轉動薄壁圓柱殼行波振動響應分析

孫述鵬，曹登慶，初世明

（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

引 言

轉動薄壁圓柱殼在諸多工程機械中應用廣泛，如高速離心機、航空發動機高速轉動鼓筒等。轉動所帶來的科氏力、離心慣性力及環向初應力，使得轉動薄壁圓柱殼具有不同于靜態圓柱殼的動力學特性。具體說來，一方面，離心慣性力使殼體結構產生環向初應力，導致殼體剛度增加，從而使轉動薄壁圓柱殼頻率隨轉速的升高而增加；另一方面，受轉動速度矢量與變形速度矢量不一致而導致的科氏力的影響，轉動薄壁圓柱殼頻率隨轉速的變化發生分岔，產生不同頻率的前、后行波，區別于靜態圓柱殼頻率所對應的駐波（振型）。轉動薄壁圓柱殼這種行波振動的特點，使得傳統的求解靜態圓柱殼振動響應的方法不再適用。因此，對轉動薄壁圓柱殼行波振動響應的研究，具有重要的理論意義和應用價值。

國內外眾多學者通過解析、數值、實驗等手段對轉動薄壁圓柱殼的自由振動問題進行了大量的研究工作［1～12］，比較之下，對激振力作用下轉動薄壁圓柱殼行波振動響應的研究則相對較少［13～16］。在為數不多的行波振動響應研究中，以Huang的工作最具代表性［13～15］。Huang將兩端簡支圓柱殼行波模態（travelling mode）代入基于Love－Timoshenko殼體理論的轉動薄壁圓柱殼的振動微分方程中，并利用三角函數的正交性將方程離散為常微分方程組，通過數值求解常微分方程組，進而采用類似模態疊加的方法求得響應?；诖怂悸?，Huang著重分析和探討了科氏力對兩端簡支轉動圓柱殼強迫振動的影響以及簡諧移動載荷作用下的轉動薄壁圓柱殼體的共振現象。需要指出的是，Huang的結果，均針對兩端簡支邊界條件的轉動柱殼，而對其他類型的邊界條件并沒有提及。兩端簡支約束的圓柱殼的振型可以解析地表達為三角函數組合的形式，而對于其他類型邊界條件下圓柱殼的振型，解析表達式的獲取則是困難的，因此有必要發展一種適用于求解各種類型邊界約束的轉動薄壁圓柱殼行波振動響應的方法。國內也有部分學者在轉動薄壁圓柱殼振動響應的求解方面做了一些工作。如李健等應用Donnell殼體理論［16］，采用復分析的方法研究了轉動薄壁懸臂圓柱殼在法向激勵作用下的行波振動。因作者僅通過在靜態薄壁圓柱殼上施加反向轉動的激勵來處理轉動柱殼受迫振動問題，因此轉動所帶來的離心慣性力、科氏力等的影響未能在模型中反映出來，并且作者采用的Donnell簡化殼體理論盡管形式簡單，但因其主要考慮法向彎曲變形，忽略了平面內兩個方向的慣性力，不能準確反映3個方向運動的耦合，且對環向波數較小的模態，頻率計算并不準確。

本文考慮由轉動引起的科氏力、離心慣性力及環向初應力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉動薄壁圓柱殼振動微分方程［17］。選取滿足相應邊界條件的軸向梁函數來逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布［18］。進而采用Galerkin方法，對振動微分方程進行離散，得到6自由度陀螺轉子系統的動力學方程。然后，通過疊加各行波模態的響應，得到了任意典型邊界條件下轉動薄壁圓柱殼行波振動響應一般解的形式。最后，分別針對靜坐標系下橫向簡諧力和恒力作用下的兩端固支轉動薄壁圓柱殼的行波振動響應，給出了相應算例，并對結果進行了簡要分析。

1 基于Sanders殼體理論的轉動薄壁圓柱殼振動微分方程

考慮長L、厚H、半徑為R，并以角速度Ω繞中軸轉動的各向同性薄壁圓柱殼，該圓柱殼的密度、彈性模量、泊松比分別為ρ，E，μ。如圖1所示，正交曲線坐標系（x，θ，z）為建立在殼體中曲面上的動坐標系。相對于該坐標系，殼體中曲面上點的軸向、切向、法向的變形位移分別為u，v，w。在殼體中面微元上，x，θ，z三個方向的單位面積外載荷分量分別為qx，qθ，qz。

圖1 載荷作用下的轉動薄壁圓柱殼模型圖Fig．1 Sketch of the geometrical relations of a thin rotating cylindrical shell

