非完整統計在完全開放系統中的概率分布

李亞亞，胡婭婭

（銀川能源學院，銀川 750105）

非完整統計在完全開放系統中的概率分布

李亞亞，胡婭婭

（銀川能源學院，銀川 750105）

非完整統計是非廣延統計力學發展的一個分支。在簡要介紹非完整統計思想的基礎上，根據最大熵原理，結合非完整熵推導了完全開放系統中的概率分布和配分函數，以此分布可以直接得出其他實際可用的6種統計分布。這對研究多粒子體系的復雜物理系統提供理論依據。

非完整統計；概率分布；完全開放系統

熱力學和統計物理是物理學的基礎理論之一，其研究對象是由大量微觀粒子組成的宏觀物體或者物體系。主要研究組成宏觀物體的大量粒子的熱運動規律以及熱運動對物體宏觀性質的影響，同時從物質的微觀結構出發，對為什么能夠發生此類現象給予本質的解釋。統計熱力學可以分為兩個部分，即熱力學和統計物理，前者是熱現象的宏觀理論，后者是熱現象的微觀理論。這兩部分的研究對象相同，但觀點、方法不同，以實驗事實總結得出4條定律的熱力學，運用數學方法、經過嚴格的邏輯推理就可以得出系統的宏觀性質和各種宏觀性質之間的關系，以及宏觀物理過程進行的方向和限度。但是，熱力學理論只著眼現象的聯系而不考慮物質的微觀結構，對熱運動規律不能做本質的解釋。而統計物理是從物質的微觀運動來闡明宏觀熱性質的科學，它從系統是由大量微觀粒子組成這一事實出發，在合理的基礎上作出基本假設，揭示出大量粒子所特有的統計規律性。在對系統的微觀結構作出某些假設之后，應用統計理論可以求出系統的具體性質。當然，由于對物質結構做了簡化假設，理論的具體結論就帶有近似性〔1〕。

傳統統計熱力學（廣延統計熱力學）經過幾個世紀的發展，已經非常完美。它的成功，使物理學發展到了一個前所未有的高度。人們用廣延統計熱力學指導生產實踐和生活實踐，提高了社會勞動效率，促進了社會經濟的發展。但是，科學發展表明，任何理論都不是永恒不變的，都隨著科學技術的進步而不斷發展，廣延統計熱力學也不例外。近年來的研究表明：在存在長程相互作用系統和長時記憶效應等系統，廣延統計熱力學遇到了困難〔2-4〕。鑒于此，非廣延統計熱力學就誕生了〔5〕。非廣延統計熱力學作為一門新興的統計物理學科，已成為國際研究的熱點，得到了各國基礎物理研究者的重視。所謂廣延量是指系統中的物理量是由構成它的小系統所對應量的簡單相加。如系統的體積、內能、熵等。“非廣延”是針對“廣延”而言的，即系統中原來可以簡單相加的物理量不再滿足簡單的加法法則。其原因是，與高度理想化的廣延統計而言，非廣延統計模型的限制條件就比較寬松，更加接近真實世界〔4〕。換句話說，非廣延統計物理是廣延統計物理的延伸和擴展。

1988年，巴西物理學家C.Tsallis在對熵取最優化的基礎上〔4-5〕，提出了非廣延熵的表達式，其中k是玻爾茲曼常量，pi為系統的第i個微觀態出現的概率，q為非廣延參數，w表示系統可能出現的微觀狀態數目。除此之外，還要再加上歸一化條件和內能的限制條件。以這種非廣延熵為基礎建立的統計力學稱為非廣延統計力學，或廣義統計力學〔2，5〕。

目前，非廣延統計物理發展的分支除了有Tsallis統計，還有非完整統計，q-變形統計，卡帕統計，超統計等等。這些分支在世界各國都有不同程度的發展和重視〔6〕，幾乎涉及物理學的所有領域，比如包含長程相互作用的自引力系統〔7〕等。

1 非完整統計簡介

在統計物理中，只要知道了系統的所有微觀可能狀態數之后，根據其統計規律性，便可求得概率分布函數和配分函數，而相應的熱力學量便是所有微觀量的統計平均值。但是由于系統內粒子與粒子之間相互作用的復雜性等其它因素的影響，無法準確統計可能出現的微觀態，即不能精確得到概率分布函數和配分函數，導致統計信息不完全。利用哈密頓正則方程（經典系統）或薛定諤方程（量子系統），如果能精確解得系統的微觀狀態或對應的概率，說明系統信息統計完全，這時就稱為完整統計。所對應的概率分布為{pi}，pi表示第i個微觀狀態的概率，i=1，2，3，…，w。如果不能精確解得系統的微觀狀態或對應的概率，這時統計信息就不完整，所對應的概率分布為{p’i}，p’i表示第i個微觀狀態的概率，i=1，2，3，…，v。其中v可能大于w，v也可能小于w。把這時的概率分布就稱為非完整概率分布。于是，2001年Q.A.Wang〔8〕提出了非完整統計，且對Tsallis熵歸一化條件進行修改后引入非完整熵，同時對Shannon熵進行了變形，應用到復雜的物理系統，對解決理想氣體的多體問題〔4〕，系統的熱力學問題和非歸一化問題〔8〕提供依據等。

上式中，k是玻爾茲曼常數。當q=1時，就回到傳統統計力學。

非完整統計如同Tsallis統計，已發展成為非廣延統計力學的一個分支，成為當前研究的熱點，受到統計物理研究者的重視，尤其在研究粒子之間具有復雜相互作用的多粒子系統，相空間表現為分形或混沌結構的系統，以及考慮邊緣效應的系統等。

