GNSS多系統基線解算中的病態性分析與評價

王勝利 王 慶 高 旺 潘樹國

(1東南大學儀器科學與工程學院，南京 210096)

(2東南大學交通學院，南京 210096)

(3安徽理工大學測繪學院，淮南 232001)

隨著北斗二代區域導航系統(BDS)的建成和投入使用，GNSS高精度定位進入了多系統融合定位時代［1］.GPS，GLONASS以及目前的BDS衛星星座存在著一定的差異［2-3］.GPS包含6個衛星軌道面，軌道平均高度約為2.02×104km，衛星運行周期約為11.967 h;GLONASS包含3個衛星軌道面，軌道平均高度約為1.91×104km，衛星運行周期約為11.250 h;BDS星座設計除了通常采用的MEO衛星外，還包括了5顆地球靜止軌道(GEO)衛星和5顆傾斜地球同步觀測(IGSO)衛星.GEO衛星和IGSO衛星均為高軌衛星，其軌道高度約為3.6×104km，目前兩者均已入軌組網運行;4顆MEO衛星也陸續發射成功.在GNSS基線解算模型中，由于模糊度參數的存在，解算模型普遍存在病態性［4-5］，解決的方法主要是通過多歷元觀測使衛星與測站之間的幾何關系發生變化，而這種變化主要依賴站星之間的角度變化.不同的軌道高度和運行特點導致衛星的運行角速度不同.在采樣率相同的情況下，站星角度變化程度的不同，會造成模糊度解算過程中方程病態性程度不同.

本文從分析衛星運動的角速度出發，研究了衛星運動角速度與載波雙差解算中模型病態性的關系.然后，結合病態性系統分析理論，利用條件數法，對比分析了GPS，GLONASS以及BDS在基線解算過程中法方程系數矩陣的條件數及其變化特點，并且對多系統融合后的解算模型病態性進行了分析.

1 GNSS基線解算模型

載波雙差基線解算模型的誤差方程為［6］

式中，vn，k為觀測值殘差，n，k分別為非參考衛星和參考衛星的數量;λ為載波波長;Δ▽Nn，k為站星雙差模糊度;Δ▽Ln，k為常數項;δx，δy，δz為測站間三維坐標分量參數;ln，k，mn，k，wn，k為對應的坐標分量參數系數.

基線解算過程中的模糊度解算一般是基于整數最小二乘理論的，參數估計通過浮點解、整周模糊度的搜索、固定解等3個步驟來實現［7］.由于電離層殘差對模糊度存在較大的影響，通常使用無電離層組合模型進行計算，此時式(1)中λ可表示窄巷波長，且λ=c/(f1+f2)，其中c為光速，f1，f2分別為GNSS系統中2個載波信號的頻率.

式(1)可簡化為如下的誤差方程形式:

其最小二乘解為

式中，V為殘差向量;B為誤差方程系數;P為權陣;L為常數項;X為未知參數，^X為X的最小二乘解.X可表示為

令N=BTPB為未知參數的法方程系數矩陣，則式(3)可改寫為

式中，W=BTPL.

由文獻［8-9］可知，當式(5)中的系數陣N和常數項W分別含有小誤差δN和δW時，相應的未知參數向量的解X產生誤差δX，其對應的關系為［8］

式中，cond(N)= N－1N 表示矩陣N的條件數.從式(6)可以看出，條件數表示法方程系數矩陣N和常數項W的相對擾動對參數估計的影響程度.當法方程系數矩陣N的條件數很大(即法方程嚴重病態)時，即使N和W的擾動很小，也會導致參數解產生很大的偏差.因此，條件數通常用于衡量參數估計模型中的病態性.

2 基線解算模型的病態性分析

GPS和GLONASS均為中軌衛星，BDS則以高軌衛星為主，不同的軌道高度導致衛星運行的速度(特別是角速度)不同，故歷元間的站星幾何結構變化程度也不同.尤其是對于北斗區域導航系統中的GEO衛星，它相對地球近乎靜止，導致歷元間方程相關性較大［9-12］，給模糊度解算帶來了嚴重的病態性.GPS，GLONASS與BDS中的衛星運行角速度見圖1.由圖可知，GLONASS衛星的運行角速度最快，北斗衛星運行角速度最慢，且GEO衛星的運行角速度遠小于GPS和GLONASS.據此推斷，在模糊度解算過程中，GEO衛星對應的方程在歷元間只要有很小的變化，就會導致法方程出現嚴重的病態性，進而造成模糊度解算不穩定和求解時間過長的問題.

