量子比特在兩個(gè)XY自旋環(huán)境中的糾纏動(dòng)力學(xué)研究

張修興，張國文

(渭南師范學(xué)院 a．物理與電氣工程學(xué)院;b．人文與社會(huì)發(fā)展學(xué)院，陜西 渭南714000)

0 引言

量子糾纏是量子力學(xué)最令人著迷的特性之一，它是量子信息處理和量子計(jì)算過程中的重要資源［1-2］．近年來，不同封閉系統(tǒng)的熱糾纏已經(jīng)引起了人們研究的廣泛關(guān)注［3-5］．但是，量子系統(tǒng)的糾纏度因?yàn)楹椭車h(huán)境的耦合作用，所以變得非常孱弱．這成為量子信息處理和量子計(jì)算的最大障礙．環(huán)境的退相干作用會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)糾纏度的降低［6］．因此，研究量子比特和環(huán)境耦合是糾纏演化量子信息科學(xué)的基本問題．

最近，量子比特和不同環(huán)境相互作用時(shí)的動(dòng)力學(xué)問題引起了人們研究的興趣［7-9］．特別是自旋環(huán)境中量子比特糾纏度隨時(shí)間的演化問題成為研究的熱點(diǎn)．目前，人們可以通過光晶格和冷原子技術(shù)實(shí)現(xiàn)不同的自旋環(huán)境［10-12］．因此，它成為研究粒子間各種關(guān)聯(lián)作用與糾纏度關(guān)系的理想的平臺(tái)．并且，自旋模型中存在量子相變現(xiàn)象［13］．而量子糾纏描述的是系統(tǒng)間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)，因此推測(cè)量子糾纏在系統(tǒng)相變點(diǎn)附近會(huì)表現(xiàn)出奇異行為．目前，很多學(xué)者對(duì)量子比特或者qutrits與自旋環(huán)境相互作用時(shí)的解糾纏過程［14-15］．Sun Z等［14］研究了Ising環(huán)境中量子比特的動(dòng)力學(xué)行為，結(jié)果表明，在相變點(diǎn)附近，糾纏度按照時(shí)間的4次冪指數(shù)衰減;YuanZG等［15］研究了量子比特在相變點(diǎn)附近的解糾纏行為，發(fā)現(xiàn)量子相變現(xiàn)象會(huì)加速解糾纏過程．總結(jié)現(xiàn)存的這些研究結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)研究主要集中在量子比特與單個(gè)自旋環(huán)境相互作用．至于兩量子比特分別和自旋環(huán)境相互作用時(shí)糾纏動(dòng)力學(xué)行為還沒有報(bào)道．

受上面研究的啟發(fā)，我們研究量子比特和兩個(gè)XY自旋環(huán)境相互作用時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)問題．結(jié)果表明，自旋環(huán)境的數(shù)目和對(duì)稱性影響糾纏的動(dòng)力學(xué)行為．通過調(diào)節(jié)兩環(huán)境的參數(shù)，可以得到需要的糾纏演化速率．

1 模型和計(jì)算方法

模型如圖1所示，量子比特1、2分別和環(huán)境e1、e2相互作用．每個(gè)量子比特可以用二能級(jí)原子代替［16］．并且假定量子比特只和自己的環(huán)境相互作用，環(huán)境之間沒有相互作用．兩環(huán)境的哈密頓量為

其中:m=1，2分別代表環(huán)境e1和e2，λ為外磁場(chǎng)的強(qiáng)度，σαl(α =x，y，z)為泡利矩陣，l表示的是自旋的位置，L為環(huán)境中包含的自旋總數(shù)，0≤γ≤1為各向異性因子．

從(1)式我們知道當(dāng)γ=0時(shí)，hem對(duì)應(yīng)的是各向同性XY模型;當(dāng)γ=1時(shí)，hem變?yōu)镮sing模型．

圖1 量子比特1、2分別和自旋環(huán)境e1和e2相互作用示意圖

量子比特和環(huán)境的相互作用為:

聯(lián)立(1)(2)，可以得到量子比特和環(huán)境相互作用系統(tǒng)的總哈密頓量:

利用 Jordan-Wigner變換［13］

結(jié)合傅里葉變換［13］

那么，(3)式可以表達(dá)成

在(9)式中，通過 Bogoliubov變換［13］

系統(tǒng)總哈密頓量(3)最終可以寫成完全對(duì)角化的形式:

其中:

并且定義a=2π/L．實(shí)際上，hem的對(duì)角化形式可以通過在(11)式中令耦合強(qiáng)度g=0來獲得．

利用(11)式，我們可以得到系統(tǒng)總的時(shí)間演化算符:

接下來，我們從時(shí)間演化算符(15)出發(fā)，具體研究量子比特和自旋環(huán)境相互作用時(shí)糾纏度的演化．

2 結(jié)果和討論

我們主要研究量子比特處于最大糾纏態(tài)時(shí)糾纏度的演化．假定量子比特的初態(tài)為:

其中:|0〉和|1〉分別表示自旋的向上和向下狀態(tài)．自旋環(huán)境初始時(shí)處于真空態(tài)|φm〉=|0〉－k|0〉k，這里|0〉k滿足dk|0〉k=0．那么，由量子比特和自旋環(huán)境組成的總系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以表示成Ψ(0)=|Φ〉，并且|ψ〉=|φ1〉|φ2〉．系統(tǒng)初態(tài)經(jīng)過時(shí)間演化后，得到系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)為:

在(17)式中，把自旋環(huán)境的自由度消去后可以得到有關(guān)量子比特的約化密度矩陣為

從(18)式出發(fā)，利用Wootters提出的糾纏度量方案［17］，可以得到量子比特的糾纏度concurrence為

圖2 量子比特和自旋環(huán)境存在弱耦合時(shí)，糾纏度隨時(shí)間的演化

特別地，在式(20)中

通過數(shù)值求解式(19)，我們可以得到量子比特糾纏度的演化．圖2中，我們給出了三種情況下糾纏度隨時(shí)間的變化，即兩對(duì)稱環(huán)境(DSE)、兩環(huán)境不對(duì)稱(DAE)和單個(gè)自旋環(huán)境(SE)條件下糾纏的演化．并且假定此時(shí)量子比特和環(huán)境間處于弱耦合狀態(tài)(g＜λ)．這里需要說明的是:對(duì)稱指的是兩個(gè)自旋環(huán)境的參數(shù)相同，不對(duì)稱指的是兩個(gè)自旋環(huán)境的參數(shù)不相同．在DSE和SE中，我們假定L=300，γ=0．8，λ=2和g=0．3．對(duì)于 DAE，我們假定 γ1=0．8，γ2=0．9，g1=0．3，g2=0．4，其他參數(shù)和 DSE 以及SE 時(shí)相同．從圖2中，可以看出糾纏度隨時(shí)間振蕩演化，但是包絡(luò)線卻是單調(diào)衰減的．特別地，在量子比特和兩個(gè)環(huán)境(DE)相互作用時(shí)的衰減速度比量子比特和單個(gè)(SE)環(huán)境耦合時(shí)快．這是因?yàn)?，量子比特和單個(gè)環(huán)境相互作用時(shí)環(huán)境會(huì)在兩比特間誘發(fā)糾纏［18］．并且，還可以看出環(huán)境的對(duì)稱會(huì)影響比特間解糾纏的速度，主要表現(xiàn)為在DAE中糾纏度包絡(luò)線衰減速度比DSE中快．

圖3 量子比特和自旋環(huán)境存在強(qiáng)耦合時(shí)，糾纏度隨時(shí)間的演化

圖3給出的是量子比特和環(huán)境強(qiáng)耦合時(shí)(g＞λ)，糾纏度隨時(shí)間的變化．作圖3的過程中，我們假設(shè)在DSE 和SE情況下，L=300，γ =0．8，λ =0．3，g=2．在DAE中，我們認(rèn)為γ1=0．8，γ2=0．9，g1=2，g2=1，L1=L2=300和λ1=λ2=0．3．可以看出，糾纏度隨時(shí)間單調(diào)衰減，但是不同環(huán)境衰減速度不同．在DE環(huán)境中，糾纏衰減的速率快于SE情況，這和圖2的結(jié)果是一致的．但是，糾纏度在DSE衰減的速率比DAE的快得多，這個(gè)結(jié)果反映出糾纏對(duì)環(huán)境對(duì)稱性的敏感性．通過比較圖2和圖3的結(jié)果，我們知道適當(dāng)調(diào)節(jié)環(huán)境的參數(shù)，可以獲得需要的解糾纏速率．

3 結(jié)語

研究了量子比特和兩個(gè)XY自旋環(huán)境相互作用時(shí)的糾纏動(dòng)力學(xué)問題．結(jié)果表明:自旋環(huán)境的數(shù)目和環(huán)境的對(duì)稱性影響量子比特糾纏度的動(dòng)力學(xué)行為．通過適當(dāng)調(diào)節(jié)兩環(huán)境的參數(shù)，可以得到需要的解糾纏速率．

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