2 基于非完整熵在完全開放系統中的概率分布

下面主要推導非完整熵在完全開放系統中的概率分布。所謂完全開放系統，就是與外界既交換能量又做功且可交換粒子數的系統。在完全開放系統中，當系統和源達到平衡后，相應的平均值N、E、V都是一定的，則應有：

顯然，這與Tsallis統計中在完全開放系統的熵的結果是不同的〔6〕。

根據（3）、（4）、（5）式，可以計算出熱力學量的表達式：

式（9）（10）是非完整統計在完全開放系統的統計分布（稱為IsN-E-V分布）和廣義配分函數。根據統計的規律性，一旦知道了系統的統計分布，便可計算系統的熱力學量，這就是有用性的體現。

3 其余系綜中的統計分布

3.1 E-V分布若系統和熱源之間只有力的和熱的相互作用，可以忽略系統的粒子數漲落而認為系統各微觀態的粒子數N不變。在系統和源達到平衡后，相應的平均值E、V都是一定的，這便是E-V分布。根據非完整統計思想，結合（4）、（5）、（6）、（7）式，根據最大熵原理，我們所求的統計分布應使非完整熵在約束下取極值。

很顯然，當q=1時，就回到傳統的統計力學。

如果系統與源之間的相互作用只有兩種或者一種，那么由（3）、（4）、（5）式表示的統計平均值就會相應的減少一個或者兩個。采用與推導IsN-E-V分布相同的步驟，就可得到其他幾種分布。由于篇幅限制，不必重復推導過程，可以直接從IsN-E-V分布出發，給與特殊條件，得出剩余5種分布。

3.2 N-V分布當系統與源之間僅有力相互作用和粒子交換，而系統各微觀態的能量保持一定值E，即可得到N-V分布。在（9）式中無右端的第三項，即：

當Zq（α，κ）已知時，系統的熱力學量可以通過對Zq（α，κ）求導數和四則運算得到。

3.3 N-E分布當系統與外界之間不僅有粒子交換，還有熱交換時，這里忽略體積的漲落而認為系統的各微觀態的體積具有一個固定值V，即可得到N-E分布。即（9）式中無右端的第四項，概率分布為：

3.4 E分布若系統與環境之間只有熱交換，這里忽略系統的粒子數漲落和體積漲落而認為各微觀態的粒子數和體積取一定值N、V，在（9）式中無右端的第二、四項，就能得到E分布。

若系統與環境之間只有粒子數交換，這里忽略系統的能量漲落和體積漲落而認為各微觀態的能量和體積取一定值E、V，就能得到N分布；若系統與環境之間只有力相互作用，這里忽略系統的粒子數漲落和能量漲落而認為各微觀態的粒子數和能量取一定值N、E，就能得到V分布。相應N分布，V分布的概率函數和配分函數便可直接從（9）式改寫，這里不在贅述。

4 總結

不管是廣延統計力學，還是后來由C.Tsallis等人建立起來了非廣延統計力學（也稱廣義統計力學）都是以微正則系綜、正則系綜和巨正則系綜為研究對象，缺少完全開放系綜（統），原因是還沒有完全開放系統的概率分布函數（統計分布）。完全開放系統是自然界中最普遍存在的系統，其它系統只是完全開放系統的特殊情況。所以，研究完全開放系統的統計分布就非常有必要，本文根據非完整統計的思想，基于非完整熵推導了完全開放系統的概率分布和配分函數，且依據該分布可得出其他6種有用的統計分布，對研究多粒子體系的復雜物理系統提供理論依據。

〔1〕張奎，李鶴齡.統計熱力學〔M〕.銀川：寧夏人民出版社，1999：1-7.

〔2〕曹克非，王參軍.Tsallis熵與非廣延統計力學〔J〕.云南大學學報：自然科學版，2005，27（6）：514-520.

〔3〕王素云.非廣延統計中離子聲波的不穩定性的研究〔D〕.天津：天津大學，2008.

〔4〕歐聰杰.非廣延統計物理中的四個基本問題與廣義量子氣體的熱力學性質〔D〕.廈門：廈門大學，2006.

〔5〕Tsallis C.Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics〔J〕.J Stat Phys，1988，52（1-2）：479-487.

〔6〕Li Heling，Xiong Ying，Li Yaya.The Tsallis statistical distribution in completely open system〔J〕.Physica A，2011，390（15）：2769-2775.

〔7〕Henry E Kandrup.Mixing and“violent relaxation”for the one-dimensional gravitational Coulomb gas〔J〕.Phys Rev A，1989，40（12）：7265-7274.

〔8〕Wang Qiuping A.Incomplete statistics and nonextensive generalizations of statistical mechanics〔J〕.Chaos，Solitons and Fractals，2001（12）：1431-1437.

The Probability Distribution of Incomplete Statistics in Completely Open Systems

LI Yaya，HU Yaya
（College of Yinchuan Energy,Yinchuan 750105,China）

A branch of the development of the nonextensive statistics is incomplete statistics.In this paper,the idea of nonextensive statistics is introduced briefly.According to the maximum entropy principle,the probability distribution based on the incomplete entropy is deduced in the completely open system,and the other six actual usable probability distributions can be obtained directly from it,which have provided theoretical basis for studying the particle system of complex physical systems.

incomplete statistics；probability distribution；completely open system

0414

A

1672-2345（2013）04-0033-04

2012-10-24

2013-01-18

李亞亞，碩士研究生，主要從事反常統計物理研究.

（責任編輯 袁 霞）

10.3969/j.issn.1672-2345.2013.04.009