基于PCA的盲信號(hào)預(yù)處理方法研究

趙忠華　楊曉梅

摘 要：盲信號(hào)分離技術(shù)是信號(hào)處理領(lǐng)域發(fā)展相對(duì)較晚的一種理論，目前已迅速成為該領(lǐng)域內(nèi)重要的組成部分。本文首先對(duì)盲信號(hào)的基本研究方法和分離問題的數(shù)學(xué)模型作了介紹，詳細(xì)介紹了盲信號(hào)分離技術(shù)中的預(yù)處理方法PCA，并指出其主要特點(diǎn)和性能。

關(guān)鍵詞：盲信號(hào)；預(yù)處理；PCA

1 引言

近年來，盲信號(hào)分離（BSS）成為一個(gè)全新的信息處理領(lǐng)域，它綜合了信號(hào)估計(jì)、最優(yōu)化、概率論、信息論以及隨機(jī)信號(hào)等理論。隨著技術(shù)的發(fā)展，盲信號(hào)分離方法在通信、圖像處理、語音識(shí)別、生物醫(yī)學(xué)、地震監(jiān)測、水聲信號(hào)處理等眾多領(lǐng)域具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用前景。盲信號(hào)分離技術(shù)是指在源信號(hào)和傳輸通道的參數(shù)未知的情況下，僅根據(jù)源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，由觀測信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)的過程[1]。

1.1 盲信號(hào)分離技術(shù)的數(shù)學(xué)模型

盲信號(hào)分離技術(shù)的基本數(shù)學(xué)模型如圖1所示[2]。由于盲信號(hào)的傳輸通道參數(shù)未知，通過對(duì)傳輸通道模型的假設(shè)，可分為瞬時(shí)線性混合模型、非線性混合模型和卷積混合模型等。

其中為，假設(shè)s1（t），s2（t），...，sN（t）為N個(gè)未知的源信號(hào)，經(jīng)過傳輸（混合）后，接收到的M個(gè)觀測信號(hào)為x1（t），x2（t），...，xM （t）。y1（t），y2（t），...，yN（t）為分離后的輸出信號(hào)。因此盲信號(hào)分離可以用下面的混合方程描述[2]：

式中，S（t）=[s1（t），…，sN（t）]T，稱為源信號(hào)向量；X（t）=[x1（t），…，xM（t）]T，稱為觀測數(shù)據(jù)向量，而M×N維的矩陣A稱為混合矩陣，其元素表示信號(hào)的混合情況（即傳輸通道參數(shù)）。

盲信號(hào)分離問題的提法是：在混合矩陣A和源信號(hào)向量S（t）未知的情況下，只根據(jù)觀測數(shù)據(jù)向量X（t）確定分離矩陣W，使得變換后的輸出為：

則Y（t）就是源信號(hào)向量S（t）的估計(jì)。

而盲信號(hào)分離技術(shù)就是尋找分離矩陣W，使輸出信號(hào)Y（t）盡可能的逼近真實(shí)源信號(hào)S（t）[2]。

以上混合方程基于無噪聲的理論模型，若考慮混合中的噪聲，混合方程改寫為[3]：

這也屬于線性混合模型，只要在盲信號(hào)分離過程中滿足對(duì)源信號(hào)的假設(shè)，就可以實(shí)現(xiàn) 的估計(jì)，然后再進(jìn)行降噪處理，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的估計(jì)。

1.2 實(shí)現(xiàn)盲信號(hào)分離的假設(shè)前提[2]

由于源信號(hào)S（t）和分離矩陣W均是未知的，因此作為W結(jié)構(gòu)信息缺失的一種補(bǔ)償，必須要對(duì)源信號(hào)和分離矩陣W做出某些附加假設(shè)，一般假設(shè)如下[4]：

假設(shè)1：分離矩陣W為可逆或滿秩矩陣（n≤m）；

假設(shè)2：源信號(hào)各分量si（t）為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程

假設(shè)3：源信號(hào)各分量si（t）相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且其中最多只能有一個(gè)分量服從高斯分布；

假設(shè)4：si（t）的方差均為1。

2 盲信號(hào)的預(yù)處理

由于分離矩陣W未知，實(shí)際接收到的數(shù)據(jù)十分復(fù)雜，特別是源信號(hào)分量比較多的情況下，若si（t）的均值不為零、方差不為1，在進(jìn)行信號(hào)分離時(shí)計(jì)算量會(huì)非常大，因此可通過白化方法使其均值為零、方差為1。這個(gè)過程稱為盲信號(hào)的預(yù)處理。一般情況下，如果將預(yù)處理后的信號(hào)用ICA（獨(dú)立分量分析）算法進(jìn)行分離，能夠的到更快的收斂速度和更好的穩(wěn)定性[5]。盲信號(hào)的預(yù)處理一般包括兩個(gè)部分：信號(hào)的中心化和白化。

