用虛設(shè)零點(diǎn)法解函數(shù)極值問題

浙江省紹興魯迅中學(xué)柯橋校區(qū) 田 萌 （郵編：312030）

解決有關(guān)函數(shù)極值問題，一般都是通過求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求出極值點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)，然而，有些時(shí)候這一招卻不靈啦，請看下例：

例1 已知函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋lnx有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：f（x）的極小值小于－.

分析 第一步：求定義域.函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋lnx的定義域?yàn)椋?，＋∞）.

第二 步：求 導(dǎo).f′（x）＝ 2ax－2＋

第三步：求極值點(diǎn).

令g（x）＝2ax2－2x＋1，函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋lnx有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件是g（x）＝2ax2－2x＋1＝0當(dāng)x＞0時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)根.

設(shè)此時(shí)2ax2－2x＋1＝0的兩根為x1、x2，且x1＜x2.

當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞x2時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（x2，＋∞）上單調(diào)遞增.

第四步：求極小值.

怎么辦？

設(shè)f′（x）的零點(diǎn)為x2，則2ax22－2x2＋1＝0，

令h（x）＝lnx－x，h′（x）＝－1.x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（1，＋∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＞1時(shí)，lnx－x＜－1，由此.

故f（x）的極小值小于－.

下面再看兩個(gè)例子.

例2 已知函數(shù)f（x）＝x3－x2＋axa（a∈R）.若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析 三次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于：

①函數(shù)單調(diào)且函數(shù)值不同號；②函數(shù)極大值小于0或極小值大于0.

因此，求導(dǎo)，得f′（x）＝x2－2x＋a，

因 △ ＝4－4a＝4（1－a）.

① 若a≥1，則△≤0，所以f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閒（0）＝－a＜0，f（3）＝2a＞0，所以f（x）在（0，3）上有零點(diǎn).

所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②若a＜1，則△＞0，

所以f′（x）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1、x2，（x1＜x2）.

當(dāng) － ∞ ＜x＜x1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（－∞，x1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞x2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（x2，＋∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）在x1處取值極大值，在x2處取得極小值.

于是應(yīng)該有f（x1）＜0或f（x2）＞0.

怎么辦？用虛設(shè)零點(diǎn)法.

一方面，因?yàn)閤1、x2是方程f′（x）＝0的兩根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a.

令f（x1）·f（x2）＞0，解得a＞0.

而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（0）＝－a＜0，f（3）＝2a＞0，

故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是（0，＋∞）.

例3 給定函數(shù)φ（x）＝x2－2tlnx（t＞0），t為何值時(shí)，方程φ（x）＝2tx有唯一解.

解 記G（x）＝φ（x）－2tx＝x2－2tlnx－2tx，則函數(shù)G（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞）.若方程φ（x）＝2tx有唯一解，即G（x）＝0有唯一解.

G′（x）＝2x－－2t＝（x2－tx－t），令G′（x）＝0，得x2－tx－t＝0.

因?yàn)閠＞0，x＞0，

當(dāng)x∈ （0，x2）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）在（0，x2）上是單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)x∈ （x2，＋ ∞）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）在（x2，＋∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，

故x＝x2時(shí)，G′（x2）＝0，G（x）min＝G（x2）.

因?yàn)镚（x）＝0有唯一解，故G（x2）＝0.

所以2tlnx2＋tx2－t＝0.

又t＞0，故2lnx2＋x2－1＝0 （＊）

設(shè)函數(shù)h（x）＝2lnx＋x－1，因在x＞0時(shí)h（x）是增函數(shù)，故h（x）＝0至多有一解.

故t＝時(shí)，方程φ（x）＝2tx有唯一解.

從上面三個(gè)例子不難看出，“虛設(shè)零點(diǎn)法”對于解決一些涉及極值問題的難題很有作用，希望上述例子能給大家以啟發(fā)，掌握此法.