非線性彈性地基上懸臂輸流管的受迫振動

張紫龍，唐 敏，倪 樵

(華中科技大學 力學系，武漢 430074;工程結構與安全湖北省重點實驗室，武漢 430074)

輸流管是一種廣泛應用于油氣運輸、采礦工程、熱交換器等工程領域中的重要工程結構。眾所周知，當管內流速大于某一臨界值時，輸流管將會發生失穩，失穩形式與端部支承方式有關(對于兩端支承輸流管，將發生屈曲失穩;而對于懸臂輸流管，將發生顫振失穩)。一旦輸流管道發生失穩，可能會對整個結構造成破壞。因此，近幾十年來輸流管的動力學行為已經成為結構動力學研究的重要內容之一，許多研究者［1-11］對這一問題進行了研究。已有研究表明［12-14］，地基的力學特性對輸流管系統的動力學行為有很大的影響。常用的彈性地基近似模型主要有兩種［15］:① Winkler模型，該模型不考慮土體的連續性，將地基等效為一系列相互獨立的線性彈簧系統，地基上任一點受力只有該點處的彈簧產生形變，其他彈簧不受影響;② Pasternak雙參數模型，該模型在Winkler模型基礎上考慮了土體的剪切效應和連續性，相對于Winkler模型，該模型更接近實際情況。基于以上兩種地基模型，許多研究者對彈性地基上輸流管道的動力學行為進行了研究。王忠民等［16］研究了以上兩種地基模型上的輸流管道的振動穩定性，并分別討論了兩種地基模型中各參數對系統穩定性的影響。Doared等［17］基于Winkler地基模型研究了彈性地基上懸臂、兩端簡支等支承作用下輸流管道的局部和全局穩定性。Qian等［18］基于Winkler模型，使用三次非線性彈簧來描述地基的非線性特性，建立了非線性雙參數Winkler模型，在此基礎上研究了非線性彈性地基上懸臂輸流管的非線性動力學行為，并討論了各參數對系統Hopf分岔點流速的影響，結果顯示地基的非線性剛度對于系統的非線性動力學行為有重要的影響，在研究輸流管-地基系統的非線性動力學行為時不應忽略。梁峰等［19］研究了Pasternak雙參數彈性地基上兩端固支輸流管道的靜態和動態穩定性問題，并應用平均法考察了脈動內流作用時管道的前兩階主參數共振和組合共振，結果表明，地基的剪切剛度對輸流管-地基系統的靜態和動態穩定性均有顯著影響。

為了更真實地反映彈性地基上輸流管的動力學特性，本文基于Pasternak雙參數地基模型，綜合考慮地基的剪切效應、非線性特性和粘滯阻尼的影響，建立了基礎激勵作用下非線性彈性地基上輸流管的運動方程。使用Galerkin法，研究了基礎激勵作用下非線性地基上懸臂輸流管的非線性動力學行為，著重討論地基剪切剛度和基礎激勵頻率對系統動力學特性的影響。

1 運動方程

考慮圖1所示非線性彈性地基上的懸臂輸流管道，U為管內流體流速，w(x，t)是管道中心線的橫向位移，x為沿管道長度方向的位置坐標;kG，C，k1，k2分別表示地基的剪切剛度，粘滯阻尼，等效線性剛度，等效非線性剛度;Y0sin(Ωt)是基礎位移激勵。

圖1 非線性彈性地基上懸臂輸流管道示意圖Fig.1 Schematic of a cantilevered fluid-conveying pipe rested on nonlinear Pasternak foundation

基礎激勵作用下非線性彈性地基上的懸臂輸流管道運動方程可寫作［18-19］:

其中:EI為管道的彎曲剛度，E*為粘彈性系數，M和m分別表示單位長度流體和管道的質量，F表示單位長度地基對管道的支承力。

對于圖1所示非線性彈性地基，其對管道的單位長度支承力可表示為:

引入如下無量綱參數，l為管道的長度，

可以將式(1)寫成如下的無量綱形式:

方程(4)可利用Galerkin法進行離散。方程(4)中管道的位移函數可表示為:

其中:φr，r=1，2是懸臂梁的模態函數，qr為廣義坐標。將上式代入方程(4)，并在方程兩邊同時左乘Φ，然后對ξ從0～1積分，利用模態函數的正交性，可得:

其中，I為單位矩陣。

為了方便后續的數值計算，引入狀態向量z={q1，q2，1，2}，將式(6)寫成如下形式的一階狀態方程:

其中:

式(8)構成了輸流管系統的非線性響應控制方程，求解此方程可得到輸流管在取定參數下的動力響應。

2 數值仿真

為了分析輸流管系統的動力響應，重點考察管道自由端的響應。采用四階Runge-Kutta法對方程(8)進行求解，時間步長取0.001，初始條件為 qi=0.001，i=0，i=1，2。在以下分析中，選取較高內流速度，u=11。由文獻［18］可知，在不考慮外部激勵作用時，該流速下輸流管系統處于偏離零平衡位置的一個穩定焦點。其余系統參數選取如下［18］:

