雙自由度離心振動系統的動力耦合分析

劉占芳，郭小煒

（重慶大學資源及環境科學學院，重慶 400030）

引 言

旋轉結構的動特性和動力響應分析是進行旋轉機械和旋轉結構可靠性設計和安全性評價的理論基礎。進行風力發電機風輪、直升機螺旋槳、離心機葉輪及其葉片設計時，了解旋轉結構的特征頻率變化既是材料選取和結構優化的依據，也為避免結構共振實施控制策略提供關鍵參數。旋轉結構的動力分析涉及結構的變形以及應力狀態等，為結構變形控制和強度校核、確定動態測試方案提供基礎的分析數據。由于旋轉結構運行在離心環境下，結構自身的彈性變形與旋轉運動耦合在一起，造成離心環境嚴重影響結構的動特性和動力學響應。譬如風力機風輪的坎貝爾圖是關于風輪的各階頻率與風輪轉速的關系［1］，可為風輪共振分析和風電機組控制提供設計和分析參數。因為旋轉結構動力學在實際工程中的巨大應用價值，幾十年來引起了學術界和工程界的持久興趣。直到最近，大量的文獻依然關注旋轉的桿梁結構、旋轉環、旋轉盤和板、旋轉殼的振動特性和響應［2～23］，其中旋轉結構的科氏力效應，動力剛化問題，旋轉角速度對結構特征頻率的影響，復值的特征矢量和復模態處理等是研究重點，特別是旋轉和變形的耦合機制還不完全清楚，解決這些問題有賴于揭示剛體旋轉與彈性變形的耦合機理，建立精確可靠的動力學分析模型，發展合適的算法以及實驗或工程驗證。

旋轉結構較之非旋轉結構的復雜性在于結構進一步承受由于運動耦合帶來的附加慣性力，這種附加慣性力影響結構動力學，同時結構變形影響結構的剛性旋轉運動。為揭示運動變形耦合以及對結構動力學造成的影響，本文引入雙自由度的質量彈簧振動系統作已知的剛體旋轉，系統可考慮剛體旋轉形成的初始離心力、質量點振動造成的離心力改變以及科氏力等。這種簡化模型既不失去結構變形與剛體旋轉耦合的典型特性，又可通過考察簡單物理模型來探討動力學規律，為復雜結構的動力學分析提供清晰的參考。

1 雙自由度離心振動系統的動力學模型

考慮剛體繞定軸作勻速圓周運動，轉動的角速度為ω，剛體上任意一點r的線速度v為

二階反對稱張量Ω可表示旋轉軸和繞軸旋轉角速度，即有［24］

式中e為笛卡爾坐標系下的置換張量，角速度ω為反對稱張量Ω的反偶矢量或軸矢量。二階反對稱張量Ω對任意矢量u的映射為

二階反對稱張量只關聯著轉動角速度，正交張量能描述剛體作定軸有限轉動的旋轉角速度和旋轉角。現令單位矢量n代表旋轉軸方向，θ為旋轉角，引進反對稱張量A＝－e·n，對正交張量R有［25］

上式為Euler－Rodrigues旋轉公式。對勻速轉動，正交張量R可進一步改寫為

ω為角速度矢量ω的模。

現在關注一個質量點m與4個相同彈簧組成的雙自由度振動系統作平面剛體旋轉運動（忽略振動造成的離心振動系統轉動慣量的變化），振動系統固定在剛體上以垂直于旋轉平面的恒角速度ω作逆時針旋轉。建立固定和轉動兩個坐標系，見圖1，質量點的初始位置r0為轉動坐標系的原點，兩個坐標基分別沿轉動的徑向和切向，質量點在轉動坐標系的振動位移為r，則質量點在轉動坐標系的位置為r0＋r。由于正交張量描述了剛體有限轉動，則任意時刻質量點在固定坐標系的位置為

圖1 雙自由度振動系統作定軸平面轉動Fig．1 The vibrating system with two degrees of freedom rotates around with a fixed axis

