面向動態特性快速求解的銑刀等效建模方法

張 俊，黃保華，趙萬華，劉春時，盧秉恒

（1．西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室，陜西 西安 710049；2．沈陽機床（集團）有限責任公司高檔數控機床國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110141）

引 言

高速／超高速加工由于具有效率高、加工精度好等優點現已逐步應用于航空航天、發電設備等行業的結構件加工上，然而影響其有效高速加工的一個主要因素就是顫振。在實際工程中為避免顫振發生的一個有效方法是借助于該機床的切削穩定性極限圖（俗稱“葉瓣圖”）來選擇合適的切削參數［1～3］。采用錘擊法得到葉瓣圖是一種常用的方法，但是該方法費時且適用性差，當機床結構發生變化時，其葉瓣圖也會發生變化，需重復使用錘擊法測試，因此不適合如今生產中頻繁更換刀具和刀柄的各種加工中心。

2000年Schmitz等學者提出了一種計算刀尖點頻響函數的快速求解方法［4］，該方法通過將機床整機分成若干個子結構，如刀具、刀柄、主軸以及機床其他部件，分別計算或測試出各子結構的頻響函數，再耦合成整機的頻響特性，從而得到整機的切削穩定性極限圖。對于其中的刀具結構，如常用的整體立銑刀，由于刀齒部分較為復雜，不利于頻響函數的快速計算，通常將其等效成均勻直徑梁。Kops和Vo利用刀齒柔度相等（也就是剛度相等）的原則計算出了其等效梁模型的直徑［5］，對于所測試的2齒和4齒立銑刀，等效模型和實際模型的受力變形誤差大約在2．25%。Zhang等則在當量直徑的計算上采用了刀齒質量相等的方法［6］，從最終預測的整機頻響函數與實測結果來看，擬合精度較好。而其他絕大部分文獻在計算刀具頻響時［7～9］，均不區分刀桿和刀齒，統一將其等效為一均勻直徑梁，取銑刀最外端的包絡圓直徑作為等效直徑，這一簡化大大方便了頻響計算，但均未提及其帶來的影響。

刀齒等效模型的準確建立是影響整機頻響特性準確預測的一個重要方面，從目前發表的文獻來看，還未有學者對此問題做一個系統的研究。因此本文從刀具結構出發，分別借助于等質量、等截面積、等剛度的原則，比較這3種方法在刀具等效模型建立上的優缺點，為今后模型的合理建立提供依據。

1 銑刀等效模型的建立

以整體立銑刀為研究對象，圖1（a）為某型號立銑刀，采用激光掃描測量系統（型號：Faro P12－7）對其進行三維輪廓掃描，再根據掃描的點云數據進行實體重構得到其三維模型，如圖1（b）所示。為了快速計算銑刀的頻響特性，將其刀齒部分等效為均勻直徑梁，如圖2所示。