首先，考察地基剪切剛度κG=0時，系統在基礎激勵作用下的動力響應。圖2給出了以基礎激勵頻率ω為控制參數時的分岔圖，圖中縱坐標是輸流管自由端(ξ=1)處的位移。當管道端部位置的振動速度為零時(η(1，τ)=0)，記錄此時管道端部位置的瞬時位移(η(1，τ)=φ1(1)q1(τ)+ φ2(1)q2(τ))，并將其以點的形式繪制到分岔圖中。在分岔圖的繪制中，并未考慮初始時刻的振動過程，僅考慮振動相對穩定時的響應。從該圖可以看出，隨著基礎激勵頻率的變化，地基-輸流管系統呈現出非常豐富的動力學行為，包括周期、概周期和混沌運動。當激勵頻率較小時，管道發生周期-1運動。當37.5＜ω＜39.5時，系統處于混沌運態。而當39.5＜ω＜50.65時，系統發生周期-3振動。隨著激勵頻率的增大，系統將在50.65＜ω＜51.5發生倍周期分岔并通向混沌，進一步研究表明，此區域內系統的振動形態依次為:周期 -3，周期 -6，周期 -12，……，周期-3·2n-1，混沌。從圖中還可以看到，隨著激勵頻率的變化系統在某些頻率范圍內會發生多次振動形態的跳躍并最終過渡到混沌運動，比如在76.9＜ω＜78，系統的運動形態從周期-4跳躍到周期-13，然后跳躍到周期-4，又從周期-4跳躍到周期-11，…，并由此過渡到下一個混沌運動窗口。繼續增大激勵頻率，系統將會從混沌運動經由概周期運動過渡到下一個周期運動窗口。值得注意的是，上述混沌運動窗口中均包含了多個周期和概周期窗口。圖3給出了典型運動形態的相軌跡圖，從中可以清楚地看到系統運動形態的變化情況，如圖3(d)～(f)是系統發生倍周期分岔的過程。

圖2 以基礎激勵頻率ω為控制參數的分岔圖，κG=0Fig.2 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，for κG=0

圖3 不同基礎激勵頻率下輸流管自由端運動形態的相軌跡圖Fig.3 Phase portraits of the motions of the tip point，for the system defined in Fig.2

接下來將研究地基剪切剛度對系統動力學行為的影響，即κG≠0時。圖4～5給出了不同地基剪切剛度下系統的分岔圖。由圖2、圖4和圖5可以看出，地基剪切剛度對系統的動力學行為有很明顯的影響，隨著地基剪切剛度的增大，系統的混沌運動和概周期運動窗口逐漸減小并消失。值得注意的是，當地基剪切剛度足夠大時(對于本文所取參數，κG=40)，系統在所取激勵頻率范圍內將始終處于周期運動狀態。由此可見，地基剪切剛度對于基礎激勵作用下輸流管-地基系統的混沌運動和概周期運動有很好的抑制作用。這對于輸流管的振動控制設計與實際應用具有重要意義。因為對于實際系統而言，混沌運動通常是有害的，在進行輸流管設計和鋪設的時候，可以通過增加地基的剪切剛度來避免管道發生混沌運動，從而提高輸流管系統的安全性。

圖4 考慮地基剪切剛度時系統的分岔圖，κG=20Fig.4 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，κG=20

圖5 考慮地基剪切剛度時系統的分岔圖，κG=40Fig.5 Bifurcation diagram for the tip point displacement，as a function of forcing frequency ω，κG=40

3 結論

本文基于Pasternak地基模型，綜合考慮地基的剪切效應、非線性特性和粘滯阻尼的影響，研究了基礎激勵作用下非線性彈性地基上輸流管的非線性動力響應，著重討論了基礎激勵和地基剪切剛度對系統動力學特性的影響。數值計算表明，系統在基礎激勵作用下具有非常復雜的動態響應，包括多種形式的周期、概周期和混沌運動。當基礎激勵頻率連續變化時，系統的運動形態還會發生跳躍。系統主要經由以下兩種路徑通向混沌:倍周期分岔;運動形態的跳躍。其中后一種路徑與倍周期分岔類似，但其運動形態的周期數并不是成倍數變化關系。結果還顯示，地基的剪切剛度對系統的概周期運動和混沌運動有抑制作用，隨著地基剪切剛度的增大，在激勵頻率參數區域內系統的概周期和混沌運動窗口逐漸減小;當地基剪切剛度足夠大時，系統將始終處于周期運動狀態。

［1］Pa?doussis M P. Fluid-structure interactions:slender structures and axial flow，vol.1［M］.London，Academic Press，1998.

