用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

段欞宴，王凡彬，2*，楊 進，王鵬程，劉緒濤

（1．內江師范學院數學與信息科學學院，四川內江 641100；2．四川省高等學校數值仿真重點實驗室，四川內江 641100）

用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

段欞宴1，王凡彬1，2*，楊 進1，王鵬程1，劉緒濤1

（1．內江師范學院數學與信息科學學院，四川內江 641100；2．四川省高等學校數值仿真重點實驗室，四川內江 641100）

針對貝特朗奇論所涉及的一個幾何概率問題，由于3種不同樣本空間的確定導致其結果的差異，利用蒙特卡羅法隨機模擬抽樣來驗證了解法3的合理性，借助計算機用Matlab軟件編程以及數理統計中的統計計數等方法解決了該問題。不僅合理運用了蒙特卡羅法原理，而且對理解以及進一步認識幾何概率問題中的隨機性具有重要意義。

貝特朗奇論；蒙特卡羅法；概率；統計

蒙特卡羅方法又稱統計模擬法、隨機抽樣技術〔1-4〕，是一種隨機模擬方法，是以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。它將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統計特征，故借用賭城蒙特卡羅命名蒙特卡羅方法。它的解題過程可以歸結為3個主要步驟：構造或描述概率過程；實現從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。

蒙特卡羅法即是隨機模擬法，運用于解決大量重復隨機試驗的問題，蒲豐投針問題就是該方法的典型運用，求出了的近似值〔3〕，即是試驗中所獲得的頻率。在貝特朗奇論〔1〕中，3種情況下所求出的概率不同，具體求法過程參見文獻〔1〕，本文用蒙特卡羅法進行隨機模擬，通過計算機Matlab編程進行了該試驗，得到的相應頻率與文獻〔1〕第三種解法相一致，從而肯定了第三種解法，更加贊同第三種解法。

1 貝特朗奇論

貝特朗奇論：在一圓內任取一條弦，問其長度超過該圓內接等邊三角形的邊長的概率是多少？

解法1 如圖1由于對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點與點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長。所有交點是等可能的，則所求概率為。此時假定弦的中心在直徑上均勻分布。

圖1 解法1示意圖

解法2 如圖2由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～120°之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為。此時假定端點在圓周上均勻分布。

圖2 解法2示意圖

解法3 如圖3弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的，則所求概率為。

圖3 解法3示意圖

針對這3種解法，我們認為：由于樣本空間選取的不同，解法1、解法2、解法3的結果出現了差異。解法3對樣本空間的選取比較自然，符合人們的認知規律，下面我們用蒙特卡羅法來驗證這一點。

2 用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

為方便起見，我們在單位圓內接等邊三角形上進行討論。根據問題引入，可先設圓為單位圓，再作其內接等邊三角形，可求得等邊三角形的邊長為，如下圖4。

圖4 蒙特卡羅法求解示意圖

在圓O中，過圓心O作弦BC的垂線于E，因為△ABC為等邊三角形，圓心O為三角形的重心，所以OB平分∠ABC，∠OBC=30°，而半徑OB=1，所以OE=（在Rt△OBE中，30°角所對的邊是斜邊的一半），所以BE=，BC=，所以等邊三角形邊長為（垂弦定理）。

貝特朗奇論中由于3個樣本空間的取值不同，導致3種情況下的結果不同，解法1是直徑上的點組成的樣本空間Ω1；解法2是圓周上的點組成的樣本空間Ω2；解法3是大圓內的點組成的樣本空間Ω3，其值更滿足概率的隨機性，下面應用蒙特卡羅法通過一系列的編程，運算并證實解法3的合理性。

根據上一節的解答過程得：可在坐標中取以（0，0）為圓心，半徑為1的圓，在圓上任取點（xi，yi），i=1，2，3，4，…，n，任意兩點之間的距離即為弦長，要使得弦長超過內接等邊三角形的邊長即超過。

取任意兩點（x1，y1），（x2，y2），連接兩點成弦，其中點為要使得弦長超過，即圓心（0，0）到中點的距離d≤。根據此思路運用相關文獻〔5-10〕中的知識進行下面的編程。程序如下。程序編寫的流程圖如圖5。

圖5 程序編寫流程圖

表1 程序運行結果

3 結論

本文運用蒙特卡羅法研究了貝特朗奇論，保證了畫弦的隨機性，通過計算機Matlab編程實現了隨機投點，取點和統計，其結果是真實的，有效的。在貝特朗奇論中解法3的弦的選取具有真正意義上的隨機性，其答案是合理的，正確的。本文第二節實際通過概率的頻率定義來驗證了貝特朗奇論中解法3的合理性和正確性，在概率研究和計算機運用方面有一定的見解，對其他概率問題研究有一定的借鑒意義。

〔1〕峁詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數理統計教程〔M〕．2版.北京：高等教育出版社，2011．

〔2〕羅伯特．蒙特卡洛統計方法〔M〕．北京：世界圖書出版公司，2009．

〔3〕何光．用蒙特卡羅方法計算圓周率的近似值〔J〕．內江師范學院學報，2008，23（4）：2-3．

〔4〕陳作清．關于貝特朗奇論的新見解〔J〕．西北民族大學學報：自然科學版，1998，20（1）：4-6．

〔5〕王欣．MATLAB在圖像處理中的應用〔J〕．內江師范學院學報，2007，22（2）：3-5．

〔6〕薛山．MATLAB基礎教程〔M〕．北京：清華大學出版社，2011．

〔7〕于麗妮．基于matlab的蒙特卡羅定積分的實現〔J〕．遼寧大學學報：自然科學版，2012，39（2）：1-3．

〔8〕王丙參，魏艷華，張云．蒙特卡羅方法與積分的計算〔J〕．寧夏師范學院學報，2012，33（3）：4-5．

〔9〕楊建．蒙特卡羅法評定測量不確定度中相關隨機變量的MATLAB實現〔J〕．計測技術，2012，32（4）：3-4．

〔10〕董世君，薛瑋，董愛芹等．Matlab與Excel接口技術在電力系統數據分析中的應用〔J〕．微型機與應用，2012，31（18）：2-3．

Using the Monte Carlo Method to Solve the Bertrand Odd

DUAN Lingyan1，WANG Fanbin1，2*，YANG Jin1，WANG Pengcheng1，LIU Xutao1
（1.College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal University，Neijiang,Sichuan 641100，China；2.Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province College，Neijiang,Sichuan 641100，China）

This paper is designed to solve the geometric probability problem of Bertrand paradox by using Monte Carlo method.Owing to the result differences which are caused by three different samples space,Monte Carlo method is used to simulate random sampling to verify the rationality of third method.And with the help of the computer,Matlab software programming and mathematical statistics in the statistical counting method are used to solve this problem.This solution is not only using the Monte Carlo law principle reasonably,but also important to understand and know more of the randomness of the geometric probability problem.

Bertrand odd theory；Monte Carlo method；probability；statistics

O211.9

A

1672-2345（2013）04-0009-03

內江師范學院2012年大學生科研基金資助項目（12NSD-40）

2012-12-25

2013-01-08

段欞宴，內江師范學院數學與信息科學學院本科生.

（責任編輯 袁 霞）

10.3969/j.issn.1672-2345.2013.04.004

*通信作者：王凡彬，教授.