圖1 衛星運行角速度

本文采用東南大學3S技術研發中心于2012年7月15日采集的GPS，GLONASS和BDS三個系統(以下簡稱三系統)的數據，取其中3個時段(每段時間為1 h)的數據，驗證基線解算模型隨著基線長度的增加和觀測時間的延長而產生的病態性特征，即基線解算模型病態性的時空特性.為了消除衛星數可能對病態性造成的影響，實驗過程中每個時段內3個系統取相同數目的共視衛星，即在GPS，GLONASS，BDS系統中各選擇7顆衛星.實驗結果見圖2.圖中，A=cond(N).

圖2 基線解算模型病態性的時空特性

從圖2可以看出，在基線解算過程中，基線長度對于模糊度求解的病態性幾乎沒有影響，起決定性影響的是觀測時間的長短.為了分析3個系統病態性之間的區別，選擇3個時段的觀測數據，分別對各系統模型病態性隨時間變化的特性進行比較，結果見圖3.

從圖3可以看出，在基線模糊度解算過程中，GLONASS法方程系數矩陣的條件數最小，即平差方程的病態性最弱，GPS次之，BDS最強，這與3個系統角速度的快慢順序一致.由此可見，衛星角速度越快，在同樣時間內基線解算模型中3個坐標分量系數變化越大，則模型的病態性越弱，坐標分量參數與模糊度參數越容易分離，最終模糊度收斂速度越快.在現階段的BDS中，由于GEO衛星和IGSO衛星的數量居多，且GEO衛星的角速度較小，單獨使用BDS進行基線解算時模糊度收斂速度較慢，故需進行多系統融合.

圖3 GPS，GLONASS和BDS基線解算條件數對比

3 GNSS多系統融合的病態性分析

多系統基線解算時，各系統解算模型具有共同的未知參數——基線坐標增量，故可進行融合解算.解算公式為

式中，kG，kR，kC分別表示GPS，GLONASS以及BDS解算過程中參考衛星的編號;λG，λR，λC分別表示GPS，GLONASS以及BDS解算過程中參考衛星的波長.

模糊度解算過程中的病態性主要是由歷元間坐標增量參數系數的緩慢變化造成的.多系統融合解算時，由于共同坐標增量參數的存在，利用GPS和GLONASS較BDS病態性弱的特點，可以加速坐標增量參數與其他參數的有效分離;同時，較多的觀測方程提供了較多的多余觀測量.因此，對于BDS，多系統融合解算能夠改善其嚴重的病態性.

多系統融合模型的病態性分析仍然使用上述3個時段的數據，實驗結果見圖4.

圖4 多系統融合基線解算條件數對比

從圖4可以看出，多系統融合基線解算時，使用GPS或GLONASS與BDS構成的兩兩組合或者3個系統組合后的條件數并不是簡單的折中，而是更接近于病態性較弱組合的條件數.雖然BDS獨立解算時存在嚴重的病態性，但多系統組合后的病態性不會受其影響而明顯變差，這有利于多系統融合中BDS模糊度的快速收斂.

4 結語

本文從分析GNSS各系統衛星運動的角速度出發，采用條件數方法，基于實際數據驗證分析了基線解算過程中的病態性.實驗結果表明，在多系統GNSS基線解算中，GLONASS解算的病態性最弱，GPS次之，兩者都優于目前的BDS.這與GPS，GLONASS和BDS的軌道高度特征和運行速度是相對應的，低軌道高度對應較快的角速度，歷元間幾何結構的快速變化有利于改善模型求解參數時的病態性.此外，還對多系統融合解算后的病態性進行了分析.結果表明，多系統融合后的病態性不會受BDS影響而明顯變差，這有利于多系統融合中BDS模糊度的快速收斂.

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