這里正交張量R代表轉動坐標系與固定坐標系構成的兩點張量。對式（6）取時間導數，利用式（3）和（5）得質量點在固定坐標系的絕對速度為

再對式（7）取時間導數并再次應用式（3）和（5），得固定坐標系下質量點的絕對加速度為

式（7）和（8）中˙r和¨r表示質量點在轉動坐標系的振動速度和加速度。利用正交張量的轉置張量RT立即得到在轉動坐標系下質量點的絕對加速度

式中ω×（ω×r0）為振動系統的初始向心加速度、ω×（ω×r）是由于質量點振動導致的向心加速度增量、2ω×˙r為科氏（Coriolis）加速度。由此可知，如果質量點在垂直于旋轉平面的方向上運動，不產生科氏加速度和向心加速度的增量。

應用達朗貝爾原理，忽略質量點重力作用，可建立質量點m在轉動坐標系的動力學方程

k為彈簧的彈性系數。由式（10）可知，質量點m受到彈簧回復力、相對慣性力、初始離心力、離心力增量和科氏力的共同作用，注意到質點動力學方程（10）與旋轉角θ無關。由于質量彈簧系統的剛體轉動和振動都在旋轉平面上（圖1），在轉動坐標系中有

u和v表示在轉動坐標系質量點的兩個位移分量，進一步令r0的模為r0。利用式（11）以及矢量的二重叉積公式，改寫式（10）得到沿轉動坐標系兩個坐標軸e1和e2的動力學方程

把式（12）和（13）聯立成為矩陣形式

改寫式（14）得離心振動系統動力學方程的一般形式

式（15）中質量矩陣M，科氏矩陣C，振動剛度矩陣K，離心矩陣KS分別為：

科氏矩陣C為反對稱矩陣，盡管在動力學方程出現一階項但不造成系統的阻尼衰減。式（15）也是線彈性情況下旋轉結構動力學方程的典型形式。觀察式（14）可知在旋轉平面內，由于剛體旋轉與彈性振動的運動耦合產生科氏力，導致u和v兩個方向的運動也是耦合的，而運動耦合也反之影響科氏力，這正是離心振動系統復雜性的本質。此外，離心振動系統剛度陣K－KS的系數應為正，表明為保持系統穩定應存在最大剛體轉速，下面將進一步說明。

2 雙自由度離心振動系統的動頻和動模態

為研究離心振動系統的動力學性質，將動力學方程（15）改寫成下述形式

記zT＝｛u˙uv˙v｝T，則式（17）在形式上成為一階非齊次線性微分方程組

式（18）中的T和g取與式（17）右端對應的方陣和列陣。方程組（18）的齊次方程解的形式為z＝Cφeλt，對應的特征方程為｜T－λI｜＝0，容易得到系統的特征值為

ω1＝分別表示振動系統兩階模態的圓頻率，而f1和f2分別為隨轉速變化的兩階動頻。作為例子，令m＝0．1kg，k＝10 N／m。系統兩階特征頻率隨轉速變化的曲線見圖2。當轉速為零時剛體旋轉對振動的影響消失，系統的兩階動頻退化為系統的固有頻率（基頻）。隨剛體轉速增加系統的第一階動頻f1線性減小而第二階動頻f2線性增加，當轉速達到固有頻率時，第一階動頻趨于零，表示剛體轉動造成了振動系統失穩，所以，剛體的最大轉速等于質點振動的固有頻率。

圖2 離心振動系統的兩階動頻與旋轉運動（轉速）的關系Fig．2 Two order dynamic frequencies of the centrifugal vibrating system vary with rotational velocity

對式（18）的齊次形式以及式（19）的特征值，可以確定特征值對應的廣義特征矢量。令λ1＝－ω1i，λ2＝ω1i，λ3＝－ω2i，λ4＝ω2i，所對應的廣義特征矢量分別為

