下擊暴流空間相關性風場模擬

張文福，謝 丹，劉迎春，計 靜

(1.東北石油大學 土木建筑工程學院，大慶 163318;2.黑龍江省防災減災及防護工程重點實驗室，大慶 163318)

下擊暴流風速是自然界中的極端風荷載的來源之一，已引起世界各地許多結構的破壞［1-2］。Fujita［3］將下擊暴流風速定義為一股強烈的下沉氣流引起的沿著地面或靠近地面的極具破壞力的爆發性強風。Chay等［4］從本質上詳細的闡述了下擊暴流風速的形成方式。

國外許多學者通過風場實測、風洞實驗模擬、CFD數值模擬等方法對下擊暴流風速進行大量研究，提出了一些下擊暴流風速的豎向風剖面和水平徑向風剖面的數學模型［5-8］。Chen等［9］在這些數學模型的基礎上提出了一種下擊暴流風速數值模擬的模型，即:確定性-隨機性混合模型(Deterministic-Stochastic Hybrid model，本文簡稱為 DESH 模型)。瞿偉廉等［10］在DESH模型的基礎上采用改進的諧波疊加法對下擊暴流風速進行數值模擬研究;潘峰等［11］采用DESH模型模擬了跨度屋蓋結構的下擊暴流風場，并對其進行了邊界層風洞試驗研究。王昕等［12］在DESH模型的基礎上聯合運用FFT算法和諧波疊加法模擬了下擊暴流風速的脈動成分，并對下擊暴流風荷載作用下高聳輸電塔進行風振響應研究。李春祥等［13］采用DESH模型對某一固定位置處的豎向分布下擊暴流風場進行了數值模擬，并且在模擬隨機脈動成分時引入了三次樣條函數插值技術，提高了下擊暴流風場數值模擬的效率。

由于目前實測的下擊暴流風速曲線記錄比較少，因此在現有的數學模型基礎上開展下擊暴流風場的數值模擬研究顯得十分必要。本文在Chen等［9］提出的DESH模型的基礎上，利用Wood［7］豎向風剖面模型和Holmes［8］水平徑向風剖面模型模擬出空間各點處的平均風速，并采用AR模型生成具有時間相關性和空間相關性的脈動風速，從而模擬得到下擊暴流空間相關性風場。

1 DESH模型

在這個模型中，空間各點的下擊暴流風速由具有確定性的平均風和具有隨機性的脈動風兩部分組成，M個空間點的風速時程向量(風場)V(x，y，z，t)=［V1(x1，y1，z1，t)V2(x2，y2，z2，t)…VM(xM，yM，zM，t)］T中任意一點可表示成:

式中:Vi(xi，yi，zi，t)是關于空間中一點同風暴中心相對位置坐標xi，yi，zi和時間t的函數，表示隨時間變化的平均風速，可以由一個確定的函數來指定，稱為具有確定性的平均風;vi(xi，yi，zi，t)是與風暴中心相對位置有關的零均值的脈動風，是一個隨機過程。

在不影響工程精度要求的前提下，對DESH模型作如下假定:① 各位置處平均風速的最大值在時間函數取得最大值時獲得;② 非平穩的脈動風可以通過一個平穩隨機風速場進行幅度調制來獲得;③ Davenport提出的脈動風相干函數適用于DESH模型。

1.1 平均風速

空間中一點任意時刻t的平均風速可以用一個豎向風剖面函數與一個時間函數的乘積來表示，即:

式中:Vi(zi)為最大平均風速的豎向風剖面;fi(xi，yi，t)為描述豎向風剖面隨時間變化的函數，其最大值為1;xi，yi為空間點相對風暴中心的位置坐標。

對于豎向風剖面，本文采用 Wood等［7］提出的模型，其表達式為:

式中:zi為空間點距地面的高度;Vmax為最大風速;δ為高度參數，它等于取得最大風速Vmax時離地面高度的一半;erf是容許誤差函數，其表達式為:

Holmes在前人研究的基礎上提出考慮時間衰減性的徑向射流速度分布規律及風暴移動速度的概念，并指出:空間點任意時刻的平均風速Vci(xi，yi，t)等于下擊暴流徑向射流速度Vri(xi，yi，t)與風暴中心移動速度Vt的矢量和:

其中徑向射流速度通過下式確定:

式中:r為t時刻空間點與風暴中心點的距離;Vr，max為最大的徑向射流速度;rmax為取得Vr，max時的位置距風暴中心的徑向距離;Rr為徑向的特征距離;T為下擊暴流持續時間。