轉動薄壁圓柱殼的動能可表示為

由環向初應力所引起的初應變能為［11］

式中＝ρHΩ2R2為離心慣性力導致的環向初應力。

其中，基于Sanders殼體理論的薄壁圓柱殼中曲面的薄膜應變分量與彎曲應變（曲率變化）分量可分別表示為

考慮各向同性薄壁圓柱殼，有應力－應變關系如下

其中

薄壁圓柱殼應變能可表示為

綜合考慮式（2）及（7），可得轉動薄壁圓柱殼總的應變能

面載荷所做虛功可表示為

由哈密頓原理，可導出基于Sanders殼體理論的轉動薄壁圓柱殼振動微分方程如下

實際工程系統不可避免存在阻尼因素，受阻尼影響，系統瞬態響應將衰減，進而剩余工程中關心的穩態響應。通常情況下，阻尼是由試驗測定的，這里假設阻尼為等效粘性阻尼，比例系數為ιmn，并在建立的振動方程中引入阻尼項。振動控制方程（10）可改寫為如下形式

2 轉動薄壁圓柱殼行波振動響應一般解

對轉動薄壁圓柱殼體自由振動特性的研究表明［19］，轉動引起的離心慣性力使殼體產生周向應力，導致殼體剛度增加，從而使得轉動薄壁圓柱殼較靜態圓柱殼頻率有所增加；同時，受轉動薄壁圓柱殼變形速度矢量與轉動速度矢量方向不同所引起的科氏力影響，轉動薄壁圓柱殼頻率隨轉速變化發生分岔，產生頻率不同的前、后行波。此時的模態已不是通常意義下的振型（駐波），而是與時間有關的行波?；诖耍瑢⑥D動薄壁圓柱殼行波振動解的一般形式設為如下形式：

考慮到除兩端簡支約束薄壁圓柱殼外，具有其他邊界條件的圓柱殼軸向振型分布很難用解析式表示出來，這里利用圓柱殼振型的軸向分布接近于相應邊界條件梁振型函數的特性，采用梁函數來逼近圓柱殼軸向振型函數。一般可設3個方向的振型分布有如下形式［18］

式中ψ（x）為相應邊界條件下連續梁的振型函數，一般形式如下

系數ci（i＝1，…，4）由邊界條件決定。為后面算例中分析方便，這里給出兩端固支連續梁的振型函數，其他邊界條件的梁的振型函數可以參考振動理論的相關內容。

固支－固支邊界條件下，梁的振型函數為［20］

其中

將解的形式（14）代入轉動薄壁圓柱殼振動微分方程（13），并采用Galerkin方法進行離散，對每個m，n組合的模態可得到一個6自由度系統動力學方程，寫成矩陣形式有

對方程（19）進行數值積分，可得每個m，n組合的模態所對應的廣義坐標的時間歷程。理論上講，將各個m，n組合的模態所對應的廣義坐標的時間歷程，運用式（14）進行疊加，即可得出轉動薄壁圓柱殼上各點的行波振動響應。

值得注意的是，環向波數n＝0時，轉動圓柱殼的各階模態均表現為駐波的形式，而考慮到本文主要探討的是轉動圓柱殼的行波振動響應的求解方法，因此在式（14）中沒有考慮n＝0這一特殊模態。

3 數值結果與討論

根據前面給出的方法，針對具有兩端固支約束的轉動薄壁圓柱殼模型，進行了計算和分析，算例所用幾何參數及材料常數列于表1?？紤]到殼體的面外彎曲振動是對殼體動力學特性起主導作用的振動形式，故這里只分析對應于彎曲振動的行波頻率特性，和法向的位移響應w。

表1 幾何參數及材料常數Tab．1 Geometric parameter and material property

3．1 行波振動頻率特性與模型驗證

忽略阻尼，則對每個m，n組合的模態所對應的6自由度系統動力學方程（19）可退化為陀螺轉子系統動力學方程的形式

因此，求解轉動薄壁圓柱殼行波頻率的問題，就轉化為求解陀螺系統特征值問題。Meirovitch給出了求解此類特征值問題的方法［21］。需要指出，對于每個m，n組合的模態，有6個頻率值，其中頻率最低的兩個對應于w方向彎曲振動為主的行波頻率。

為驗證離散模型的正確性，本文將所求得的行波頻率與由文獻［6］中的解析表達式所得結果進行了比較，兩者結果吻合，如表2所示。

圖2所示為轉速6 000r／min，軸向振型階數m＝1情況下，動坐標下中行波頻率隨環向波數的變化曲線。動坐標系下，后行波頻率大于前行波頻率，且前、后行波頻率隨環向波數的增加均呈現先減小后增加的趨勢，并在環向波數大于9時逐漸重合。圖3所示為軸向振型階數m＝1，環向波數n＝3時，動坐標系中行波頻率隨轉速的變化曲線。如圖3所示，轉速為零時，前后行波頻率值一致，產生的是駐波，即傳統意義的振型。隨著轉速的增加，頻率發生分岔，產生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉速升高先有微弱的減小趨勢，繼而隨轉速的升高而增加。而后行波頻率隨轉速的變化，則一直呈現單調增加的趨勢。

