教你探索角的關系

樣的數量關系？并說明你的結論.

（2）如圖2-2中，當點P運動到點B與點D之間時，請問（1）中的結論是否還成立？若不成立，∠APC、∠PAB、∠PCD有怎樣的關系？請說明你的結論.

分析：在圖2-1中，∠APC、∠PAB都是△APE的內角，得∠APC+∠PAB=∠PEB. 要探索∠APC、∠PAB、∠PCD有怎樣的數量關系，可考慮探索∠PEB與∠PCD之間的數量關系.容易發現，∠PEB=∠PCD. 在圖2-2中，若設點E是AB、CP延長線的交點，則∠APC=∠PAB+∠E. 又∠E=∠PCD，故∠APC-∠PAB=∠PCD.

解：（1）∠APC+∠PAB=∠PCD.理由如下：

∵ ∠PEB是△APE的外角，

∴ ∠PEB=∠APC+∠PAB.

∵ AB∥CD，

∴ ∠PCD=∠PEB.

∴ ∠APC+∠PAB=∠PCD.

（2）不成立.∠APC-∠PAB=∠PCD.為說明這結論，延長AB、CP，設點E為其交點（如圖2-2）.

∵ AB∥CD，∴ ∠E=∠PCD.

∵ ∠APC-∠PAB=∠E，

∴ ∠APC-∠PAB=∠PCD.

例3 如圖3-1所示，△ABC中，AE平分∠BAC，∠C >∠B，F為AE上的一點，且FD⊥BC于點D.

（1）請探索∠EFD與∠B、∠C的數量關系；

（2）如圖3-2中，當點F在AE的延長線上時，其余條件都不變，判斷你在（1）中探索的結論是否還成立.如果不成立，∠EFD與∠B、∠C又有怎樣的數量關系，請說明理由.

分析：無論是圖3-1，還是圖3-2，∠FDE=90°，那么∠EFD=90°-∠DEF. 要推導∠EFD與∠B、∠C的數量關系，應考慮將∠DEF轉化，看看能否用∠B、∠C的代數式表示.

解：（1）∠EFD=■（∠C-∠B）.理由如下：

∵ FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.

∵ AE平分∠BAC，∠BAC=180°-（∠B+∠C），

∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.

∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.

∴ ∠EFD=90°-[90°+■（∠B-∠C）]=■（∠C-∠B）.

（2）成立. 理由如下：

∵ FD⊥BC，

∴ ∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.

∵ AE平分∠BAC，

∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.

∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.

∴ ∠EFD=90°-∠DEF=■（∠C-∠B）