圖1 某型號整體立銑刀Fig．1 Endmill

圖2 整體立銑刀的等效模型Fig．2 Equivalent model of endmill

1．1 等質量法（EqM）

根據刀齒部分質量與等效后均勻直徑梁質量相等的原則，計算得出等效模型的直徑dm，如下式所示

式中M為銑刀總質量，ρ為刀具材料密度，且ρ＝14 605kg／m3，ds和ls分別為刀桿直徑和長度，lf為刀齒長度。

1．2 等截面積法（EqA）

整體立銑刀的刀齒為螺旋形，其截面面積均相等。因此以任一截面為基準，根據面積相等的原則，將刀齒截面等效為圓截面，利用下式計算出等效模型的直徑da

式中Af為刀齒的截面積。如果不考慮刀齒前端和刀齒向刀桿過渡的局部特征，則等質量法計算所得的dm與等截面積法算出的da是相同的。

1．3 等剛度法（EqK）

將實際狀況下的刀齒看成一懸臂梁，則其剛度可通過下式計算

對同一長度梁而言，可以用截面的慣性矩來表征整個梁的剛度，因此該方法也稱為“等慣性矩”法。根據刀齒結構等效前后的剛度相等原則，根據下式計算出等效模型的當量直徑dk

式中k和I分別為刀齒的剛度和二階慣性矩，E為彈性模量，且E＝560GPa。

以圖3中的4把整體立銑刀為研究對象，其切削齒t分別為2，3，4和6。應用以上3種方法對其等效處理，銑刀的原始結構尺寸（刀齒長度lf，刀桿長度ls，刀齒和刀桿直徑d）和等效后的當量直徑（等質量法dm，等截面積法da，等剛度法dk）如表1所示。由表1可知，無論是哪把銑刀，等剛度法得到的等效直徑都為最大。

圖3 4種整體立銑刀結構Fig．3 Four endmills used for analysis

表1 4種銑刀的結構參數與3種等效直徑Tab．1 Geometry and equivalent diameters of four endmills

2 銑刀等效模型的頻響特性

2．1 頻響函數計算

等效后的刀桿和刀齒均為均勻直徑梁，考慮到其長徑比不夠大，數值計算時采用考慮截面效應和剪切效應的Timoshenko梁模型［10］，該模型比不考慮以上兩效應的Euler－Bernoulli梁更為精確，其微分方程為

式中為梁截面的形狀因子［11］，G為剪切模量。

兩端均自由的梁有4個自由度（兩個轉角θ和兩個位移x），共分成n個單元進行求解，每個單元通過質量M矩陣和剛度K矩陣建立起力f（力矩m）和位移（轉角）之間的關系，如式（6）所示。

式中f和m分別為施加在梁單元兩端的力和力矩。因此，單元的頻響函數矩陣Rij可以寫成

2．2 刀齒和刀桿的頻響函數耦合

通過Timoshenko梁模型計算出刀齒和刀桿的頻響函數后，再根據子結構法對其進行剛性耦合，得到銑刀兩端自由狀態下的頻響函數［12］，如下式所示

3 銑刀的頻響特性測試

將整體立銑刀的兩端用彈性皮筋懸掛起，以模擬其自由狀態。在銑刀刀尖處布置一個PCB微型加速度傳感器（型號：352C23），傳感器采用蜂蠟粘結。考慮到試件的結構尺寸，選用了PCB小型力錘（型號：M352C65）。測振系統為LMS Test．Lab（型號：SCM05）。通過數據采集與分析系統在計算機中顯示出其頻率響應函數曲線，每次均取10次有效錘擊（相干系數大于0．8）的統計平均值作為最后分析結果。

為驗證實驗裝置和測試方法的準確性，特以一均勻直徑鋼棒（直徑27．8mm，長度224．40mm）為驗證對象（圖4），原點響應的測試值和理論計算值如圖5所示，二者吻合很好，說明測試系統和測試方法均為可行。

按照上述方法對圖3中的4把整體立銑刀分別進行測試（圖6），就可以獲得銑刀刀尖點的原點響應。

圖4 驗證用的測試鋼棒、力錘和傳感器Fig．4 Tested cylinder，hammer and sensor

圖5 鋼棒原點響應的理論值和測試值Fig．5 Theorical and measured direct receptance of tested cylinder

圖6 銑刀的頻響特性測試Fig．6 Impact testing for endmill′s FRF

4 結果分析與討論

4．1 頻響特性

圖7給出了銑刀B和D在8 000Hz范圍內的頻響函數曲線（實部Re和虛部Im），包括錘擊法的實驗測試（Exp）和3種等效模型方法（EqM，EqA和EqK）的計算結果。在非固有頻率區域，等效模型預測值與實驗測試結果吻合很好；在固有頻率附近，不同的等效方法表現出不同的吻合程度，二者的詳細誤差分析見下節。

采用等效模型和子結構方法計算銑刀的頻響函數曲線可以在很短的時間內完成。然而，如果通過采用構建銑刀三維模型，再對其進行有限元諧響應分析得到其頻響函數曲線，則需要數百倍的時間。因此，等效模型的合理建立可以為后續整機穩定性的快速預測奠定基礎。