2.1 信號(hào)中心化

令 ，其中 為向量X（t）的均值向量，這樣 ，這個(gè)過程就是信號(hào)的中心化。進(jìn)行盲信號(hào)的分離之后還可以將均值向量加回到估計(jì)信號(hào)向量中。根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的理論， 可以由X（t）的樣本估計(jì)得到。

2.2 信號(hào)的白化

對(duì)向量X（t）進(jìn)行線性變換，得到一個(gè)具有單位方差的新向量Z（t），則 ，且使得Z（t）中的各分量zi（t）互不相關(guān)，且有 。這個(gè)過程就稱為白化。因此將信號(hào)白化就是要找到線性變換矩陣P。

3 基于PCA的盲信號(hào)預(yù)處理方法

PCA（Principal Component Analysis，主分量分析）是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)壓縮、特征提取等領(lǐng)域所使用的經(jīng)典方法之一。其主要目的是通過降維的方法分離出信號(hào)中的主分量（即能量最大的成分）[6]。

3.1 PCA原理

PCA算法從數(shù)學(xué)角度看就是最小均方誤差下的最優(yōu)正交變換，對(duì)消除信號(hào)間的突出信號(hào)有很好的效果。而主分量的方向就是信號(hào)矢量具有最大方差的方向，因此可以用主分量來代表信號(hào)矢量。以一個(gè)二維數(shù)據(jù)表為例，若信號(hào)樣本分布如圖2（a）所示。

設(shè)其樣本重心為e，顯然a1方向信號(hào)離散度最大，即此方向上信號(hào)變化最大，因此其攜帶的信息量最大。則稱a1為第一主分量。如將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到e點(diǎn)，并旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新坐標(biāo)系a1ea2。很明顯在新坐標(biāo)系下進(jìn)行信號(hào)的分析及計(jì)算要更加的簡便。因此從本質(zhì)上說主分量分析就是分析該線性空間的秩和基，下面用最小二乘法來進(jìn)行分析。

3.2 PCA的計(jì)算方法

設(shè)觀測數(shù)據(jù)向量X（t）中每個(gè)變量有K個(gè)樣本，由此得到一個(gè)N×K的數(shù)據(jù)表，對(duì)其進(jìn)行中心化，設(shè)去均值后的觀測向量為X，下面求線性變換矩陣P，此過程就是對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

設(shè)各分量的線性組合為：

下面先求第一主分量Z1，有 ，其中 為第一主分量對(duì)應(yīng)于X各分量的權(quán)重。為保證在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系時(shí)，空間尺度不發(fā)生改變，則要求滿足||P1||=1。即尋找向量P1使其滿足以下條件：

其中CX為X的N×N維協(xié)方差矩陣，則滿足式（5）的P1的取值應(yīng)該是協(xié)方差矩陣CX的單位特征向量 的線性組合，并設(shè)其特征向量的排列順序能使其對(duì)應(yīng)的特征根 滿足 ，那么由式（5）和式（6）組成的最優(yōu)化問題的解為 。則第一主分量 [7]。

以此為依據(jù)，令第m個(gè)主分量 ，則Zm的方差取到最大值的條件是Zm與已找到的所有的主分量不相關(guān)，即： ，且考慮有 ，則

在求出第一主分量的前提下，可以求出第二主分量的權(quán)重 。以此類推可以得到觀測數(shù)據(jù)各個(gè)分量的線性組合，達(dá)到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的目的，即對(duì)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行了白化處理。

4 結(jié)束語

盲信號(hào)分離技術(shù)對(duì)信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展起了關(guān)鍵的作用，還有許多技術(shù)和算法有待解決。而PCA算法是盲信號(hào)分離技術(shù)中廣泛使用的一種算法。文章通過對(duì)盲信號(hào)處理過程的分析，介紹了基于PCA的盲信號(hào)預(yù)處理方法，其目的是降低數(shù)據(jù)的維數(shù)，從而減少后期的盲信號(hào)處理中的運(yùn)算量。

[參考文獻(xiàn)]

[1]高鷹，謝勝利.基于非線性PCA準(zhǔn)則的兩個(gè)盲信號(hào)分離算法[J].《計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用》，2005（22）：24～26.

[2]焦芳芳，封志宏，楊桂芹.盲信號(hào)分離及盲信號(hào)抽取研究[J].《無線電工程》，2011，41（9）：11～14.

[3]胡婧，張更新，熊綱要.盲信號(hào)分離技術(shù)綜述[J].《數(shù)字通信世界》2010（4）：64～68.

[4]張賢達(dá)，保錚.通信信號(hào)處理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2000：367～383.

[5]邊肇棋，張學(xué)工，等.模式識(shí)別（第三版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010： 161～181.

[6]楊幵睿，孟凡榮，梁志貞，等.一種自適應(yīng)權(quán)值的算法[J].《計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用》，2012，48（3）：189～191.

[7]胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理——理論、算法與實(shí)現(xiàn)（第三版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012：325～327.