基于數學分析模型的彈簧振子運動分析與探析

高法金 賈海山

（1.山東工商學院 信息與電子工程學院，山東 煙臺 264005；2.煙建集團 第十建安公司，山東 煙臺 264000）

彈簧振子是大學物理的重要組成部分，也是一個重要的物理模型。在一般大學物理的教學中都會講授靜摩擦因數和動摩擦因素，并且在處理和求解問題的過程中都近似認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，即靜摩擦因數等于動摩擦因數。一般而言，靜摩擦因數大于動摩擦因素，然而這種差別對物體運動的影響，在教學過程并沒有得到詳細的闡述。本文以水平面上放置的彈簧振子為例，系統的分析了摩擦力對彈簧振子運動規律的影響。

如圖1所示，水平放置一個彈簧，以恒定速度v0向右運動。

圖1

建立右向為正方向的x軸，設零時刻彈簧處于原長狀態，彈簧振子的坐標為零，速度為零。彈簧振子的質量為m，彈簧的倔強系數為k。

若地面光滑，根據受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=0,x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為彈簧振子的速度為

若地面有摩擦力，且動摩擦因數μ等于靜摩擦因數μ0時，由于t=0時，彈簧處于原長，所以在t=0到t=gμ/ω2v0這段時間內，彈簧振子處于靜止狀態。

此后時刻，彈簧振子開始運動，對其受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=gμ/ω2v0，x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為

則彈簧振子的速度為

由此式可看出，當靜摩擦因數等于動摩擦因數時，彈簧振子運動的速度與地面光滑的情形相比，只不過相差一個初相位，其運動規律相同。

而當地面有摩擦力，其靜摩擦因數大于動摩擦因數時（μ0＞μ），彈簧振子的運動比較復雜。初始時刻（t=0），彈簧振子的速度為零，在t=gμ/ω2v0時，彈簧振子受到最大靜摩擦力，彈簧振子開始運動。在其開始運動瞬時，彈簧振子受到的摩擦力發生突變，由最大靜摩擦力突變為滑動摩擦力，對彈簧振子受力分析，由牛頓第二定律得，其當彈簧振子的速度再次為零之前，彈簧振子的運動速度為

利用數值計算，下圖給出了彈簧振子的速度圖像。

圖2

當靜摩擦因數大于動摩擦因數，由彈簧振子運動速度的解析解和其運動的圖像可知，彈簧振子在整個運動過程做滑阻運動。彈簧振子的振幅A大于未受摩擦力或靜摩擦因數等于動摩擦因數時的振幅v0。當靜摩擦因數等于動摩擦因數時，彈簧振子靜止的時間為零，由此可見，靜摩擦因數大于動摩擦因數導致彈簧振子做滑阻運動。另外，彈簧振子靜止的時間也與彈簧振子的質量，彈簧的倔強系數以及牽引速度v0有關。

［1］倪亞賢,董慎行.對稱非線性彈簧振子的周期特性[J].大學物理,2003(04).

［2］魏國柱,石曉玲,杜安.關于變擺長的單擺運動與相關的鉛直運動的耦合[J].大學物理,2007(03).

［3］于鳳軍,景義林.一個單擺周期近似公式[J].大學物理,2007(05).

［4］廖旭,任學藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動[J].大學物理,2008(02).

［5］王立明,劉景旺.對稱雙彈簧振子受迫、有阻尼橫振動的混沌行為[J].大學物理,2008(10).

［6］李云龍,倪致祥.彈簧擺振動能變化的數值研究[J].阜陽師范學院學報：自然科學版,2009(04).

［7］鮑四元,孫洪泉,陳旭元.Mathematica在振動波問題中的應用[J].物理與工程,2010(04).

［8］楊正波,夏清華,劉思平.不同控制參數下的彈簧擺[J].大學物理,2011(05).

［9］何松林.對稱雙彈簧振子橫向振動的橢圓函數解[J].大學物理,2011(05).

［10］張東,曹勝亮.基于Matlab的電容傳感器動態特性分析[J].重慶文理學院學報,2008(06).

［11］何玉平.MATLAB在大學物理中的應用[J].重慶文理學院學報：自然科學版,2009(05).

［12］程光明,石代蓉,陳希明.用Mathematica軟件對無阻力復擺周期的研究[J].2011(06).