程序框圖與隨機模擬的“友情客串”

安徽省合肥第一中學 杜明成 （郵編：230601）

縱觀近年各省的高考題，如稍加留神，便可以發現，程序框圖這顆奇葩常開不謝.而且各省更加注重程序框圖與其它知識相交匯融合，使得程序框圖的內容煥發出新的活力.程序框圖給我們感覺是“一圖抵百語”，其思想是非常重要的，但并不神秘.為把握程序框圖與隨機模擬交匯的脈搏，現以2012年陜西高考卷中涉及的程序框圖題為例，并通過一題兩變，挖掘程序框圖與隨機模擬交匯性考題的特點及其求解策略，以達到知己知彼、有的放矢.

例1 （2012年陜西省高考題）下圖是用模擬方法估計圓周率π的程序框圖，P表示估計結果，則圖中空白框內應填入（ ）.

評析 本題的“閃光”之處是將隨機模擬、幾何概型融入程序框圖中，給人耳目一新之感.意在考查程序框圖的讀圖能力、文字語言、圖象語言、符號語言間的轉譯能力及推理運算求解能力.求解此類跨度較大的交匯題的關鍵要過好兩關：一是讀圖有方：讀懂程序框圖的意義，并將其運用到新的情境中.如本題，讀懂程序框圖中的循環結構的含義，識別其循環所需要的條件與循環體；二是運算有招：會利用幾何概型的測度與概率公式（當考察對象為點，點的活動范圍在平面區域內時，用面積比計算），探求其概率，從而通過列方程來識別處理框應填寫的內容.

仍用例1中的隨機模擬的背景，以程序框圖為載體，把“估計圓周率π”變更為“估計拋物線y＝x2與直線x＝1、x軸所圍成的圖形的面積”，并把原來的選擇題變為填空題，得如下的變式題：

變式1 在用模擬試驗估算如圖1陰影部分（拋物線y＝x2與直線x＝1、x軸所圍成的圖形）面積時，利用計算機產生［0，1］上的兩個隨機數得到一個點（x，y），現試驗100次，得到100個點：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x100，y100）.為了統計落入圖1陰影部分的點的個數，設計如圖2所示的程序框圖：

圖1

圖2

請把圖2中的程序框圖補充完整，其中①__________，②__________，③__________.

解析 按照程序框圖的箭頭流向讀，可知s＝0，i＝1，輸入隨機數x，y，觀察圖1的陰影部分，可知圖2中的①處應填寫“y＜x2”，如果y＜x2，那么此點就落在圖中的陰影部分，因此執行s＝s＋1，即②處應填寫“s＝s＋1”.因為要統計100個點，程序框圖是直到型循環結構，故判斷框內應填寫的條件是“i＞100”.即應填：①y＜x2；②s＝s＋1；③i＞100.

評析 本變式題貌似平凡，但意境幽深，把研究圓周率的估值問題提升到對不規則圖形的面積的估值問題.旨在考查考生接受和處理新信息的能力，它能有效地考查考生獨立獲取信息、加工信息及后繼學習的能力.難度比例1略有拔高，如能準確讀懂程序框圖之間隱含的信息，并輔之以函數圖象去判斷，即可準確地推斷出兩個判斷框與一個處理框內應填寫的內容.

把變式1中的“把程序框圖補充完整”，變更為“估算陰影部分的面積”，可得如下的變式題：

變式2 條件同變式1，若執行該程序框圖（圖2）后得到s＝30，試根據該結果估算圖1中的陰影部分面積為（ ）

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5

評析 變式2與變式1不一樣的是在已知條件中沒有告訴程序框圖的功能，而是讓學生通過圖1與圖2去讀懂程序框圖的功能：統計落入圖1陰影部分的點的個數.從而估計陰影部分的面積也就“水到渠成”.

由以上一題兩變可提煉出求解程序框圖與隨機模擬相交匯試題的“雙步曲”：第一步，“會賞圖”即能讀懂已知程序框圖所隱含的信息，并會進行信息提取，對于常見的順序結構、循環結構與條件結構要熟悉，能做到看圖悟其意；第二步，“會運算”即對程序框圖所反饋的信息進行提取，并結合幾何概型的概率公式等進行運算.有關隨機模擬與程序框圖相交匯的命題視角，值得我們關注與期待.