全等三角形性質才藝展示

黃細把

學習了“與三角形有關的角”的知識后，經常遇到一類探索角的關系問題. 解答它們，要注意靈活利用如下兩個性質：

1. 三角形的內角和等于180°；

2. 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

例1 如圖1-1所示，△ABC中，點P是∠ABC和∠ACB平分線的交點.

（1）請探索∠P與∠A之間的數量關系；

（2）如圖1-2所示，若點P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分線的交點，判斷你在（1）中探索的結論是否還成立.如果不成立，∠P和∠A又有怎樣的關系，說明理由.

分析：無論是圖1-1，還是圖1-2，都有∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°. 要探索∠P與∠A之間的數量關系，應考慮將∠PBC+∠PCB轉化，看看能否用∠A的代數式表示.

解：（1）∠P=90°+■∠A，理由如下：

∵ 點P是∠ABC和∠ACB平分線的交點，

∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB.

∴ ∠PBC+∠PCB=■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°-■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+■∠A.

（2）不成立.∠P=90°-■∠A，理由如下：

∵ 點P是∠DBC和∠ECB平分線的交點，

∴ ∠PBC=■（180°-∠ABC），∠PCB=■（180°-∠ACB）.

∴ ∠PBC+∠PCB=180°-■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°+■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°-■∠A.

例2 如圖2-1中，AB∥CD，點P在直線BD上運動.

（1）當點P在點B的上方運動時，∠APC、∠PAB、∠PCD有