“變量分離法”不靈了，怎么辦？

安徽省靈璧縣靈璧中學 馬兆軍 （郵編：234200）

有關函數不等式恒成立求參數取值范圍的這一熱點問題，高考中倍受命題者青睞，這類問題常常作為壓軸題進行考查，對考生能力的要求較高，但此類問題解法靈活、綜合性強，學生常感到難以下手，通?！白兞糠蛛x，使不等式恒成立，轉化為比最大還大或比最小還小”.但是，近年來相關高考題用變量分離法亦非萬能，屢屢難以奏效.變量分離后有時也茫然不知所措，那么到底如何解決這類問題呢？

例1 已知函數f（x）＝x2＋2x＋alnx，當t≥1時，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，求實數a的取值范圍.

解 當t≥1時，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，即有（2t－1）2＋2（2t－1）＋aln（2t－1）≥2t2＋4t＋2alnt－3恒成立，（t≥1）.亦即：a［ln（2t－1）－lnt2］≥2［（2t－1）－t2］恒成立.

當t＝1時，不等式顯然成立.

當t＞1時，t2－（2t－1）＝ （t－1）2＞0，所以t2＞2t－1＞0，ln（2t－1）－lnt2＜0.

例2 （2010年新課標全國卷第21題）設函數f（x）＝ex－1－x－ax2（Ⅰ）略；（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

此例充分說明，變量分離法僅是求解這類問題的重要方法之一，但有時會使思路走入死胡同，欲解決此類問題還需另辟途徑.以例題2為例.（例1也可同法求解.）

解 研究函數f（x）＝ex－1－x－ax2，（x≥0）.注意到f（0）＝0，所以當x≥0時，欲使f（x）≥0，只要函數f（x）＝ex－1－x－ax2在［0，＋∞）上單調遞增即可.于是f′（x）＝ex－1－2ax，只要f′（x）＝ex－1－2ax≥0，當x≥0時恒成立即可.又因為f′（0）＝0，則只要f′（x）在在［0，＋ ∞）上單調遞增即可.亦即f″（x）＝ex－2a≥0（x≥0）恒成立.而函數f″（x）＝ex－2a≥0（x≥0）在［0，＋∞）上單調遞增，故只需f″（x）min＝f″（0）＝1－2a≥0即可，故而a≤時，函數f（x）＝ex－1－x－ax2≥0，（x≥0）恒成立.

從解題過程可知，a≤僅是符合題意的充分條件，是否必要呢？

當a＞時，由f″（x）＝ex－2a＝0，解得x＝ln（2a）＞0，于是函數f′（x）有極小值點，且f′（x）＝ex－1－2ax在［0，ln（2a）］上單減，在［ln（2a），＋∞）上單增 .所以x∈（0，ln（2a）］時，f′（x）＜f′（0）＝0，即f（x）＝ex－1－x－ax2在［0，ln（2a）］上是減函數，所以x∈ （0，ln（2a）］時，f（x）＜f（0）＝0，不符合題意.故而由反證法可知：a≤是當x≥0時，f（x）≥0成立的必要條件.綜上所述，a的取值范圍是（－∞］.

此法是運用比較法思想，作差與零比較，構造函數h（x），判斷函數h（x）的單調性，特別應注意h（0）＝0是否成立？由導函數h′（x）探究h（x）≤0或h（x）≥0恒成立的充分（必要）條件，（有時還需要“用二次”的思路求h″（x）用以判斷h′（x）的符號），求出參數的取值范圍，然后，再檢驗該取值范圍是否必要（充分）？進而求出h（x）≤0或h（x）≥0恒成立的充分必要條件與參數的取值范圍.

再看2012年高考壓軸題兩例.

例3 （2012年高考天津卷20題）已知函數f（x）＝x－ln（x＋a）的最小值為零，其中a＞0.（I）求a的值.（II）若對任意的x∈ ［0，＋∞），有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值.

當k≥時，h′（x）≤0，（x≥0）恒成立，h（x）在［0，＋∞）內單調遞減，所以h（x）≤h（0）＝0恒成立，即對任意的x∈［0，＋∞），有f（x）≤kx2成立；

當0＜k＜時，h′（x）≥0，（0≤x≤）恒成立，且h′（x）≤0，（x≥）恒成立.所以h（x）在［0］上單調遞增，所以h（0）≤h（x）≤h，而h（0）＝0，即存在x0∈ （0，），使得h（x）＞0，不合題意.

綜上所述，k≥，k＝.min

例4 （2012年高考安徽卷21題）數列｛xn｝滿足x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c，n∈N＊，

（Ⅰ）證明：｛xn｝是遞減數列的充分必要條件是c＜0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使｛xn｝是遞增數列.

分析 （Ⅰ）略.（Ⅱ）此題并非不等式恒成立求參數取值范圍問題，但是｛xn｝是遞增數列時，即：xn＜xn＋1恒成立，于是－xn2＋c＞0?0＜xn＜，且0＜xn＜1 －恒成立，（顯然變量分離有c＞，易想到c＞ （）max，但是（）max不存在！即使由｛xn｝正項遞增數列、上有界，設得：t＝－t2＋t＋c?t＝＝F（c）非定值，無法求解c的取值范圍.）進而“用二次”思路迭代，探究遞歸關系，從而求解參數取值范圍.解題思路與上同法，求解時思路清晰、流暢，易于掌握.

解 （Ⅰ）略.（Ⅱ）因為xn＋1－xn＝－＋c，所以｛xn｝是遞增數列當且僅當－xn2＋c＞0恒成立，且由xn＋1＞x1＝0可知｛xn｝是正項遞增數列?0＜xn＜，（n≥2）.由n的任意性可知0＜xn＋1＜，所以xn＋1＝－＋xn＋c，滿足：0＜－＋xn＋c＜，即－xn－c＋＝（xn－）（xn－1 ＋）＞0，所以0＜xn＜1 －恒成立.即數列｛xn｝的各項取值范圍為（0，）∩.

要使｛xn｝是遞增數列，由（Ⅰ）知c≥0；若c＝0，則xn＋1－xn＝－xn2≤0，xn＋1≤xn不合題意.又x3＝－＋x2＋c＝－c2＋c＋c＞x2＝c?－c2＋c＞0，即要使｛xn｝是遞增數列的必要條件是0＜c＜1.

另一方面，xn＋1－＝－xn2＋xn＋c－＝－（xn－）（xn－1 ＋）＝－（xn－）xn＋（xn－）（1 －），注意到－（xn－）xn＞0，所以“用二次”放縮迭代，得到遞歸關系：

總之，“變量分離法”不靈了，只是一種解題角度的轉換.此類問題解法靈活、綜合性強，解題時需要認真審題，把探究恒成立問題的充分（必要）條件而構造的函數與變量分離后的相應函數比較，靈活選擇適當的方法，進而求解.特別是高考壓軸題的求解，要靈活、善變，方法多，思路才會活，難點自然迎刃而解.