平面幾何定理的證明要注重培養學生的發散性思維

安徽省金寨一中 樊興安 （郵編：237300）

發散性思維即求異思維，它具有多向性、靈活性、獨特性等特點.要求在思考問題時多渠道、多角度、多方案，解題時要觸類旁通、舉一反三 .眾所周知，古今中外，數學上很多偉大的發現來源于發散性思維，因而培養學生發散思維能力，對造就創造型人才至關重要.下面就利用平面幾何中四邊形內角和定理的多種證法，來培養學生的發散性思維，談談個人粗淺認識.

四邊形內角和定理：四邊形內角和為360°.

已知 ∠A、∠B、∠C、∠D是四邊形ABCD的內角.

求證 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.

分析1 要引導學生善于運用轉化的思想，用已知表示未知.由于三角形的內角和為180°，啟發引導學生能否用三角形的內角和推出四邊形的內角和？如何才能達到這個目的呢？為此要以三角形為依托，而圖中無三角形，怎樣才能達到這個目的呢？只有作輔助線.

證法1 如圖1連結AC、BD并且交于O點.于是 ∠1＋∠10＋∠3＝180°，∠4＋∠5＋∠11＝180°，∠6＋∠7＋ ∠12 ＝ 180°，∠2＋∠8＋∠9＝180°.四個式子相加得 ∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠9＋∠10＋∠11＋∠12＝720°.

圖1

∵∠9＋∠10＋∠11＋∠12＝360°，

∴∠BAD＋ ∠ABC＋ ∠BCD＋ ∠CDA＝360°.

分析2 證法1中的O為對角線的交點，O能否為四邊形內除O以外的點呢？讓學生們積極思考、動手作圖，不難得出證法2.（如圖2）

分析3 既然O在四邊形內可行，

O是四邊形的邊上任一點是否可行？

學生們積極嘗試，得到證法3.

證法3 （如圖3）設O在AB邊上，連結OC、OD，于 是 ∠A＋∠1＋∠7＝180°，

∠2＋∠3＋∠6＝180°，∠4＋ ∠5＋ ∠B＝180°三式相加得：

圖2

∠A＋（∠1＋∠2）＋（∠3＋∠4）＋∠B＋∠5 ＋ ∠6 ＋ ∠7＝540°，

∵∠5＋∠6＋∠7＝180°，

圖3

∴∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDA＝360°.

分析4 既然O為四邊形邊上的任一點都能證明，那么O為AB邊上的一個特殊點，比如DO／／BC（如圖4）是否可行？是否還得像證法3那樣連線呢？

證法4 設O在AB上且OD／／BC，則 ∠1＋∠3＋∠A＝180°，∠2＋∠C＝180°，兩式相加得∠A＋∠3＋∠CDA＋∠C＝ 360°， 而 ∠3＝∠B，

圖4

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝360°.

分析5O為證法4中的特殊點是否可行，比如說O為四邊形的頂點是否可行？如何證明？

設O與B重合，連結OD（如圖5）便得證法5，這即是教材中的證法.

分析6O可在四邊形內部已得到證明，O也四邊形的邊上也已證明，

那么O在四邊形外是否可以證明？如何證？

圖5

圖6

證法6 設O在四邊形外，連結OA、OB、OC、OD則∠2＋∠1＋∠11＋ ∠10＝180°，∠3＋∠4＋∠9＝180°，∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°.三式相加得（∠2＋∠3）＋（∠4＋∠5）＋∠6＋∠1＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＋∠11＝540°，而∠7＋∠8＋∠9＋∠10＋∠11＝180°，

∴∠DAB＋ ∠ABC＋ ∠BCD＋ ∠CDA＝360°.

以上分析，以O點的位置關系為主線，運用轉化和分類討論的數學思想，啟發學生對O的位置展開討論，充分發散了學生的思維，廣泛開辟了解題途徑，拓寬了解題思路，開闊了學生的知識視野，培養了學生的創新能力.