假設風暴中心沿X方向移動，風暴中心與空間點的位置關系及速度關系圖如圖1所示。分析圖1可知，假設在XOY坐標系中:0時刻風暴中心點O坐標為(0，0)，空間點P坐標為(xi，yi);在X'O'Y'坐標系中:t時刻風暴中心點O'坐標為(0，0)，空間點P'坐標為(x，y)。則:

將式(7)和式(8)代入式(5)得:

圖1 徑向速度與風暴移動速度矢量合成圖Fig.1 Vector combination of radial and translation

將式(9)代入式(4)即可求出時間函數，再將式(4)代入式(2)可求得隨時間變化的平均風速。從中可以看出平均風速與空間點P相對于0時刻風暴中心的坐標(xi，yi)及離地面高度zi有關，圖2給出了空間四點的平均風速隨時間的分布情況，其中0時刻風暴中心的坐標為(0，0)，沿X軸方向以12 m/s的速度移動，空間四個點的坐標分別為P1(2 000，100，20)、P2(4 000，100，40)、P3(3 000，150，60)、P4(3 000，50，80)，風暴中心與空間點的位置關系如圖1所示。

1.2 脈動風速

下擊暴流風速的脈動風部分是一個非平穩的隨機過程，可以通過一個平穩隨機風速場進行幅度調制來獲得:

圖2 空間四點平均風速分布圖Fig.2 Average wind speed distribution of 4 spatial points

由于ki(xi，yi，zi，t)服從風速譜的頻譜分布特性，本文采用Davenport單邊風速譜，歸一化后的結果為:

下面討論ki(xi，yi，zi，t)的生成。生成脈動風的模型包括 AR模型、小波分析模型、諧波疊加模型等［15-16］。與諧波疊加模型相比，AR模型的計算量小、速度快，模擬的效率較高［17-18］，尤其是在生成一系列具有空間相關性脈動風速時，AR模型的效率遠高于諧波疊加模型［15］。當然，諧波疊加模型數學基礎嚴密，在模型的精度上略高于AR模型，但是從后文中相關函數及功率譜的對比可以看出，AR模型的模擬結果也能滿足工程精度的要求。小波分析模型雖然精度也較高，但是其程序特別復雜，計算效率也低于AR模型。

本文利用文獻［15］中的標量AR模型產生一系列具有時間相關性，但是在空間上互不相關的脈動風速ui(t)，i=1，2，…，M，之后在考慮各個點之間的空間相關性，從而模擬出下擊暴流空間相關性脈動風速。

1.2.1ui(t)的生成

P階AR 模型為［15］:

式中:p為自回歸階數，ψk為自回歸系數，N(t)為均值為0、方差為1的正態分布隨機數。

依次將式(12)兩邊都乘以ui(t-jΔt)和ui(t)并取數學期望得［15］:

其中Ru(jΔt)是風速時間序列的自相關函數，根據維納-辛欽公式得到自相關函數可由下式來計算:

1.2.2 空間相關性脈動風速的產生

ui(t)向具有特定相關特性脈動風速ki(xi，yi，zi，t)，i=1，2，…，M的轉化可通過下式:

C為一個下三角矩陣，其元素可用如下遞推公式求得:

其中:R0為脈動風的互相關函數，可由下式求得:

式中:Sij(n)為i點與j點的互功率譜密度，可由自功率譜密度和相干函數確定，如式(19)和式(20)所示［15-16］:

式中:Cx、Cy、Cz分別為空間任意兩點左右、上下、前后的衰減系數)分別為第i點與第j點的平均風速，取零時刻的值;(xi，yi，zi)、(xj，yj，zj)分別為空間i，j點的三維坐標。

2 算例

圖3 空間七點坐標Fig.3 Coordinates of 7 spatial points

圖4 空間七點的風速時程曲線Fig.4 Wind velocity history samples of 7 spatial point

表1 下擊暴流風場模擬時的主要參數Tab.1 Main parameters of downburst wind field simulation

圖5 相關函數的對比Fig.5 Comparisons of correlation function

圖6 自功率譜的對比Fig.6 Comparisons of auto PSD

3 結論

(1)考慮時間衰減性研究了平均風速與空間觀測點相對于零時刻風暴中心的坐標及離地面高度的關系，并給出了空間中四個點的平均風速隨時間的分布情況。

(2)在確定性-隨機性混合模型的基礎上，利用Wood豎向風剖面模型和Holmes水平徑向風剖面模型模擬出空間七點處的平均風速，并采用AR模型生成具有時間相關性和空間相關性的脈動風速，從而獲得下擊暴流空間相關性風場。通過脈動風相關函數及功率譜的對比表明，本文方法具有較高的精度。

由于風暴中心的移動性，空間點的平均風速隨時間改變，本文在互相關函數計算中平均風速取零時刻的值來代替，沒有考慮其隨著時間的變化性，在后續研究中應將風暴中心的移動速度引入相關函數對比中。

［1］HawesH， Dempsey D. Review ofrecentAustralian transmission line failures due to high intensity winds［R］.Paper Presented at Workshop on High Intensity Winds on Transmission Lines，Buenos Aires，Argentina，1993，4:19-23.