特征值λ1，λ2，λ3，λ4所對應的復值解分別為

利用線性微分方程組解的可疊加性，對每組復值解作簡單的代數運算可得到每個特征值所對應的線性獨立的實值解，即為兩階模態，它們分別為

兩階模態都是剛體轉速ω的函數。κ1和κ2表示系統的第1階動模態，κ3和κ4表示系統的第2階動模態。注意到這些實值解列陣中的第1行和第3行分別為質量點的兩個模態位移分量，顯然，兩個模態位移分量的平方和均為1，表明系統的兩階動模態都是半徑為1的極化圓周運動，模態圓周運動以及模態位移的初始位置（相位）見圖3。系統第1階動模態的轉動方向為逆時針，圓周運動的角速度即為系統第1階圓頻率ω1。第2階動模態的轉動方向為順時針，圓周運動的角速度即為系統第2階圓頻率ω2。第1階動模態的轉動速度隨系統轉速ω的增加變得越來越慢，直至趨于第1階動頻的最小值，而第2階動模態的轉動速度隨轉速ω的增加會變得越來越快。

圖3 離心振動系統兩階動模態的極化圓周運動及其相位Fig．3 The polarized circular motion with the two order dynamic modal and the phase of the centrifugal vibrating system

3 雙自由度離心振動系統的質點運動軌跡

根據式（23）可寫出方程組（18）的齊次形式的基解矩陣為

由于Z（0）≠I，可以選取基解矩陣為Z′（t）＝Z（t）Z－1（0），則非齊次微分方程組（18）的通解形式為［26，27］

將式（24）帶入到式（25）可得

令振動系統的初始條件為t＝0時，u（0）＝u0，˙u（0）＝˙u0；v（0）＝v0，˙v（0）＝˙v0。將初始條件代入式（26）和（27）中可得振動系統響應解的系數

質點的動力學響應即為質點的平面運動軌跡，由式（26），（27）以及（28）可知，質點的運動軌跡取決于振動初始條件、振動剛度、剛體轉速、質點初始位置r0。由于質點振動的同時作平面剛體轉動，所以質點初始位置可視為離心振動系統的初始偏心位置。

為考察質點的運動軌跡，進一步令振動的初始條件t＝0．0s時，u（0）＝0．1m，v（0）＝0．05m，˙u（0）＝˙v（0）＝0．0m／s，初始偏心位置r0＝0．4m。當剛體轉速分別為ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s時，質點的位移時程曲線見圖4和5。根據質點隨時間變化可以得到質點在轉動坐標系下的平面運動軌跡，圖6為剛體轉速ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s時的質點運動軌跡，對給定的初始條件和振動剛度，質點的運動軌跡和振幅強烈依賴于剛體轉速。圖7表示質點振幅與轉速的關系曲線，在一定的振動剛度和振動初始條件下，存在一個臨界轉速（在本例中為1．0r／s），超過臨界轉速后，質點振動幅值會迅速增加，超越線性振動的范圍。前面關于系統動頻的分析提到過剛體的最大轉速，但對質點動力響應的分析表明，為保持系統的線性振動，剛體的轉動應該小于剛體臨界轉速。

觀察式（26）和（27）右端可以發現，質點的運動實際上由非偏心運動和偏心運動兩部分構成，非偏心運動取決于振動初始條件、剛體轉速和振動剛度，而偏心運動依賴于初始偏心位置、剛體轉速和振動剛度。

圖4 剛體轉速為0．25r／s時的位移時程曲線Fig．4 Mass displacement history atω＝0．25r／s

圖5 剛體轉速為1．0r／s時的位移時程曲線Fig．5 Mass displacement history atω＝1．0r／s

圖6 轉速為0．25r／s和1．0r／s時質點的運動軌跡Fig．6 Mass trajectories atω＝0．25r／s andω＝1．0r／s

圖7 質點振幅隨剛體轉速的變化Fig．7 Mass displacement amplitude vary with the rotational velocityω

