淺談一類高考解析幾何試題的命題途徑——由2011江蘇、2012遼寧、湖北卷解幾題有感

江蘇省建湖高級中學 劉友明 （郵編：224700）

解析幾何問題以其獨特的魅力活躍在每年的各大省份及全國的高考試卷中，且常常以壓軸題，拉分題自居，深得出卷人的青睞，是考查學生處理數與形問題能力的一塊良土.學生常因數據處理能力不足，出錯率較高，無法順利完成解答，在“數與形的轉化”，找“幾何關系特征”，“化簡計算”等環節有很大欠缺，進而喪失了信心.那么如何才能幫助學生建立自信，并對解析幾何問題產生濃厚興趣呢？前提就是要求老師能在此方面作一些研究，探尋一條解幾問題命題的規律及途徑，當然這就對教師提出了更高的要求.以下本人就近兩年考題作一些研究，以期能與讀者共勉.

1 課本及各大省份的考題背景是產生考題的一塊熱土——研究、探索、推廣考題是我們的方向

1.1 學會變換圖形的位置 —— 力求能對問題從一個角度出發達到多方位的效果，從而可以提高學生的變位思考能力.

按照德國大數學家克萊茵的觀點，我們所研究的幾何圖形的種種性質，只不過是研究幾何圖形在各種幾何變換下的不變性和不變量.通過感知和學習圖形的變換，不僅有助于學生從運動變化的角度去認識事物，去了解圖形之間的聯系，從而發展他們的幾何直覺，而且還能有利于學生感受，欣賞圖形的美，增強對數學的好奇心，激發學生的內在潛能.2011江蘇卷與2012湖北卷兩題的最后一問實際上就是變換了圖形的位置，湖北卷將江蘇卷中“過P作x軸的垂線”改為“過P作y軸的垂線”，其它條件完全一樣，最后問題的設置也是相同的，處理的方法就是轉化為斜率之積為－1，具體處理方法可見原高考參考答案，或可利用本文的推論1.2直接解出結果.

1.2 學會能將具體問題一般化 —— 力求推出一般性的結論，從而可以拓寬學生的視野，達到會一題而知一類的良好效果.

數學概念舍棄了具體形象的支撐而升華為抽象的文字，學生不易接受，但作為教者一定要有這樣的能力和敏感直覺，對于2011江蘇題如果我們再任意取一橢圓是否還有此完美的性質（垂直）呢？如果有那就太完美了，如果沒有又會有什么規律可循呢？當然這就要求我們教師提前作一些準備.我們可以借助幾何畫板很輕松地得到一些數據，從而猜想并推導出結論，將之升華為一般性結論傳授給學生，當然這中間過程的艱辛，也可讓學生作一些參與，從而減輕學生的負擔，大大提高了課堂的效率，激發了學生的學習潛能.2011江蘇卷及2012湖北卷的最后一問實際上源于同一處理方法的兩個結論，其結果是一個定值.（推導過程可參考文［1］）

當然讀者也可仿此將橢圓焦點放在y軸上推導出一般結論.通過對問題一般性結論的研究，不言而喻會對學生有很大的沖擊力，從而對這一類問題有了本質的理解，而不是就題論題，搞題海戰術.

王禹偁也繼承了韓愈的觀點，其《答張扶書》曰：“夫文，傳道明心也，古圣人不得已而為之也”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·答張扶書》，成都：巴蜀書社，1989年，第357頁。 ，強調文句必須“遠師六經，近師吏部。使句之易道，義之易曉，又輔之以學，助之以氣”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·答張扶書》，成都：巴蜀書社，1989年，第358頁。 。又《三黜賦》曰：“屈于身兮不屈其道，任百謫而何虧? 吾當守正直兮佩仁義，期終身以行文?！盵注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·三黜賦》，成都：巴蜀書社，1989年，第210頁。

1.3 學會從圓、橢圓、雙曲線、甚至拋物線之間找聯系——類比可以使知識得以拓展，從而可以激發學生探索未知的欲望.

類比法在高中數學的許多方面都發揮著積極作用，它是人類獲得新知識和解決問題的重要途徑.美國數學家波利亞對類比法推崇倍至，他在《怎樣解題》的第三部分談到：“在我們的思維、日常談話、一般結論以及藝術表演方法和最高科學成就中無不充滿了類比.類比可在不同的水平使用……”“我們希望能預測結果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預測結果的某些特征，這種似乎可信的預測通常是以類比為基礎的.”

類比推理具有如下形式：A具有性質F1，F2，…，Fn，P；B具有性質F′1，F2′，…，Fn′，推測B具有性質P′，這里P′分別與F1，F2，…，Fn，P相同或相似，A和B指不同的對象或不同的事物.對題1、2我們也可將結論類比推廣到雙曲線：

當然讀者也可仿此將雙曲線焦點放在y軸上甚至可以將它類比到圓中推導出一般結論.

2 利用多媒體是產生新穎考題的又一新的領域——會用、善用、創新利用幾何畫板是我們的追求

幾何畫板是指專門用于數學“教”與“學”的計算機軟件，在數學的教與學中有著重要的作用.代數公式的推導，圖形與坐標的結合，函數規律的研究，統計與概率的模擬與仿真等，借助它可以很形象直觀地幫我們了解甚至理解數學的本質.

2.1 利用幾何畫板可以幫我們尋找題目的根源——強化我們對問題本質的認識.

圖①

圖②

同時我們不免有這樣的沖動，如果圓為定圓，變化橢圓得到的軌跡又會如何呢？（如圖③）看似一雙曲線部分圖象，是否是雙曲線呢？經過艱難的推導我們又會得到一個意外的收獲.

圖③

證明 設A（x1，y1），則B（x1，－y1），直線A1A的方程為

直線A2B的方程為

它告訴我們，幾何畫板雖然很形象，但也有迷惑性，結論還需我們加以驗證與推導方可知其真偽.

2.2 利用幾何畫板可將自己的一些奇思妙想，甚至一個失誤變成一個美妙的結論——培養我們的創新能力

由于本人的失誤，誤將圓與x軸的兩個交點E、F分別當作點A1與A2，此時得到了如下圖④的軌跡，其形如一雙曲線的部分圖象.這次又是否正確呢？經推導喜得：

圖④

以上僅為本人對近兩年高考題中出現的解析幾何題的一點思考，推導出來的一些結論也僅僅是茫茫解析幾何中的一個小不點而已，特別是幾何畫板給我們帶來的魅力及挑戰，需要我們不斷地學習.本文希望以此給讀者帶來教學和研究上的一點啟示，僅此而已.

1 劉友明.一道試題多重價值［J］.數學教學通訊，2011（7）