同倫算法在平面機構學中的應用

張大川

（大連大學 機械工程學院，遼寧 大連 116622）

平面機構學運動學問題，歸根到底在于求解非線性方程組。求解非線性方程組有解析求法和迭代求法兩種方法。方程組的解析解有重要意義。因為解析解最可靠，可以弄清問題的本質，而且在計算方法中，常把解析解作為檢驗各種近似解好壞的標準。但是通過消去部分變量，將方程組化成一元高次方程時，消元過程復雜，需較強的技巧，否則會產生增根和丟根問題，對較復雜的問題，有時消元無法進行，所以很難求得解析解，只能采用迭代求解。但迭代求解，對初始值的要求非常苛刻，只有當初始值和精確值非常接近時才會收斂。而對于很多非線性方程組，很難找到與精確值接近的初始值，這就給求解非線性問題帶來不便，甚至求不到解。

而同倫算法計算工作量較小，算法較簡單，而且成功率較高，且是大范圍收斂的，所以在很多情況下采用這種方法求解非線性問題，效果較好，因此同倫算法被譽為20世紀數學研究中一項帶突破性的新成果。

1 同倫算法的基本原理

建立非線性方程組

構造全部解已知的初始方程組

構造同倫函數

其中 t∈[0，1]，γ=eiθ，為任意不為零的復常數。

構造同倫方程組

當t=1時，方程組（4）的解與方程組（2）的解相同，讓同倫參數t逐漸變化到 0，并跟蹤方程組（4）的解，當 t=0時，方程組（4）的解就是待解方程組（1）的解。

2 平面四桿機構函數發生器的綜合

如圖1所示平面四桿機構，建立直角坐標系，設C點坐標為（ 1,0），A、B 點的坐標分別為（ Ax，Ay）、（ Bx，By），其變量分別用 x1、x2、x3、x4表示。

圖1 平面四桿機構

采用精確點綜合后，最多能實現5個位置，輸入角與輸出角關系見表1

表1 輸入角與輸出角關系

按照前述的方法，構造初始方程求出其所有解，再根據機構綜合方程編制M文件,上機運行，得到了問題的全部解，見表2。

表2 綜合結果

由此看出，該算法有較高的精度與可靠性。

3 結語

本文以同倫連續法初始方程組的構造思想，求得初始方程組的所有解為初值，用任何一種非線性方程組的求解方程就可以求出非線性方程組的全部或大部分實數解，這一發現為機構學的求解開辟了新途徑，計算簡單，結合Matlab程序設計語言開發了應用軟件，方便地求解機構學問題。使用中只要將所求的機構學問題寫出相應的位置方程，并編成M文件，程序便自動生成初始方程組并求解。最后以鉸鏈四桿函數機構綜合為例，給出具體的計算實例，實現了四桿機構輸入角、輸出角的5個對應位置的綜合，得到了全部解。此方法還可用于近似綜合，即當給定位置數不為5時，也可方便地進行近似綜合。該方法簡單易行，具有較好的實用性，為同倫算法的應用與推廣奠定了基礎，同時也為機構學問題求解提供了有效的途徑，值得大力推廣。

[1]楊廷力.機械系統基本理論——結構學、運動學、動力學[M].北京：機械工業出版社，1996.

[2]孫平，嚴靜，陳永.基于改進路徑跟蹤的同倫算法及在機構學中的應用[J].機械傳動，1997，2l（2）：l～4.

[3]劉安心，楊廷力.實數連續法及其在機構綜合中的應用[M].機械科學與技術，200l，20（ 2）：164～165.