淺談級數的斂散性

王曉紅

（榆次第一職業中專學校，山西 晉中 0 3 0 6 0 0）

一、級數的相關概念

級數包括常數項級數和函數級數。研究級數時,我們要把常數項級數與函數級數全面考慮在內,這樣才能整體性地掌握級數。

（一）常數項級數

1.常數項級數的定義

一般人們對事物數量特征方面的認識需要經過一段由近似到精確的過程。在這個認識事物數量特征的過程中，會遇到由有限個實數相加發展到無限個實數相加的問題。如：有一根繩子,每天取一半,那么可得

上式是一個無窮等比級數的和,且可以直觀地得出其和是整數。

定義1：給定一個數列｛U n｝,對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式稱為數項級數或無窮級數（也常簡稱級數）,其中U n稱為數項級數（1）的通項。

，稱

它為數項級數（1）的第n個部分和，也簡稱部分和。

2.常見的常數項級數

是P—級數。

3.定義數項級數的斂散性

無窮數項級數和一般形式我們定義為Sn=U1+U2+

那么,無窮數項級數相加的“和數”有什么實質性的意義呢？由級數的定義（1）我們能夠得一個數列｛Sn｝,這里的｛Sn｝,表示為則顯然可得。下面給出常數項級數斂散性的定義：

定義2若數項級數（1）的部分和數列｛Sn｝收斂于S（即）

,則稱數項級數（1）收斂,稱 S為數項級數（1）的和，記作或。

若｛Sn｝是發散數列,則稱數項級數（1）發散。

這里我們應該注意的是：討論無窮級數的收斂問題時,實質上是研究部分和數列的收斂問題。

（二）函數項級數

1.函數項級數的定義

作為分析學分支之一的級數理論,與微積分學兩者常常結合起來,出現在其他的分支中,兩者都是將連續與離散結合起來以極限為基礎來研究分析學的對象,即主要研究函數—變量之間的相互關系。級數作為研究函數的重要工具,無論是在理論方面還是在實際應用方面都有著重要的地位。

函數列是指定義在同一數集上的函數：f1，f2，f3，…，fn…，一般記為｛fn｝或 fn,n=1，2，3…下面給出函數項級數的定義。

定義3：設｛un（x）｝是定義在數集E上的一個函數列，表達式稱為定義在E上的函數項級數，簡記為。

稱為函數項級數（9）的部分和函數列。

2.函數項級數的斂散性

一個函數列｛fn｝若它在點X0收斂，怎么要求數列：f1（X）0，f（2X）0，f（3X）0，…f（nX）0，（X0E）收斂？若函數列收斂于數集 D,則有函數列 f1，f2，f3，…fn，…在數集 DE上的每一個點都收斂。函數項級數是由函數列的和組成的,函數項級數的斂散性見下：。

（3）P— 級數。

定義4：設｛Sn（x）｝是函數項級數Σun（x）的部分和函數列。若｛Sn（x）｝在數集D上一致收斂于函數Sn（x），則稱函數項級數Σun（x）在D上一致收斂于函數S（x）,或稱Σun（x）在D上一致收斂。

二、級數斂散性的一些基本性質

級數的斂散性問題常常被看作是研究級數的首要問題。要研究級數的斂散性問題,下面先給出級數的一些基本性質：

，此處的α，β是任意的兩個實數。

性質2：在級數中任意添加、刪除、改變有限個項,不改變級數的斂散性。（可能影響級數的和）

性質3：對收斂的級數,可以任意添加括號而不會改變級數的收斂性與和。（可用于判定級數發散）

三、介紹級數斂散性的判別方法

級數的一些基本性質可以幫助我們判斷級數的斂散性，但是在實際問題中，僅僅利用級數的基本性質判斷級數的斂散性是遠遠不夠的，往往有一定的困難性。因此,除了運用級數的基本性質判斷級數的斂散性外,還有一些重要的級數斂散性判別法能夠簡潔方便地判斷一類級數的斂散性。論文將著重介紹這些判別方法,如柯西判別法、阿貝耳判別法、狄利克雷判別法、達朗貝爾判別法。