圖7 銑刀的頻率響應曲線Fig．7 Endmill′s FRF

4．2 固有頻率

由于銑刀在自由狀態下前6階固有頻率均為零，所以本文為便于表述，將其不為零的第7階作為第1階。表2～4分別列出了4把立銑刀前3階固有頻率的實驗測試值和等效模型計算值及其絕對誤差。由3種等效模型的計算值誤差率可以看出，對于銑刀A，B和C，即2齒、3齒和4齒的銑刀而言，等剛度法的誤差最小，具有最好的預測精度。而對于具有6齒的銑刀D而言，等質量法的預測精度要高于等截面積法和等剛度法。

表2 第1階固有頻率Tab．2 The first natural frequency

表3 第2階固有頻率Tab．3 The second natural frequency

表4 第3階固有頻率Tab．4 The third natural frequency

4．3 討論

對于4把銑刀，采用等剛度法得到的等效模型（或者說等效直徑），再計算其質量，并將等效模型的質量與銑刀的原始質量對比，如表5所示，不難發現銑刀A，B和C的誤差比較接近，在3%左右；而銑刀D的誤差達到了5．6%，明顯大于前三者。因而對于銑刀D而言，采用等剛度法達到的精度顯然要低于銑刀A，B和C。

表5 采用等剛度法后的等效模型質量及誤差Tab．5 The mass of equivalent model and its error by using equal stiffness method

然而，從以上的分析結果并不能下結論說等剛度法適合用于疏齒銑刀（如銑刀A，B和C），而等質量法適合用于密齒銑刀（如銑刀D）。實際上3種方法的適用范圍會隨銑刀結構參數而改變的。借助于有限元方法對整體立銑刀進行了單因素的影響分析，分析之前通過以上的實驗測試結果驗證了有限元計算的準確性。圖8分別給出了不同刀齒截面慣性矩（體現為不同的齒數t）、螺旋角β、刀齒長度占銑刀總長比例κ＝lf／l，以及刀具長徑比γ＝l／d參數下，3種等效方法相對誤差er的變化曲線（從相對誤差可以看出該參數的具體數值下，3種等效方法所引起的是正偏差還是負偏差，因為多因素綜合作用下，各因素所帶來的誤差可能會相互抵消），從變化的誤差值可知這4個因素都將影響3種等效模型的適應范圍，其中β和κ的影響要大于其他兩因素。

各參數間引起的相對誤差與總誤差之間可采用多元線性關系下式表示

圖8 4因素引起的3種等效方法的相對誤差Fig．8 Relative error of three equivlent model by four factors

式中et為總相對誤差，αi為因素引起的相對誤差的影響系數。假設忽略影響系數α，則可得到et與eri之間的簡單代數關系。將上文的4把銑刀（A，B，C和D）的參數分別參照圖8的分析結果，得到每參數的相對誤差值E，綜合后得到總誤差，結果如表6所示。由表6中數據同樣可以看出對于銑刀A，B和C而言，等剛度法預測精度最高；對于銑刀D，等質量法預測精度更好。這與前文4．2的分析結果很吻合，但表6中數據不能代表其實際誤差值，因為未考慮各因素的影響程度，即影響系數α。

5 結 論

（1）基于機床整機穩定性快速預測的思想，分析了銑刀頻響函數快速求解的3種等效模型方法（等質量法、等截面積法、等剛度法）的優缺點和各自的適應性。

（2）可將銑刀分成刀桿和刀齒兩部分，分別求解其頻響函數，再通過子結構方法將其耦合為銑刀整體的頻響函數，該方法有效克服了采用有限元方法計算整體銑刀頻響函數速度慢的缺點。

（3）分析了刀齒截面慣性矩、刀齒螺旋角、刀齒長度占總長百分比和銑刀長度與直徑比值等4個因素對3種等效方法所引起的相對誤差變化規律，并根據此規律解釋了銑刀A，B，C采用等剛度法計算精度最高，而銑刀D采用等質量法計算精度最高的原因。

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