圖2 行波頻率與環向波數的關系曲線Fig．2 Variation of the frequency parameter with respect to the circumferential wave number

圖3 行波頻率隨轉速變化曲線Fig．3 Variation of the frequency parameter with respect to rotating speed

3．2 靜坐標系中橫向簡諧力作用下的兩端固支轉動薄壁圓柱殼的行波振動響應

受靜坐標下幅值為F，頻率為的橫向簡諧力激勵的轉動薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量可表示為

為計算和分析方便起見，這里僅取m＝1，n＝3所對應的行波模態，并根據式（14）進行疊加。

圖4 靜坐標中橫向簡諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態的響應Fig．4 Response of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

圖5 靜坐標系中橫向簡諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態響應的幅頻曲線Fig．5 Amplitude－frequency curve of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

綜合上面的分析可知，一般地，當靜坐標系下橫向簡諧力的頻率滿足如下條件時，會發生行波共振，

具有轉動薄壁圓柱殼結構的實際工程系統，在工作時應盡量避開這些共振點。

3．3 靜坐標系中法向恒力作用下兩端固支轉動薄壁圓柱殼的行波振動響應

令＝0，由式（21）可得，受靜坐標下幅值為F的法向恒力作用的轉動薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量的表達式

若（x＊，θ＊）表示初始時刻動坐標系中轉動薄壁圓柱殼上一點P，此時該點位于靜坐標下的空間點P0，兩點重合。t時刻后，與靜坐標下的空間點P0重合的轉動薄壁圓柱殼上點的坐標則可表示為（x＊，θ＊－Ωt）。由式（14），相應點的位移響應為

圖6 與靜坐標下空間點對應的轉動薄壁圓柱殼上相應點的響應Fig．6 Response of one point on a rotating cylindrical shell in stationary coordinate

如圖6所示，4個空間點所對應的轉動薄壁圓柱殼上點的響應隨時間變化逐漸收斂。即，靜坐標系下法向恒力作用下的兩端固支轉動薄壁圓柱殼，其形變形狀在達到穩態后不隨時間而改變，如圖7所示。從波動的觀點講，兩端固支轉動薄壁圓柱殼，受靜坐標系下法向恒力作用，產生了靜坐標系下的駐波。受此影響，當形變導致的應力水平超過材料破壞極限，可能產生破壞，此外也可能會給轉動薄壁圓柱殼帶來疲勞加速等問題，這些都是值得進一步研究的課題。

圖7 靜坐標系下法向恒力作用下的兩端固支轉動薄壁圓柱殼的形變Fig．7 Deformation of a rotating cylindrical shell under point force

4 結 論

本文考慮由轉動引起的科氏力、離心慣性力及環向初應力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉動薄壁圓柱殼振動微分方程，提出了一種適用于求解各種邊界約束的轉動薄壁圓柱殼行波振動響應的方法?；诖朔椒?，分別針對靜坐標系下橫向簡諧力和恒力作用下的兩端固支轉動薄壁圓柱殼的行波振動響應進行了求解和分析。得到以下結論：

（1）通過選取滿足相應邊界條件的軸向梁函數來逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布，可以克服除簡支以外的各類邊界條件下圓柱殼振型的解析表達式不易獲取的困難。在此基礎上發展的方法，適用于求解各種類型邊界約束的轉動薄壁圓柱殼行波振動響應。

（2）兩端固支轉動薄壁圓柱殼，隨著轉速的增加，其頻率發生分岔，產生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉速升高先有微弱的減小趨勢，繼而隨轉速的升高而增加。而后行波頻率隨轉速的變化，則一直呈現單調增加的趨勢。

（3）當靜坐標系下橫向簡諧力的頻率滿足時，兩端固支轉動薄壁圓柱殼會發生行波共振，具有轉動薄壁圓柱殼結構的實際工程系統，在工作時應盡量避開這些共振點。

（4）受靜坐標系下法向恒力作用，兩端固支轉動薄壁圓柱殼會產生不隨時間改變的形變，即靜坐標系下的駐波。受此影響，當形變導致的應力水平超過材料破壞極限，可能產生破壞，此外也可能會給轉動薄壁圓柱殼帶來疲勞加速等問題，這些都是值得進一步研究的課題。

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