（一）Cauchy判別法

無論是正項級數判別斂散性,還是函數級數判別斂散性都用到了柯西判別法。可見,柯西判別法在級數斂散性的判別中有著重要的作用。

1.柯西判別法在正項級數中的應用

在正項級數中的柯西判別法也稱作是根式判別法。一般的根式判別法指的是：設正項級數為Σan,an的n次根存在，且an的n次根的極限等于正常數q，即存在

。則有：

（2）如果級數發散，則從某一項起q＞1。

（3）如果級數的斂散性不定，則q=1。

,可得an≤qn,當0＜q＜1時,等比

級數Σqn收斂，根據比較原則，級數在0＜q＜1

時也收斂。

時發散。

的斂

散性。

證：因

則

即

所以

2.柯西判別法在函數項級數中的應用

柯西判別法在函數項級數中應用廣泛,是函數項級數判斷斂散性的一種基本方法。

收斂→←對任給的ε＞0，存在 N,使得當 n＞N時，對一切自然數 p成立。

,可得 bn=n,則級數

發散。又因為。

在 p，使，根據Cauchy

（二）Adel判別法

1.阿貝耳判別法在數項級數中的應用

Adel(阿貝耳)判別法：設

（1）｛an｝是單調有界數列；

，且an

綜上可得：｛an｝是單調有界數列，級數是收斂的，根據阿貝耳判別法得級數是收斂的。

2.判別法在函數項級數中的應用

（x∈I）若有：

（1）｛an｝在 I上一致有界,且對每個固定的 x∈I,｛an｝是非負遞減數列。

在I一致收斂.則級數在I上收斂。

則可得a的取值范圍為

n

2時,an取最小值,當h=2時，an取最大值。

由上可得,an有界收斂,由阿貝

（三）Dirichlet判別法

狄利克雷判別法主要用于判定數項級數的斂散性、函數項級數的一致收斂等等。通常狄利克雷判別法與阿貝耳判別法合在一起稱之為A-D判別法。

1.狄利克雷判別法在數項級數中的應用

Dirichle（t狄利克雷）判別法：若數列bn單調且n→∞時bn→0，而級數

Σanbn的部分和數列sn有界,則級數收斂。

在區間[m,n]上的斂散性。

。

界的。

在區間[m,n]

上是一致收斂的。

2.狄利克雷判別法在函數項級數中的應用

Dirichle（t狄利克雷）判別法：設：

（1）部分和A（nx）在M上一致有界。

（2）當n→∞時,在M上b（nx）0。

（3）對于任何固定的 x∈M，數列｛bn（x）｝都是單調的。那么，級數在M上一致收斂。

根據狄利克雷判別法，b=1單調趨于0，有界,那么nn級數收斂。

在解題過程中，能用阿貝耳判別法的也一定能用狄利克雷判別法,但是,能用狄利克雷判別法不一定能用阿貝耳判別法，這是因為阿貝耳判別法的判別條件要比狄利克雷判別法的判別條件嚴謹一些。

（四）D’Alembert判別法

在級數斂散性的判別中，通常達朗貝爾判別法也稱之為比式判別法。

不為0,且滿足lim

。

在應用達朗貝爾判別法選幾何級數做標準的時候，

1,但級數是發散

是收斂的。由達朗貝爾判別法知判斷級

四、典型的例子

單調趨于0。

收斂。

由上可得，在判別一些級數的斂散性問題時,有時可以應用多種判別法進行證明,但是并不是所有的判別法一定都適用,所以我們應該選擇合適的判別法來判別級數的斂散性。

判斷級數的斂散性的方法很多,但在做題過程中只有選用合適的判定方法進行判斷,才能巧妙、快速地解答，在提高解題效率的同時,還可以保證正確率,以能夠達到事半功倍的效果。

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