圖8和9分別為剛體轉速為0．2 5r／s和1．0 r／s時分解的非偏心運動和偏心運動軌跡，注意到非偏心運動的幅值在不同剛體轉速下是相同的，而偏心運動的幅值強烈依賴于剛體轉速。當剛體轉速為0．25r／s時，質點的運動軌跡主要是非偏心運動軌跡，偏心運動的影響很小。當剛體轉速為1．0r／s時，偏心運動的影響顯著影響質點總的運動軌跡。當初始偏心位置和振動剛度一定，偏心運動幅值隨剛體轉速增加而增大，考慮到非偏心運動和偏心運動的相位因素，這解釋了圖6和7的質點振幅隨剛體轉速先降后升的變化，特別是剛體轉速超過某一臨界值時，偏心運動逐漸主導了質點的運動軌跡。

圖8 轉速為0．25r／s時的非偏心運動和偏心運動軌跡Fig．8 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝0．25r／s under rotating

圖9 轉速為1．0r／s時的非偏心運動和偏心運動軌跡Fig．9 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝1．0r／s under rotating

4 結 論

本文借助雙自由度離心振動系統的簡單模型，討論了大范圍剛體轉動和雙自由度振動的耦合動力學問題。在已知剛體轉動中，質點受到彈簧回復力、相對慣性力、初始離心力、離心力增量和科氏力。隨著剛體轉速的增加，第1階動頻線性降低而第2階動頻線性增加，剛體的最大轉速就是振動系統的固有頻率。雙自由度離心振動系統的兩階模態都是極化的圓周運動，圓周運動的角速度對應于系統的兩階圓頻率。

離心振動系統的質點運動軌跡與振動初始條件、振動剛度、剛體轉速和初始偏心距離有關。質點運動軌跡由非偏心運動和偏心運動兩部分構成，非偏心運動取決于振動初始條件、振動剛度和剛體轉速，偏心運動取決于初始偏心距離、振動剛度和剛體轉速，當初始偏心距離和振動剛度一定，偏心運動的振動幅值隨剛體轉速增加而增加。在有初始偏心情況下，離心振動系統存在臨界剛體轉速，超過臨界轉速后質點振動幅值迅速升高。對于大范圍剛體運動下的線彈性振動系統，為保持線彈性范圍內的振動，應考慮臨界的剛體轉速。

［1］ Park J H，Park H Y，Jeong S Y，et al．Linear vibration analysis of rotating wind－turbine blade［J］．Current Applied Physics，2010，10（2）：332—334．

［2］ Shum W S，Zhang L．Dynamic motion of whirling rods with Coriolis effect［J］．Applied Mathematical Modelling，2010，34：1 203—1 216．

［3］ Huang C L，Lin W Y，Hsiao K M．Free vibration analysis of rotating Euler beams at high angular velocity［J］．Computers and Structures，2010，88（17－18）：991—1 001．

［4］ Turhan O，Bulut G．On nonlinear vibrations of a rotating beam［J］．J．Sound and Vibration，2009，322（1－2）：314—335．

［5］ WEBER H I．A note on the stability of a rod subjected to compression by centrifugal force［J］．J．Sound and Vibration，1976，46（1）：105—111．

［6］ Lin S C，Hsiao K M．Vibration analysis of a rotating Timoshenko beam［J］．J．Sound and Vibration，2001，240（2）：303—322．

［7］ Cai G P，Hong J Z，Yang S X．Dynamic analysis of a flexible hub－beam system with tip mass［J］．Mechanics Research Communications，2005，32（2）：173—190．

［8］ 蔣麗忠，洪嘉振．大范圍運動對彈性梁振動頻率及模態的影響［J］．振動與沖擊，1999，18（1）：12—16．

Jiang Lizhong，Hong Jiazhen．The frequency and mode of elastic beams in large overall motions［J］．Journal of Vibration and Shock，1999，18（1）：12—16．

［9］ 劉錦陽，洪嘉振．大范圍運動空間梁的耦合動力學模型［J］．上海交通大學學報，2003，37（4）：532—534．

Liu Jinyang，Hong Jiazhen．Coupling dynamic modeling of the spatial beam under going large overall motions［J］．Journal of Shanghai Jiao Tong University，2003，37（4）：532—534．

