Root-MUSIC提供有效的估計近似初始值，最終達到理想的估計精度。

圖1 聯合估計法中2種方法估計精度的關系

實驗2比較了DAS、常規Root-MUSIC及聯合估計法的估計精度隨DOA變化的趨勢。實驗條件:陣元數=6，信源數=1，快拍數=50，獨立實驗次數=500，SNR=15 dB。仿真結果如圖2所示。從圖2可以看出，三者的估計精度隨DOA變化的趨勢呈碗底狀，DAS的變化趨勢更為陡峭。相同條件下聯合估計法和常規Root-MUSIC的RMSE幾乎完全相等，和DAS的RMSE相比少一半以上。

實驗3比較了DAS、常規Root-MUSIC及聯合估計法的估計精度隨實現的復雜度(Complexity，#of Multiplications)變化的趨勢。實驗條件:陣元數=6，信源數 =1，DOA=30°，獨立實驗次數 =500，SNR=15 dB。仿真結果如圖3所示。從圖3可以看出，三者的RMSE隨復雜度的增大而急劇下降，直至復雜度達到某一門限值后，再增大復雜度而RMSE基本不變。為達到相同的估計精度，聯合估計法的復雜度比常規Root-MUSIC的低。

圖2 3種方法的估計精度隨DOA變化的趨勢

圖3 3種方法的估計精度隨實現的復雜度變化的趨勢

實驗4探討了聯合估計法在多徑傳播條件下的估計精度。實驗條件:假設接收信號為一路非視距(NLOS)與視距(Line-of-Sight，LOS)信號的疊加，二者的到達角度差(Direction Difference)為Δθ，功率比為PNLOS/PLOS;陣元數=6，視距DOA=30°，快拍數=50，獨立實驗次數=500，SNR=15 dB。仿真結果如圖4所示。

圖4 聯合估計法在多徑傳播條件下的估計精度

從圖4可以看出，聯合估計法的估計精度隨Δθ變化的趨勢呈波浪狀，這是因為NLOS信號頻譜的主瓣和LOS信號頻譜的旁瓣相干擾，當旁瓣的能量增至足夠大時就被當作主瓣，就產生較大的估計誤差。

4 結束語

在分析了延遲相加法和Root-MUSIC的實現復雜度的基礎上，提出了一種應用于在移動自主網的節點定位的將二者進行聯合DOA估計法，實現了以較低的復雜度獲得近似于單獨采用Root-MUSIC所達到的高精度。該方法分為2個階段:首先采用DAS進行粗略DOA估計;該結果為第2階段進行精準定位的Root-MUSIC的基礎，利用牛頓法使Root-MUSIC僅需要求解多項式的一個根，從而降低了估計方法整體的復雜度。仿真實驗證明了其良好的估計性能。 ■

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