［2］Pa?doussis M P，Semler C.Nonlinear and chaotic oscillations of a constrained cantilevered pipe conveying fluid:A full nonlinear analysis［J］.Nonlinear Dynamics，1993，4:655-670.

［3］黃玉盈，鄒時智，錢 勤，等.輸液管的非線性振動、分叉與混沌——現狀與展望［J］.力學進展，1998，28(1):30-42.HUANG Yu-Ying，ZOU Shi-zhi，Qian Qin，et al.Advances and trends of nonlinear dynamics of pipes conveying fluid［J］.Advances in Mechanics，1998，28(1):30-42.

［4］徐 鑒，楊前彪.輸液管模型及其非線性動力學近期研究進展［J］.力學進展，2004，34(2):182-194.XU Jian，YANG Qian-biao.Recent development on models and nonlinear dynamics of pipes conveying fluid［J］.Advances in Mechanics，2004，34(2):182-194.

［5］金基鐸，楊曉東，張宇飛.固定約束松動對輸流管道穩定性和臨界流速的影響［J］.振動與沖擊，2009，28(6):95-99.JIN Ji-duo，YANG Xiao-dong，ZHANG Yu-fei.Analysis of critical flow velocities of pipe conveying fluid under relaxation of boundary conditions［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(6):95-99.

［6］包日東，金志浩，聞邦椿.一般支承條件下輸流管道的非線性動力學特性研究［J］.振動與沖擊，2009，28(7):153-157.BAO Ri-dong，JIN Zhi-hao，WEN Bang-chun.Nonlinear dynamic characteristics of a fluid conveying pipe under condition of commonly elastic supports［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(7):153-157.

［7］孟 丹，郭海燕，徐思朋.輸流管道的流體誘發振動穩定性分析［J］.振動與沖擊，2010，29(6):80-83.MENG Dan，GUO Hai-yan，XU Si-peng.Stability analysis on flow-induced vibration of fluid-conveying pipes［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(6):80-83.

［8］郭長青，劉紅濤，王曉鋒，等.輸流管道在分布隨從力作用下的振動和穩定性［J］.工程力學，2010，27(4):190-196.GUO Chang-qing，LIU Hong-tao，WANG Xiao-feng，et al.Vibration and stability ofpipes conveying fluid with distributed follower force［J］.Engineering Mechanics，2010，27(4):190-196.

［9］黃慧春，張艷雷，陳立群.超臨界條件下固支邊界輸液管的內共振［J］.力學季刊，2011，32(1):48-52.HUANG Hui-chun， ZHANG Yan-lei， CHEN Li-qun.Resonance of clamped-clamped pipes conveying fluid in supercritical range［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2011，32(1):48-52.

［10］Qiao N，Yuying H.Differential quadrature method to stability analysis of pipes conveying fluid with spring support［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2000，13:320-327.

［11］Wang L.A further study on the non-linear dynamics of simply supported pipes conveying pulsating fluid［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2009，44:115-121.

［12］Chellapilla K R，Simha H S.Critical velocity of fluidconveying pipes resting on two-parameter foundation［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，302:387-397.

［13］Lottati I，Kornecki A.The effect of an elastic foundation and of dissipative forces on the stability of fluid-conveying pipes［J］.Journal of Sound and Vibration，1986，109:327-338.

［14］Dermendjian-Ivanova D S.Critical flow velocities of a simply supported pipeline on an elastic foundation［J］.Journal of Sound and Vibration，1992，157(2):370-374.

［15］Dutta SC，Roy R.A critical review on idealization and modeling for interaction among soil-foundation-structure system［J］.Computers and Structures，2002，80(20-21):1579-1594.

［16］王忠民，馮振宇，趙鳳群，等.彈性地基輸流管道的耦合模態顫振分析［J］.應用數學與力學，2000，21(10):1060-1068.WANG Zhong-min，FENG Zhen-yu，ZHAO Feng-qun，et al.Analysis of coupled-mode flutter of pipes conveying fluid on elastic foundation［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2000，21(10):1060-1068.

［17］Doared O，de Langre E.Local and global instability of fluidconveying pipes on elastic foundation［J］.Journal of Fluids and Structures，2002，16(1):1-14.

［18］Qian Q，Wang L，Ni Q.Nonlinear response of a fluidconveying pipe embedded in nonlinear elastic foundations［J］.Acta Mechanica Solida Sinica 2008，21(2):171-176.

［19］梁 峰，金基鐸，楊曉東，等.彈性地基上輸流管道的靜態和動態穩定性研究［J］.工程力學，2010，27(11):166-171.LIANG Feng，JIN Ji-duo，YANG Xiao-dong，et al.Static and dynamic stabilities of fluid pipes on elastic foundation［J］.Engineering Mechanics，2010，27(11):166-171.