［2］Holmes J D.Modeling of extreme thunderstorm winds for wind loading of structures and risk assessment［C］ //Wind Engineering into 21st Century，Proceedings of 10th International Conference on Wind Engineering，Balkema，Rotterdam，1999，2:1409-1415.

［3］Fujita T T.The downburst:Microburst and macroburst:report of projects NIMROD and JAWS［R］.University of Chicago，1985.

［4］Chay M T，Letchford C W.Pressure distributions on a cube in a simulated thunderstorm downburst-Part A:Stationary downburst observations［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 2002，90:711-732.

［5］Oseguera R M，Bowles R L.A simple analytic 3-dimensional downburst model based on boundary layer stagnation flow［R］.［S.l.］:Langley Research Center，1988.

［6］Vicroy D D.Assessment of microburst models for downdraft estimation［J］.Journal of Aircraft，1992，29:1043-1048.

［7］Wood G S，Kwok K C S，Motteram N A，et al.Physical and numerical modelling of thunderstorm downbursts［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2001，89(6):535-552.

［8］Holmes J D，Oliver S E.An empirical model of a downburst［J］.Engineering Structures，2000，22:1167-1172.

［9］Chen L，Letchford C W.A deterministic-stochastic hybrid model of downbursts and its impact on a cantilever structure［J］.Engineering Structures，2004，26:619-626.

［10］瞿偉廉，王錦文.下擊暴流風荷載的數值模擬［J］.武漢理工大學學報，2008，30(2):70-74.QU Wei-lian， WANG Jin-wen. Numerical simulation of downburst wind loads［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2008，30(2):70-74.

［11］潘 峰，孫炳楠，樓文娟，等.沖擊風作用下大跨屋蓋多模態隨機風致響應研究［J］.空氣動力學學報，2008，26(1):119-125.

PAN Feng，SUN Bin-nan，LOU Wen-juan，et al.Random wind-induced dynamic response of long-span roof to thunderstorm downbursts in the time domain［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2008，26(1):119-125.

［12］王 昕，樓文娟，李宏男，等.雷暴沖擊風作用下高聳輸電塔風振響應［J］.浙江大學學報，2009，43(8):1520-1525.

WANG Xin，LOU Wen-juan，LI Hong-nan，et al.Windinduced dynamic response of high-rise transmission tower under downburstwind load［J］. JournalofZhejiang University，2009，43(8):1520-1525.

［13］李春祥，劉晨哲，申建紅，等.土木工程下擊暴流風速數值模擬的研究［J］.振動與沖擊，2010，29(12):50-54.

LI Chun-xiang，LIU Chen-zhe， SHEN Jian-hong，et al.Numerical simulations of downburst wind speeds in civil engineering［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(12):50-54.

［14］ Chay M T.Physical modeling of thunderstorm downbursts for wind engineering applications［D］.Lubbock:Texas Tech University，2001.

［15］張文福，馬昌恒.兩種AR模型空間相干性風場的比較［J］.空間結構，2009，15(2):22-26.

ZHANG Wen-fu，MA Chang-heng.Comparison of two kinds of AR models for spatial correlation wind field simulation［J］.Spatial Structures，2009，15(2):22-26.

［16］張文福，馬昌恒，孫曉剛，等.基于小波分析空間相關性風場模擬［J］.空氣動力學學報，2008，26(4):425-429.

ZHANG Wen-fu，MA Chang-heng，SUN Xiao-gang，et al.Simulation of wind field with spatial correlation based on wavelet analysis method［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2008，26(4):425-429.

［17］馬 駿，周 岱，李 磊，等.風時程模擬的高效高精度混合法［J］.工程力學，2009，26(2):53-77.MA Jun，ZHOU Dai，LI Lei，et al.The composite approach for wind time series simulation［J］.Engineering Mechanics，2009，26(2):53-57.

［18］ 李 峰，竇 鵬，王 磊.風荷載模擬方法探討［J］.水利與建筑工程學報，2009，7(4):57-59.

LI Feng，DOU Peng，WANG Lei.Discussion on numerical simulation methods of wind load［J］.Journal of Water Resources and Architectural Engineering，2009，7(4):57-59.