［10］劉錦陽，李彬，洪嘉振．作大范圍空間運動柔性梁的剛－柔耦合動力學［J］．力學學報，2006，38（2）：276—282．

Liu Jinyang，Li Bin，Hong Jiazhen．Rigid－flexible coupling dynamics of a flexible beam with three－dimensional large overall motion［J］．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38（2）：276—282．

［11］章定國，余紀邦．作大范圍運動的柔性梁的動力學分析［J］．振動工程學報，2006，19（4）：475—480．

Zhang Dingguo，Yu Jibang．Dynamical analysis of a flexible cantilever beam with large overall motions［J］．Journal of Vibration Engineering，2006，19（4）：475—480．

［12］Lin J L，Soedel W．On general in－plane vibrations of rotating thick and thin rings［J］．J．Sound and Vibration，1988，122（3）：547—570．

［13］Kim W，Chung J．Free non－linear vibration of a rotating thin ring with the in－plane and out－of－plane motions［J］．J．Sound and Vibration 2002，258（1）：167—178．

［14］Eley R，Fox CHJ，McWilliam S．Coriolis coupling effects on the vibration of rotating rings［J］．J．Sound and Vibration，2000，238（3）：459—480．

［15］Chen J S．On the linearization of the equations of motion of a rotating disk［J］．Applied Mathematical Modelling，2011，35（1）：392—397．

［16］Baddour N，Zu J W．A revisit of spinning disk models．Part I：Derivation of equations of motion［J］．Applied Mathematical Modelling，2001，25（7）：541—559．

［17］Mignolet M P，Eick C D，Harish M V．Free vibration of flexible rotating disk［J］．J．Sound and Vibration，1996，196（5）：537—577．

［18］Hashemi S H，Farhadi S，Carra S．Free vibration analysis of rotating thick plates［J］．J．of Sound and Vibration，2009，323（1－2）：366—384．

［19］Maretic R．Transverse vibration and stability of an eccentric rotating circular plate［J］．J．of Sound and Vibration 2005，280（3－5）：467—478．

［20］劉錦陽，洪嘉振．作大范圍運動矩形薄板的建模理論和有限元離散方法［J］．振動工程學報，2003，16（2）：175—179．

Liu Jinyang，Hong Jiazhen．Dynamic modeling theory and finite element method for a rectangular plate un－dergoing large overall motion［J］．Journal of Vibration Engineering，2003，16（2）：175—179．

［21］趙飛云，洪嘉振．作大范圍運動矩形板的動力學建模理論研究［J］．計算力學學報，2008，25（6）：868—873．

Zhao Feiyun，Hong Jiazhen．Study on dynamic modeling of rectangular plates undergoing large overall motion［J］．Chinese Journal of Compu－tational Mechanics，2008，25（6）：868—873．

［22］Wang Y Q，Guo X H，Chang H H，et al．Nonlinear dynamic response of rotating circular cylindrical shells with precession of vibrating shape－Part I：Numerical solution［J］．Inter．J．Mechanical Sciences，2010，52（9）：1 217—1 224．

［23］Liew K M，Ng T Y，Zhao X，et al．Harmonic reproducing kernel particle method for free vibration analysis of rotating cylindrical shells［J］．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2002，191（37－38）：4 141—4 157．

［24］黃克智，薛明德，陸明萬．張量分析［M］．北京：清華大學出版社，2003．

Huang Kezhi，Xue Mingde，Lu Mingwan．Tensor A－nalysis［M］．Beijing：Tsinghua University Press，2003．

［25］Palais B，Palais R．Euler’s fixed point theorem：the axis of a rotation［J］．J．Fixed Point Theory and Applications，2007，2：215—220．

［26］蔡燧林，盛驟．常微分方程組與穩定性理論［M］．北京：高等教育出版社，1988．

Cai Suilin，Cheng Zhou．Ordinary Differential Equations and Stability Theory［M］．Beijing：Higher Education Press，1988．

［27］馬知恩，王綿森．工科數學分析基礎（下冊）［M］．北京：高等教育出版社，1999．

Ma Zhien，Wang Miansen．Engineering Mathematics Analysis （part II）［M］．Beijing：Higher Education Press，1999．