外接球問題“心”在哪里

浙江省臨海市回浦中學 李昌湛 （郵編：317000）

在組合體中，有一類是幾何體的外接球問題，解決這類問題的關鍵是確定外接球球心的位置.本文介紹幾種找幾何體外接球球心的方法，僅供參考.

1 利用直角三角形斜邊的中點找球心

例1 （2009湖南卷）在半徑為13的球面上有A，B，C三點，AB＝6，BC＝8，CA＝10，則球心到平面ABC的距離為＿＿＿＿.

解 ∵AB＝6，BC＝8，CA＝10，

∴∠ABC＝，

故球心到平面ABC的距離為12.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BD，BC⊥CD，將 △ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積等于（ ）

解 如圖2，在四面體A－BCD中，

∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD⊥BC，

由三垂線定理知CD⊥AC，即AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共斜邊，取斜邊AD的中點O，連結OB，OC，則OA＝OB＝OC＝OD，∴四面體A－BCD的外接球球心即為O，∴外接球的半徑R＝OA＝AD＝，∴S球＝4πR2＝＝3π，故選A.

例3 一個幾何體的三視圖如圖3所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（ ）

解 由三視圖作出原幾何體是三棱錐ABCD，如圖4所示.

平面ABD⊥平面BCD，取BD的 中 點O1，連結AO1，CO1，

因△ABD是邊長為2的正三角形，△BCD是等腰直角三角形，且BC＝CD＝，∠BCD＝90°，有AO1⊥平面BCD，則球心O在線段AO1上，連結BO，設外接球的半徑為R，在Rt△BOO1中，因BO2＝BO12＋，即R2＝12＋－R）2，解得R＝，∴S球＝4πR2＝，故選B.

評注 因為直角三角形斜邊的中線長等于斜邊的一半，所以斜邊的中點到該直角三角形三個頂點的距離相等，利用這一性質可找出過直角三角形三個頂點的幾何體的外接球球心.

2 利用斜三角形的外心找球心

例4 （2010寧夏、海南卷）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）

例5 （2009全國卷I）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于__________.

解 如圖6，設三角形ABC和A1B1C1的外心分別為O1和O2，連結O1O2，OA，O1A，取O1O2的中點O，則O到直三棱柱ABC－A1B1C1各頂點的距離都相等，即球心即為O，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12，

即BC＝ 2，設△ABC外接圓的半徑為r，則由正弦定理，得

∴S球＝4πR2＝4π×（）2＝20π.

評注 因為三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，所以過三角形的外心且垂直于此三角形所在平面的垂線上的任意一點到此三角形三個頂點距離也相等，所以過該三角形三個頂點的球的球心必在垂線上.

3 利用正方體或長方體的中心找球心

例6 （2012遼寧卷）已知正三棱錐PABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為__________.

解 把正三棱錐補成正方體，如圖7，則球心O就是正方體的中心，

∴正方體的體對角線l等于球的直徑，∴l＝，又∵面ABC把正方體的體對角線三等分，設球的半徑為R，則球心O到截面ABC的距離d＝R－l＝

例7已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝ 1，BC＝，則球O的表面積等于（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

解 把四面體SABC補成長方體，如圖8，則球心O是長方體的中心，∵長方體的體對角線長等于球的直徑，設球的半徑為R，

∴ （2R）2＝12＋12＋）2，∴R＝1，

∴S球＝4πR2＝4π.

例8 在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝a，AC＝BD＝b，AD＝BC＝c，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

評注 因為正方體或長方體的中心到各頂點的距離相等，所以過正方體或長方體若干個頂點的球的球心就是正方體或長方體的中心，此類問題找球心往往需要對幾何體進行補形.