高中數學“一題多解”教學的實踐

?張家港高級中學 劉 學

1 引言

在高中數學解題教學中，為進一步培養學生的解題技巧與解題水平，教師通常會專門設計一些“一題多解”類的專題訓練，鼓勵他們面對同一道題目時盡量找出更多不同解法.這一模式能激活學生的自主思維，使其全身心地投入到思考中，有助于他們更好地鞏固數學知識與技能.

2 一題多解在教學中的應用

2.1 集合問題的中一題多解

集合是高中數學教材中第一章節的內容，也是高中數學知識體系中的基礎構成部分，是學生學習函數知識的前提，雖然題目難度一般，但是也有不少一題多解類試題，教師可以利用這類題目，讓學生嘗試運用多種方法解決問題，讓他們進一步了解集合的含義，體會元素和集合的“屬于”關系，為利用集合的思想方法解決簡單實際問題做鋪墊.

例1已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=-2(x-3)}，那么M∩P=( ).

C.[-1，3] D.(-∞，3)

解析：能識別出集合M與P的元素的特征，是求得M和P交集的關鍵所在.M∩P的元素并非(x，y)，而是x的形式.

解法2：使用排除法，因為M∩P的元素均是x，并非簡單(x，y)的形式，將A排除掉；比較B，C兩項，假如取x=-1，-1∈M，-1∈P，得知-1∈(M∩P)，排除B；再比較C與D，取x=-2，-2?M，D也排除.正確答案為：C.

針對上述案例，學生采用不一樣的解題方法處理這一題目，使其理清集合的本質，明確元素的特點具有互異性，再通過代入檢驗求出兩個集合的交集，讓他們學會處理該類試題.

2.2 函數問題中的一題多解

函數作為學生從初中階段就開始接觸到的一類知識，步入高中階段以后，函數的知識范圍有所擴大，更是出現不少新型函數，而且對函數的研究更為深入，是學生的學習重點與難點.在高中數學函數解題訓練中，教師同樣可以利用一題多解類的試題，引領學生從多個角度看待問題，促使他們充分運用所學知識與已知條件通過合理正確的方式來解題.

例2在銳角三角形ABC中，如果sinA=2sinBsinC，那么tanAtanBtanC的最小值是多少？

這是一道典型的三角函數類題目，學生分析、討論后能夠找到以下幾種解法.

解法1：根據題意可得

①

令 cosBcosC=tcosA

②

上述案例，從兩種完全不同的解題方法來看運用的是兩種思路，用到的數學知識也不一樣，這樣能夠拓展學生的思維空間，使其嘗試從多個層面與角度解題，讓他們學會舉一反三.

2.3 數列問題中的一題多解

在高中數學課程教學中，數列也是一類較為重要的內容，包括等差數列與等比數列兩大類，在高考中出現的頻率較高，是熱門考點之一.高中數學教師在數列解題教學中，應當巧妙設置一些一題多解的題目，引導學生靈活運用數列的相關知識展開分析與探討，有效拓展解題思維空間，使其尋找到最優解題思路與方法，繼而提高他們的解題速度與準確度.

例3在等差數列{an}中，a1<0，S9=S12，那么數列{an}的前幾項和最小？

解法2：根據S9=S12可知a10+a11+a12=3a11=0，則a11=0，又因為a1<0，所以公差d>0，據此能夠判斷出數列{an}前10項或前11項的和最小.

如此，學生分別按照常規思路分析，根據等差數列的概念公式，通過尋找轉折項運用等差中項的性質，或采用函數思想將數列問題轉化成函數問題的方式解題，使其思路更為靈活.

2.4 不等式問題的一題多解

雖然學生從小學階段就有所接觸不等式，像簡單的大于、小于、大于等于、小于等于等算式和數量關系，不過高中階段的不等式知識更為深奧，涉及到的題目難度也更大，對他們的知識水平與解題能力要求較高.所以，高中數學教師可以在不等式問題中設置一題多解訓練，引領學生充分運用所學知識通過多種解題方法來處理問題，增強他們的解題自信心.

對于上述案例，這三種證明方法跨度大，分別利用基本不等式的性質、復數模的性質及數形結合思想，學生通過尋找更多解題方法，可有效活化他們的數學思維，改善解題水平.

2.5 幾何問題中的一題多解

數學主要由代數與幾何兩大部分構成，高中數學課程體系中的幾何知識以立體幾何與解析幾何為主，對學生的抽象思維能力、幾何直觀能力與空間想象力有著較高要求，他們在解題中極易遇到障礙.高中數學教師在解題教學環節，可以針對幾何問題精心設計一些題目，要求學生運用多種不一樣的解題方法，使其掌握更多處理幾何問題的技巧，提高解題效率.

A.有兩個點PB.有四個點P

C.可能不存在點PD.一定不存在點P

解法1：把線段F1F2當作直徑畫一個圓，已知圓的半徑r=c=3<4=b，所以圓和橢圓不會相交，即不存在點P.

在上述案例中，面對這樣一道難度一般的解析幾何類題目，學生可以輕松找到多個不一樣的解題方法，使其充分體會到一題多解的樂趣，同時讓他們通過比較發現最優解題思路.

3 結語

總而言之，高中數學具有較強的理論性與學科性特征，在學習與解題訓練中經常會遇到不少挑戰，教師應用“一題多解”的訓練模式，可以有效活化學生的思維，使其拓展解題思路，掌握高效的解題方法，慢慢增強他們的解題自信.Z